人教版九年级数学28.1 锐角三角函数(第1课时)课件

巩固练习
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在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则
4
sin∠OAB等于__5__
y
3A
x
4
5
B
探究新知
素养考点 3 利用正弦求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A 1，
3 BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
BC AB
，
你能得出什么结论？
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
,
,
因此
.
在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直 角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
探究新知
归纳总结 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当 ∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一 个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等 于 ，也是一个固定值.
，
求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理 得 AC AB2 BC2 (25x)2 (7x)2 24x
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
课堂检测
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A 3 ，BC=6，则 AB
5
的长为 （ D ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sin A 1 ，AB=6，
3
那么BC=___2__.
课堂检测
5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值
12
13 .
巩固练习
判断对错:
1) 如图① (1) sin A BC
AB
（√）
B 10m 6m
(2) sin B BC
AB
（ × ） A 图① C
(3)sin A=0.6m
（×）
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
(4)sin B=0.8
（ √）
B
2)如图②， sin A BC
AB
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究新知
归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与 斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.
探究新知
知识点 正弦的定义
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平
面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长
（
×）
A 图② C
巩固练习
在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，
sinA 的值 ( C )
A. 扩大100倍
1
B. 缩小100
C. 不变
D. 不能确定
探究新知
素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP， 求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
探究新知
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么
BC AB
与 B' C'
A' B'
有什么关系？你能解释一
下吗？
B' B
A
C A'
C'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( D )
A. a
b a
C. a2 b2
B. b
a b
D. a2 b2
y P (a，b)
α
O
x
课堂检测
2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ B ）
A. 扩大 2 倍
C. 缩小
1 2
B.不变 D. 无法确定
人教版 数学 九年级 下册
28.1 锐角三角函数 (第1课时)
导入新知
鞋跟多高合适
美国人体工程研究学人员调查发现，
B 15
当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左 A 11˚
C
右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到
脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
素养目标
3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值， 并且能利用正弦求直角三角形的边长.
连接中考
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则 sinB=（ A ）
A．3 5
B． 4 5
C． 3
D．3
7
4
A
B
C
连接中考
2. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称
为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是
5
_____5__．
课堂检测
基础巩固题
∴sin B AC 6 2 2 2 .
A
C
AB 9 3
∴
S△ABC
=
1 2
AC
BC
1 2
6
2 3=9
2.
探究新知
归纳：
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
B
sinB = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch.
A
C
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
10
为 10 . 解析：∵ AB 20 ，BC 18 ，AC 2 ， ∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2. ∴ ∠ACB＝90°. ∴ sin ABC AC 2 10 .
AB 20 10
课堂检测
能力提升题
如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， sin A 4 ，求
△ABC 的面积.
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
35m 50m
A
C C'
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
.
探究新知
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，A
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
解：（1）在Rt△ABC中， （2）在Rt△ABC中对，边与斜边
AB AC2 BC2 42 32 5,
sin A
BC 5 AB 13
, 的比.
因此 sin A BC 3 ,
AB 5
AC AB2 BC2 132 52 12,
sin B AC 4 .
AB 5
因此
sin
B
AC AB
5
B
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sin A 4
∴ BD AB sin A 5 4 4，
5
5
AD AB2 BD2 52 42 3.
，
5 A
5
C D
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
课堂小结
正弦函数的概念
sin
A
sinB = h，BC=a，则 AB a ， AC ah .
k
k
巩固练习
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
sin B 3 ， BC的长是 5
8
．
A
B
Ｃ
探究新知
素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度
例4
在
△ABC
中，∠C=90°，AC=24cm，
sin
A
7 25
B
长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后
再利用勾股定理，求出 AC 的长度， A
C
进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
探究新知
解：∵在 Rt△ABC 中，sin A 1，∴ BC 1. 3 AB 3
∴ AB = 3BC =3×3=9.
B
∴AC= AB2 BC2 92 32 6 2.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . 在Rt△APO中，由勾股定理得
OP OA2 AP2 32 42 5.
因此 sin AP 4 .
OP 5
α
A (3，0)
探究新知 方法点拨
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值， 一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三 角形，再结合勾股定理求解.
=
∠A的对边
斜边
正弦函数
正弦函数的应用
已知边长求正弦值 已知正弦值求边长
三角形中∠A的对边与斜边的比；
• sinA不表示“sin”乘“A”.
探究新知
素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和求sinA就是
sinB的值．
B
（1）
3
A 4C
B
（2）5
C
要确定∠A
13
的对边与斜 边的比；求
sinB就是要 A 确定∠B的
的水管？ B
C A
B
35m 30°
A
C
分析：这个问题可以归 结为，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一
半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
探究新知
【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为
巩固练习
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
求sinB的值.
sin A 5 , AC=12. 13 B
解:在Rt △ABC中,
13 5
设AB=13x，BC=5x,
A
由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2.
C 12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此 sin B AC 12. AB 13
sin
A
=
∠A的对边
斜边
=
a c
B
斜边 c
a对 边
例如，当∠A＝30°时，我们有
A bC
sin A sin 30 1 ； 2
当∠A＝45°时，我们有 sin A sin 45 2 .
2
探究新知
注意
• sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，
记号里习惯省去角的符号“∠”； • sinA没有单位，它表示一个比值，即直角