平差教学课件-朱刘娟-第1章内容总结

习题
例１．已知独立观测值 L1、L2的协方差阵为 DLL 106 80
单位权方差为：
2 0
2
求观测值的权阵
PLL
及各个观测值的权
P1、P2
解：观测值的协因数阵为
QLL
1
2 0
DLL
80
04
观测值的权阵为
PLL QLL 1 10/ 8 10/ 4
观测值的权分别为： P1 1/ 8, P2 1/ 4
则丈量CD1次的中误差为
CD1次
0
pcd1次
42 0.5
8
则丈量CD16次的中误差为
CD16次
CD1次
16
8 4
2
X
N
pi
2 0
2 i
习题
例8． 已知AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm, 而CD=400m,丈量16次，以同样精度丈量距离CD，问距离CD平均 值的中误差为多少？
习题
例２．已知独立观测值
L1、L 2
的权阵为 PLL
4 2
32
单位权方差为：
2 0
1
求观测值的协方差阵 DLL
及各个观测值的权 P1、P
2
解：观测值的协因数阵为
QLL
PLL1
1 8
3 2
2 4
观测值的协方差阵为
DLL
02QLL
1 8
3 2
42
观测值的权分别为： P1 8 / 3, P2 2
内容总结
判断题 1.测角中正倒镜是为了消除偶然误差。（）
偶然误差和系统误 差的定义区别
知识点：“正倒镜”即用盘左、盘右两个位置观测水平角，目的是为了消 除仪器 误差中“水平度盘偏心差”。通过将同一目标方向在水平度盘对径 分划处读数平均，可消除水平度盘偏心差。因此， “水平度盘偏心差”是 系统误差。
2.下列哪些是偶然误差： A.钢尺量边中的读书误差；B.测角时的读数误差； C.钢尺量边中，由于钢尺名义长度与实际长度不等造成的误差； D.垂直角测量时的竖盘指标差。
L L
1n 2n
M M
几点说明：
n1 n2 L
2 n
1. E(L) 是观测向量的期望；
2. 协方差阵为对称阵；
3. 主对角元素是第i 组观测值的方差；
4. 非主对角元素是第i 组观测值关于第j组观测值的协方差， 协方差用来描述观测值i 和观测值j 之间的相关程度；
5. 观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；
dZi
fi X1
0
dX1
fi X 2
0
dX 2
L
fi X n
0
dX n , i
1, 2,L
,t
3.注意单位的统一，角度要转换为弧度制
4.将微分关系写成矩阵形式：Z KX or dZ KdX 5.应用协方差传播律或协因数传播率求解具体问题
内容总结
9.测量中的具体应用
(1)水准测量
6.各观测值权之间的比例关系和观测值中误差没有关系。（）
知识点：观测值的权与观测值方差成反比，权之间的比例关系与所选 的单位权中误差没有关系。
内容总结
判断题
7.已知两段距离的长度及其中误差为 300.158m 3.5cm 和 600.686m 3.5cm ， 这两段距离的真误差相等，最大限差相等。（）
内容总结
1.几个名词
误差 真误差
方差 中误差 平均误差 或然误差 极限误差 相对误差
权
偶然误差 系统误差
粗差
精度 准确度
精确度
衡量精度的指标 注意单位：同类观测量；不同类观测量
内容总结
2.一个事实
不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。
3.基本假设
在本课程中我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。 换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。
dX (dX1 dX 2 dX n )T
dZ Z Z 0 Z f
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
dZ
(
f X
1
)
0
dX
1
(
f X
2
)
0
dX
2
(
f X
n
)
0
dX
n
KdX
内容总结
8.解题步骤
1.按要求写出函数式，如：Zi fi X1, X2,L , Xn ,i 1,2,L ,t
2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化， 偏导数是将观测值代入求解得到
Q1n
Q2n
n1 n2
2 n
Qn1 Qn2
Qnn
协因数阵的特点：
QXX协因数阵
1.主对角元素 Qii 是随机变量 X i 的协因数，即权倒数。
2.非主对角元素 Qij i j 是随机变量Xi 关于随机变量 X j 的互协因数，
且有 Qij ，Q因ji 此协因数阵也为对称阵。
3. Qij 0i j 表明随机变量 X i 与随机变量X j 独立，不相关。
（与上题的区别是不知道ＣＤ丈量一次的权）
解：AB 丈量一次的中误差为
AB1次 AB4次 4 2 4 4
由定权公式知，单位权中误差 0 AB1次 pAB1次 4 2
根据丈量１００m的权是２知 P C S
2 C C 200 100
则丈量ＣＤ一次的权为
PCD1次
C S
200 400
0.5
习题
例3. 已知独立方向观测值 l1、l2、l3 的协因数阵为 Qll I
求（１）角度 L1、L2 的权 （２）L1、L2 是否相关？
解： L1 l2 l1
L2 l3 l2
矩阵形式：
L
L1 L2
1 0
1 1
0 l1
1
l2 l3
Kl
l1
L1
l2
L2
l3
1 0
1 1 0
2 1
QLL 0
2.当观测值相关，其协因数阵 QXX是非对角阵，权阵PXX 的主对角元素不再是 相应观测值 X i 的权。
注意：求观测值权的方法，通过协因数阵主对角线元素进行求解。
12.应用特例
内容总结
DZZ
2 Z
k12
2 1
k
22
2 2
kn2
2 n
QZZ
1 PZ
( f )2 L1
1 p1
( f )2 L2
1 p2
N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差= 各观测值中误差除以 ，N权与N成正比
(3)若干独立误差的联合影响
z 1 2 L n
2 Z
12
2 2
L
2 n
观测结果=各独立误差所对应的方差之和
内容总结
10.协因数阵
DXX
2121
12
2 2
1n 2n
2 0
Q11 Q21
Q12 Q22
4.统计规律
❖在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值——有界性 ❖绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大——聚中性 ❖绝对值相等的正负误差出现的概率相同——对称性 ❖偶然误差的数学期望为零——抵偿性
内容总结
5.协方差阵
DLL
E[(L
E(L))(L
E(L))T
]
2121 M
12
2 2
M
协因数传播律
广义传播律
内容总结
7.两个传播律
非线性函数
首先将函数线性化，线性化方法（泰勒级数和全微分法），然后再进行相关计算。
(1)泰勒级数法：
将非线性函数在 X10
X
0 2
L
X
0 n
处按照泰勒公式展开如下：
Z
f
(
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
)
(
f X
1
)
0
(
X
1
X
0 1
)
( f X
2
)0
(X
2
则丈量ＣＤ１次的中误差为
CD1次
0
pcd1次
42 0.5
8
则丈量ＣＤ１６次的中误差为
CD16次
CD1次
16
8 4
2
X
N
pi
2 0
2源自文库i
习题
例10．如图水准路线A,B为已知高程点, h1, h2 为观测高差,设 1, 2 分别为相应 观测值的中误差,且 1 2 2 单位权中误差 0 2
X
0 2
)
( f X
n
)0 (X
n
X
0 n
)
(二次以上项）
K k1
k2
kn
(
f X
1
)
0
(
f X
2
)
0
(
f X
n
)
0
n
k0
f
(
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
)
k
i
X
0 i
i 1
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0 KX k0
(2)全微分法：
dX i
Xi
X
0 i
(i 1,2, , n)
习题
例6． 已知丈量100m长的距离一次，其权为1.5，问： （１）丈量300m长的距离一次，其权为多少？ （２）对300m的距离丈量多少次，其权为４？
解：由题意知
P100一次
1.5
c 100
C 150
（１）丈量300m长距离一次的权为
p300一次
C 300
150 300
1 2
（２）设丈量300m长距离n次的权为4,则
内容总结
7.两个传播律
线性函数
Z Y
KX FX
K0 F0
DZZ DYY DZY
KDXX K T FDXX F T KDXX F T
DYZ
F DX X
KT
协方差传播律
QZZ KQ XX K T
QWW Q ZW
F QYY KQ XY
F F
T T
QWZ
FQYX K T
6. 观测值为等精度独立观测值时，协方差阵为数量矩阵。
内容总结
6.互协方差阵
Z(nr )1
X n1
Yr1
DZZ
DXX
DYX
DXY
DYY
DXX
X的协方差阵
DYY
Y的协方差阵
DXY
向量X关于向量Y的互协方差阵
DXY E(( X E(X ))(Y E(Y ))T ) DYTX
若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测向量。
，现有函数 F
P L1
3 1 L2
31
，已知L1
解： 试求1．L的协因数阵；2．单位权中误差；3． F的中误差？
1．
Q
P 1
3 1
11 3
1 8
3 1
13
2．
P11
3 8
0 1 / P11 2 2
3．
F L1 L2 1
1
L1 L2
QFF 1 1QLL 11 1
F 0 QFF 2 2
3.观测值与最佳估值之间之差为真误差。（） 知识点：真误差概念：“真误差为真值与观测值的差值”。
内容总结
判断题
4.偶然误差符合统计规律。（）
知识点：偶然误差的四个统计规律：有界性，聚中性，对称性，抵偿性
5.权一定无单位。（）
pi
2 0
2 i
知识点：“同类观测值”，权无单位；“不同类观测值”，权有单位。
hAB
N
2 站
pi
C Ni
测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测 站数的平方根成正比，权与测站数成反比
hAB S 公里
pi
C Si
各测站距离大致相等时，水准测量高差的中误差 与距离的平方根成正比，权与距离成反比
内容总结
9.测量中的具体应用
(2)同精度独立观测值的算术平均值
x
N
pi
Ni C
( f )2 Ln
1 pn
带权 平均
L
情况一：“同精度” x
值的
n
权等
px np
于各 观测 值权
情况二：“不同精度”
x
pL p
之和
px p
中误差传播律 权倒数传播律
加权平均值
主要公式汇编
不同精度真误差 计算单位权方差
菲列罗公式
双观测值之 差求中误差
ˆ
ww
3n
ˆ
2 0
pdd
2n
1
1
I
1 0
1 1
1
2
角度的权： PL1 PL2 1/ 2
因为 Q12 1
L1、L2 为相关观测值
习题
例4．现对某角度观测2次，观测值及其中误差分别为：
L1 30 2" ， L2 30.2 4"
则该角度的平均值为
，该角度平均值的中误差为
。
解：设 0 4"
则：
p1
2 0
12
4, p2
1 4 nP300一次 2 n
n8
习题
例7． 已知AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的 中误差为2cm,而对于距离CD，其丈量一次的权为0.5， 若CD丈量16次，问其平均值的中误差为多少？
解：AB 丈量一次的中误差为 AB1次 AB4次 4 2 4 4
由定权公式知，单位权中误差 0 AB1次 pAB1次 4 2
若要求平差后P点高程中误差为 P 2mm ,问观测精度 1, 2 各为多少?
解：P点的两个高程值分别为
h1
h2
HP HA h1 HP HB h2
A
B P
由协方差传播律得：
P 1 P 2
P
2 0
p2
1 4
P
2 0
p2
1
H
p
H p
p p
H p p
p
H A h1 4 HB h2
1
角度的平均值为
L p1L1 p2L2 4 30 1 30.2 30.040
P1 P2
4 1
角度的平均值的权 PL P1 P2 5
L 30.04 1.79"
角度的平均值的中误差
L 0
1 4 PL
1 1.79" 5
习题
例5． 已知观测值向量
的中误差为1
L
21
3
L1 L2
，其权阵为
内容总结
11.权阵
对于相关的观测向量 X
，我们令
PXX
Q
1 XX
PXX QXX I
权阵说明：
P11 P12
PXX
P21
P22
Pn1 Pn2
P1n
P2n
Q 1 XX
Pnn
则，PXX 称为 X 的权阵。
1.独立观测值的协因数阵Q XX 、权阵PXX 是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。
知识点：衡量精度的常用精度指标：中误差（方差）、平均误差、或然误 差、最大限差和相对误差。
注意：中误差表示的是真误差的分布范围，并不代表任何具体的真误差。
8.如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X和Y的协方差为0，则X 和Y相互独立。（）
知识点：协方差可描述两个观测量之间的独立与相关性。即对于正态分布 的观测值而言，协方差为0与相互独立是等价的。