中国石油大学 物理化学试题

物理化学习题解答
第十二章
界面现象
1. 293K时， 把半径为 1mm的水滴分散成半径为 1μm的小水滴， 问比表面增加了多少倍？ 表面吉布斯自由能增加了多少？完成该变化时， 环境至少需作功若干？已知 298K时水的 表面张力为 0.07288N·m-1 解：设小水滴数目为 N 4 3 4 π r1 = N ⋅ π r23 3 3 ⎛r ⎞ N = ⎜ 1 ⎟ = 109 ⎝ r2 ⎠ A2
−3 N × 4π r2 2 9 ⎛ 1× 10 mm ⎞ 3 = = 10 × ⎜ ⎟ = 10 2 A1 4πν 1 ⎝ 1mm ⎠ 2 3
ΔGA = ∫ γ dA = γ ( A2 − A1 ) = r ( n ⋅ 4π r22 − 4π r12 ) = 9.145 ×10−4 J
A1
A2
W f = −ΔGA = −9.145 ×10−4 J
2. 已知汞溶胶中粒子（设为球型）的直径为 22nm，每dm3溶胶中含Hg为 8 ×105 kg ，试问 每 1cm3的溶胶中粒子数为多少？其总表面积为若干？把 8 ×105 kg 的汞滴分散成上述溶胶 时 表 面 吉 布 斯 自 由 能 增 加 多 少 ？ 已 知 汞 的 密 度 为 13.6kg·dm-3 ， 汞 - 水 界 面 张 力 为 0.375N·m-1。 解：汞粒子的体积为
4 4 ⎛ 22 ⎞ V = πr 3 = × 3.142 × ⎜ × 10 −9 ⎟ = 5.576 × 10 − 24 m 3 3 3 ⎝ 2 ⎠
3
每 1cm3溶胶中的粒子数为：
N=
WHg
ρ ⋅V
=
8.0 ×10−5 × 1× 10−3 1 × 13.6 5.576 ×10−24
2
= 1.054 ×1012
A = N ⋅ 4π r 2 = 1.054 ×1012 × 4 × 3.142 × (1.1×10−8 ) = 1.603 ×10−3 m 2
ΔGA = γ ⋅ ΔA = γ ⋅ A = 0.375N ⋅ m −1 ×1.603 × 10−3 m 2 = 595 × 10−4 J
-1-
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4. 把半径为 R 的毛细管插在某液体中，设该液体与玻璃间的接触角为θ，毛细管中液 体所成的凹面的曲率半径为 R ' ，液面上升到 h 高度后达到平衡，试证明液体的表面张 力可近似表示为
γ=
gh ρ R 2 cos θ
式中为 g 重力加速度，ρ 为液体的密度。 解： ΔP = Pg =
2γ = Δρgh R
Δρ 是液相和气相的密度差， ρ l >> ρ g , 故Δρ ≈ ρ l
又 R ' = R / cos θ 代入上式得到
γ =
ghpR 2 cos θ
5．在 298K、101.325kPa下，将直径为 1μm的毛细管插入水中，问需在管内加多大压力 才能防止水面上升？若不加额外的压力，让水面上升，达到平衡后管内液面上升多高？ 已知该温度下说的表面张力为 0.072 N·m-1，水的密度为 1000 kg·dm-3，设接触角为 0°， 重力加速度g=9.8m·s-2。 解： ps =
2γ cos θ 2 × 0.072 × 1 = 288kPa 1 −6 × 10 2
γ
=
h=
2γ cos θ 2 × 0.072 × cos 00 = = 29.38m ρ gR 1.0 ×103 × 9.8 × 1×10−6
7 ． 在 283K 时 ， 可 逆 地 使 纯 水 表 面 增 加 1.0m2 ， 吸 热 0.04J 。 求 该 过 程 的
ΔG、W 、ΔU、ΔH、ΔS 和ΔF 各为多少？已知该温度下纯水的表面吉布斯自由能为 0.074J·m-2。
解：
ΔG = γΔA = 0.074 × 1.0 = 0.074J
W f = −ΔG = −0.074J ΔF = ΔG = 0.074J
ΔU = Q − W f = 0.04 − ( −0.074 ) = 0.114J ΔH = ΔU = 0.114J ΔS = ΔH − ΔG 0.114 − 0.074 = = 1.36 × 10−4 J ⋅ K −1 T 283
8．在 298K时，平面水面上的饱和蒸气压为 3168Pa，求在相同温度下，半径为 3nm的小
-2-
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水滴水的蒸气压。已知此时水的表面张力为 0.072 N·m-1，水的密度设为 1000kg ⋅ m 。 解：由开尔文公式
−3
ln
' pg 0 pg
=
2γM 2 × 0.072 × 18 × 10 −3 = = 0.3487 RTρR ' 8.314 × 298 × 1000 × 3 × 10 −9
' 0 pg = e 0.3487 p g = 4489.8 Pa
9．将正丁醇（Mr=74）蒸气冷至 273K，发现其过饱和度(即 p / p0 )达到 4，方能自行凝
-1 结为液滴。若 273K时，正丁醇的表面张力γ=0.0261 N·m , 密度ρ= 1000kg ⋅ m ，试
−3
计算： （1）在此过饱和度下开始凝结的液滴的半径。 （2）每一液滴中所含正丁醇的分子数。 解： （1） RT ln
p 2γ M = p0 ρ R'
2γ M R = ρ RT
'
⎛ p0 ⎞ 2 × 0.0261× 74 × 10−3 −1 ln = ( ln 4 ) = 1.23 ×10−9 m ⎜ ⎟ 1000 × 8.314 × 273 ⎝ p⎠
−1
3 3 4 4 π R' ⋅ ρ × 3.142 × 1.23 × 10 −9 × 1000 （2） N = 3 × 6.023 × 10 23 = 63.4 ×L = 3 −3 M 74 × 10
( )
(
)
10．373K时，水的表面张力为 0.589 N·m-1，密度为 958.4kg ⋅ m 。问直径为 1× 10−7 m 的 气泡内（即球形凹面上） ，在 373K时的水蒸气压力为多少？在 101.325kPa外压下，能否 从 373K的水中蒸气出直径为 10 −7 m 的蒸气泡？
−3
2 × 0.0589 × (18 × 10−3 ) p 2γ M = = = −0.01427 解： ln p0 RT ρ R ' 8.314 × 373 × 958.4 × ( 0.5 × 10−7 )
p = 0.9858 p0 ∴ 不能蒸出 p = 99.89kPa < 101.325kPa
11．水蒸气骤冷会发生过饱和现象。在夏天的乌云中，用飞机撒干冰微粒，使气温骤降
-1 至 293K，水气的过饱和度（ p / p0 达 4。已知在 293K时，水的表面张力为 0.07288 N·m ，
密度为 997kg ⋅ m ，试计算： （1）在此时开始形成雨滴的半径；
-3-
−3
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（2）每一雨滴中所含水分子数。 解： （1） RT ln
p 2γM = p0 ρR '
RT =
2γ M
ρ R T ln
p p0
=
2 × 0.07288 × (18 ×10−3 ) 997 × 8.314 × 293 × ln 4
= 7.79 × 10−10 m
3 3 4 4 π R' ⋅ ρ × 3.142 × 7.79 × 10 −10 × 997 （2） N = 3 × 6.023 × 10 23 = 66 ×L = 3 M 18 × 10 −3
( )
(
)
12 ． 在 298K 时 ， 1 ， 2- 二 硝 基 苯 （ NB ） 在 水 中 所 形 成 的 饱 和 溶 液 的 浓 度 为
5.9 ×103 mol ⋅ dm−3 ，计算直径为 0.01μm的NB微粒在水中的溶解度？已知在该温度下，
NB与水的γl-s为 0.257 N·m-1,NB的密度为 1566kg ⋅ m
解：
RT ln c 2γ l − s M = c0 ρ R'
−3
代入数据求知 c = 9.3 ×10−3 mol ⋅ dm −3 ≈ 9.3 × 10−3 mol ⋅ kg −1
NB 微粒在水中的溶解度
S = M ⋅ c = 0.168kg ⋅ mol−1 × 9.3 × 10−3 mol ⋅ kg −1 = 1.55 ×10−3
c ⎞ ⎛ 14、在 292K时，丁酸水溶液的表面张力可以表示为 γ = γ ο − a ln ⎜1 + b ! ⎟ ，式中γ0为纯 c ⎠ ⎝
水的表面张力，a、b为常数。 （1）试求该溶液中丁酸的表面超额Γ2和其浓度c之间的关系式（设活度系数均为 1） 。 （2）若已知a=0.0131 N·m-1，b=19.62,试计算当 0.2mol ⋅ dm 时Γ2值为多少？ （3） 如果当浓度增加到 b
c 再求Γ2值为多少？设此时表面上丁酸成单分子紧密 >> 1 时， c!
−3
排列层，试计算在液面上丁酸分子的截面积为若干？ 解： （1）对题给关系式 γ = γ 0 − a ln(1 + ba / c ! ) 两边微分，得
dγ ab =− ! d (c / c ) 1 + b(c / c ! )
代入吉布斯吸附公式，因活度系数为 1，得
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Γ2 = −
c / c! dγ c / c! ab = ! RT d (c / c ) RT 1 + b(c / c! )
0.2 0.0131× 19.62 ⎞ ⎛ −2 −6 −2 （2）当 Γ2 = ⎜ × ⎟ mol ⋅ m = 4.30 × 10 mol ⋅ m 时 ⎝ 8.314 × 292 1 + 19.62 × 0.2 ⎠
（3）当 b
c >> 1 时 c! a ⎛ 0.0131 ⎞ −2 −6 −2 =⎜ ⎟ mol ⋅ m = 5.40 × 10 mol ⋅ m RT ⎝ 8.314 × 292 ⎠
Γ2 =
每个丁酸分子的截面积为
A=
1 1 ⎛ ⎞ 2 m = 3.08 ×10−19 m 2 =⎜ 23 −6 ⎟ L Γ2 ⎝ 6.02 ×10 × 5.40 ×10 ⎠
15、在 298K时，乙醇水溶液的表面张力与溶液活度之间的关系为 γ = γ 0 − Aa + Ba 2 ，式 中常数A= 5 × 10−4 N·m-1，B= 2 × 10 −4 N·m-1,求活度a=0.5 时，溶液的表面超额Γ2为多少？ 解 由题给公式 γ = γ 0 − Aa + Ba 2 ，得
dγ = − A + Ba = (−5 × 10−4 + 4 × 10−4 a )N ⋅ m −1 da
当 a=0.5 时，由吉布斯吸附公式，得
Γ2 = −
a dγ RT da 0.5 ⎡ ⎤ = −⎢ × (−5 × 10−4 + 4 × 10−4 × 0.5⎥ mol ⋅ m −2 ⎣ 8.314 × 298 ⎦ = 6.05 × 10−4 mol ⋅ m −2
17、在 298K时，用刀片切下稀肥皂水的极薄表面层 0.03m2，得到 2 × 10 −3 dm 3 的溶液，发 现其中含肥皂为 4.013 × 10 −5 mol ，而其同体积的本体溶液中含肥皂为 4.00 × 10−5 mol ，试 计算该溶液的表面张力。已知 298K时，纯水的表面张力为 0.072N·m-1，设溶液的表面张 力与肥皂活度呈线形关系， γ = γ 0 − Aa ，活度系数为 1。 解
−5 n2 − n1 ⎡ ( 4.013 − 4.00 ) × 10 ⎤ −2 表面超额为Γ2 = =⎢ ⎥ mol ⋅ m A 0.03 ⎣ ⎦
= 4.33 × 10−6 mol ⋅ m −2
由题给表面张力与活度间的关系，得到
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a=
则Γ2 = −
γ0 −γ
A
，
dγ = −A da
a d γ aA γ 0 − γ = = RT da RT RT
故 γ = γ 0 − RTΓ2 = 0.0613N ⋅ m −1 18、293K 时，根据下列表面张力的数据： 界面 苯-水 35 苯-水 28.9 水-气 72.7 汞-气 483 汞-水 375
γ ×10−3 /(N ⋅ m −1 )
试计算下列情况的铺展系数及判断能否铺展： （1）苯在水面上（未互溶前） ， （2）水在 水银面上。 解： （1） S = γ 水 − γ 苯 − γ 苯 −水
= （0.0727 − 0.0289 − 0.035）N ⋅ m −1 = 0.088N ⋅ m −1 > 0