第14章习题课线性动态电路复频域分析

10 s+1
R2
U C (s) -
10 s
2
(a )
(b )
解 对图b
L 1 0 e - t ε ( t ) = s 1 + 0 1 ， L [2 δ ( t ) = 2 ， C u C 0 - )= 0 .5
10
R 11+R 12+1s0UCs)=sR +11+0.5+2
代入已知条件
U Cs)=(s2 + 5 1 s)(+ s3 + 52)=(sK + 1 1)+(sK + 2 2)
网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激 励的函数形式无关。因此，如果已知某一响应的 网络函数H(s)，它在某一激励 E(s) 下的响应 R(s) 就可表示为 R(s) = H(s)E(s) 。
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☆ 求网络函数 H(s)
课后习题： 14-30、14-31、14-39、14-40
s-
-
1 s
Ia(s) +
1+
1 s
Ib(s)
=
1 s
I1(s) = Ia(s) =
1 s (s2+2s +2)
④ 求原函数： ℒ-1 [I1(s)] =
1 2
(1- e-t cost - e-t sint) A
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或者：
I1(s)
=
1 s (s2+2s
+2)
求 s2 +2s +2 = 0 的根
始性把函数定义成 t<0时为0。所以当电压或电流不 为0时，一般不能在表达式中随意加e(t)。
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【例】图示电路为零初始条件，求uO(t) 。
解 先将电路转到s域，用回路电流法求解。
R1
R1+3sI1(s)-3sI2(s)=1s -3 sI1(s)+R2+s+3 sI2(s)=0
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P362 例14-12 求S闭合时的 i1(t)和i2(t) 。
S
R1 1W 0.05H
R1
M
sM
+ 1V
u1(t) - i1(t)
L1 0.1H
0.1H
L2
R2
i2(t) 1W
+
1
s - I1(s)
sL1
sL2
R2
I2(s)
解：根据运算电路 列回路电流方程
(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=(1/s) -sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=0 代入数据
i(t) R1 L1
+ 2W 0.3H -Us=10V S
R2
3W L2
0.1H
S打开瞬间： iL1(0+) = iL2(0+) = 3.75A，
电流发生了跃变。uL1(t)、
I(s) 2W
+ 10
0.3s -1.5V+ + UL1(s) -
3W
+ 0.1s
uL2(t)中将出现冲激电压。
s
-
UL2(s) -
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P366例14-15 已知激励 is=(t) 求冲激响应 h(t) = uc(t) 。
解：激励与响应属同一端口
is
解
F(s) = s+4 s(s+1)2
=K1 s
+ K22 (s+1)
+(sK+211)2
K1 =(ss++14)2 s=0 =4
K21
=s+4 s
s=-1
=-3
K22=dds[(s+1)2F(s)]s=-1=dds[s+s4]s=-1=-4
f(t)=4-4e-t-3te -t
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例 求： F(s)=ss22++95ss++161的原函 f ( t )数 解 F(s)=ss22++95ss++161=1+s24+s5+s5+6
第14章习题课线性动态电路复频域分析
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第十四章 线性动态电路的复频域分析
主要考点: ① 拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ② 拉氏反变换方法-部分分式展开法； ③ KCL、KVL和VCR的运算形式； ④ 拉氏变换在线性电路中的应用-用“运算法”
分析计算二阶电路的响应； ⑤ 网络函数与冲击响应的关系； ⑥ 网络函数的极、零点； ⑦ 网络函数的极点对电路时域响应的影响。
=1+ -3 + 7 s+2 s+3
f(t)=(t)+(7 e- 3 t- 3 e- 2 t)
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☆ 用“运算法”求解动态电 路的时域响应。
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P359 例14-9 电路处于稳态。 i1(t) R1 L t=0时S闭合，用运算法求i1(t)。 + 1W 1H
S (t=0)
UCs)=(s1+01)+(s1+52)
) u C t)= L - 1 U C s ) = 1 0 e - t+ 1 5 e - 2 tε ( t) V
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网络函数
1. 网络函数的定义：
若电路在单一独立源激励下，其零状态响应r(t)的象 函数为R(s)，激励e(t)的象函数为E(s) ，
得：
u O (t)=L- 1 [U O (s)=3 2e- 4 tsin (2 t)ε(t)V
(b )
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【例】图示电路中uC(0-) = 5V ，求uC(t) 。
R1
R1
+
10W
R2
+ 2δ(t)A
uC (t)
- 10e-tε(t)V 1 0 W - 0 .1 F
+
+
0 .5
-
(1.5s+10) s(0.4s+5)
=
2 s
+
s
1.75 +12.5
I(s) 2
+ 10
-s
0.3s -1.5V+ 3
+ UL1(s)
-+ 0.1s
UL2(s) -
i(t) = (2+1.75e-12.5t )A
UL2(s)=0.1sI(s) =
-
s
2.19 +12.5
-
0.375
UL1(s)=0.3sI(s)-1.5 = - 6.56 - 0.375
+ UL (s)
-
s 5+
-s 1V
-
+
ℒ
[2e–2t
]
=
s
2 +
2
ℒ
[5 ]
=
5 s
由结点电压法： 2
5
1 5
+
1 5
+
1 s
Un1(s) =
(s+2) 5
-
1 s
+
s 5
UL(s) = Un1(s)
=
s
(s+2)(s+2.5)
2s+5 5s
Un1(s)
=
2 5(s+2)
uL(t) = ℒ-1[UL(s)] = (-4e–2t +5e–2.5t )V
解：① 求初值：
1V Us
iL(0-) = 0，uC(0-) = US = 1V
-
C
R2
1F 1W
求激励的象函数：
ℒ [US] = ℒ [1] =1/s
② 画运算电路：
③ 用回路电流法求象函数：
1+s+
1 s
Ia(s) -
1 s
Ib(s)
=
0
I1(s) 1 s
1
+
1
s -
Ia(s)
s + 1
Ib(s) 1
=Biblioteka Baidu+ 2
2e-t 2
cos(t+135)
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P361 例14-11 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
S
R1 5W R2 5W
5
①5
+ (t=0) us1
- 2e–2t V
+ iL(t) +
uL -
L us2 1H -
5V
解：iL(0-)
=
us2 R2
=1A
+ 2
-s+2
a = -1， w = 2
K1=
N(s) D'(s)
s = -1+ j2
= 0.5 - j0.5 = 0.5
2
e-j
p 4
即 |K1| = 0.5 2
q1 = -
p 4
代入：f(t) = 2|K1| ea t cos(wt+q1) 得
f(t) =
2
e-t
cos(2t
-
p 4
)
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例 求F ： (s)=s(ss+ +1 4)2的原函 f(t)数
i(t) R1 L1
+ 2W 0.3H -Us=10V S
R2
3W L2
0.1H
提示：
I(s) 2W 0.3s -1.5V+ 3W
本例在求出i(t)后，不要 轻易采用对i(t)求导的方
+
+ UL1(s) -
+
10
0.1s
法计算uL1(t)和uL2(t)，这
s
-
UL2(s) -
会丢失冲激函数项。
加e(t)后再求导，也会产生错误结果。因为e(t)的起
p1= -1+ j ， p2= -1-j
a = -1， w = 1
K1=
N(s) D'(s)
s = -1+ j = - 0.25+ j0.25 = 0.25
2
e
j
3p 4
即 |K1| = 0.25 2 q1 = 135
代入：f(t) = 2|K1| ea t cos(wt+q1) 得
得原函数：
ℒ-1[I1(s)]
s +12.5
uL1(t) = [-6.56e-12.5t-0.375(t)] V uL2(t) = [-2.19e-12.5t+0.375(t)] V
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iL1(0-)=5A, iL2(0-) = 0, i(t)=(2+1.75e-12.5t )A
uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375(t)]V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375(t)]V
12
P363 例14-13 电路处于
i(t) R1 L1
R2
稳态时打开S 。求i(t)和 电感元件电压。
解：ℒ [10 ]=(10/s)，iL2(0-)=0
+ 2W 0.3H -Us=10V S
3W
L2 0.1H
iL1(0-)=5A，L1iL1(0-)=1.5V
I(s)=
10 s
+1.5
=
2+3+(0.3+0.1)s
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注意
若激励 E(s) =1，即e(t)=(t)， 则响应 R(s) = H(s)E(s)=H(s)。 h(t) =ℒ-1[H(s)]=ℒ-1[R(s)]= r(t) 说明：网络函数的原函数为电路的单位冲激响应。 或者说，如果已知电路某一处的单位冲激响应 h(t)， 就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。
K1=
[sF(s)]
s
=
0
=
2s+1 s2 +7s +10
s = 0 = 0.1
2s+1 K2= [(s+2)F(s)]s = -2 = (s+2) s(s+2)(s+5) s = -2 = 0.5
2s+1 K3= [(s+5)F(s)]s = -5 = (s+5) s(s+2)(s+5) s = -5 = -0.6
但uL1(t)+uL2(t)无冲激，
回路满足KVL。
所以，当分析iL(t)或uC(t)
可见拉氏变换已自动
有跃变情况的问题时，
把冲激函数计入在内。
运算法不易出错。
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iL1(0-)=5A i(t)=(2+1.75e-12.5t )A
uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375(t)]V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375(t)]V
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☆ 利用“部分分式展开法” 求解原函数。
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3
P352 例14-6 求 F(s) = 2s +1 的原函数。 s3 +7s2 +10s
解：s3+7s2 +10s = 0的根分别为：p1=0, p2 = -2, p3 = -5
用Ki = [(s-pi)F(s)]s = pi 确定系数。
+ ε(t)V
-
1W
1F 3
C
(a )
代入已知条件解方程得
I2(s)=s3
3 +8s2 +18s
R2
5W +
uO (t) L
- 1H
UO(s)
=sI2(s)
=
s2
3 +8s
+18
) = 3 2
2 (s+4)2 +
2
2
R1 1 R2
1+
3
s - I1(s) s
+
I2(s) s U O (s)
-
则该电路的网络函数H(s)定义为R(s)与E(s) 之比。
即 H(s) del
R(s) E(s)
2. 网络函数的类型：
根据激励E(s)与响应
I1(s) + U1(s) -
无源 网络
I2(s)
+ U2(s) ZL
-
R(s)所在的端口：H(s)可以是驱动点阻抗、导纳；
电压转移函数、电流转移函数；
转移阻抗、转移导纳。
(1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)=(1/s) -0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)=0
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解方程
I1(s)=s(0.75×01.10s-2+s21+0.2s+1)
I2(s)=
0.05s 0.75×10-2s2+0.2s+1
取拉氏反变换：
i1(t)=(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)A i2(t)= 0.5(e-6.67t-e-20t)A
∴F(s) =
0.1 s
+
0.5 s+2
+
-0.6 s+5
∴ f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t
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P353 例14-7 求: F(s) =
s +3 s2 +2s +5
的原函数 f(t)。
解：求 s2 +2s +5=0的根
p1= -1+ j2， p2= -1-j2
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式中
所以 得：
U Cs)=(s2 + 5 1 s)(+ s3 + 52)=(sK + 1 1)+(sK + 2 2) K 1=[(s+ 1 )U C (s)s= - 1=2 (5 ss+ + 2 3 )5s= - 1=10 K 2=[(s+2 )U C (s)s= - 2=2 (5 s s+ + 1 3 )5s= - 2= 1 5