机器人技术第七章机器人的轨迹规划

由约束条件数所对应的多项式系数的个数确定多项式的次数
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为了控制操作机，在规划运动轨迹之前，需要给定机器人 在初始点和终止点的手臂形态。在规划机器人关节插值运动 轨迹时，需要注意下述几点： 1、抓住一个物体时，手的运动方向应该指向离开物体支承表 面的方向。否则，手可能与支承面相碰。 2、若沿支承面的法线方向从初始点向外给定一个离开位置 (提升点)，并要求手(即手部坐标系的原点)经过此位置，这种 离开运动就是允许的。如果还给定由初始点运动到离开位置 的时间，我们就可以控制提起物体运动的速度。 3、对于手臂运动提升点的要求同样也适用于终止位置运动的 下放点(即必须先运动到支承表面外法线方向上的某点，再慢 慢下移至终止点)。这样，可获得和控制正确的接近方向。 4、对手臂的每一次运动，都设定上述四个点：初始点，提升 点，下放点和终止点。
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7.1.2 机器人任务规划的作用
机器人的规划程序只需要给定任务初始状态和最终状态的描 述。这些规划系统一般都不说明为实现一个算符所需的详细的 机器人运动。任务规划程序则把任务级的说明变换成操作机级 的说明。为了进行这种变换，任务规划程序必须包含被操作物 体、任务环境、机器人执行的任务、环境的初始状态和所要求 的最终(目标)状态等描述。任务规划程序的输出就是一个机器 人程序，在指定的初始状态下执行该程序后，就能达到所要求 的最终状态。 任务规划有三个阶段：建立模型、任务说明和操作机程序综 合。任务的世界模型应含有如下的信息:(1)任务环境中的所有 物体和机器人的几何描述；(2)所有物体的物理描述；(3)所有 连接件的运动学描述，(4) 机器人和传感器特性的描述。在世 界模型中，任务状态模型还必包括全部物体和连接件的布局。
每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的轨 迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下放 点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点的 轨迹由四次多项式表示。
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3—5—3 轨迹 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。 第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。 (3—3—3—3—3) 轨迹 对五段轨迹都使用三次多项式样条函数。
注意，上述讨论对每个关节轨迹都是有效的，即每个关节 轨迹可分割成三段或五段。
7.3.1 4—3—4 关节轨迹的计算
对于N个关节, 在每段轨迹规划中就要确定 N 条关节轨迹， 引用归一化时间变量 t 0,1 是方便的，它使我们能用同样的方 法处理每个关节每段轨迹的方程。时间变化范围均由 t 0 (各 段轨迹的初始时间)变到 t 1(各段轨迹的终止时间)。 18
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在关节变量空间的规划有三个优点：
(1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。 伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是，为 了避开轨迹上的障碍．常常又要求知道一些杆件和手位置。
由于面向笛卡尔空间的方法有前述钟种缺点，使得面向关节 空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节坐 标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是计 算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落在 拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔路 径的准确性会有损失。
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5、位置约束 (a) 初始点：给定速度和加速度(一般为零)； (b) 提升点：中间点运动的连续； (c) 下放点：同提升点； (d) 终止点：给定速度和加速度(一般为零)。
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6、除上述约束外，所有关节轨迹的极值不能超出每个关节 变量的物理和几何极限。
7、时间的考虑
(a) 轨迹的初始段和终止段：时间由手接近和离开支承表面 的速率决定；也是由关节电机特性决定的某个常数。
路径约束
路径设定
轨迹规划器
动力学约束
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规划操作机的轨迹有两种常用的方法： 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。
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7.3 关节插值轨迹
一般说来，生成关节轨迹设定点的基本算法是很简单的：
循环：等待下一个控制间隔；
t t0
t t t h(t ) t 时刻操作机关节所处的位置； 若 t t f ，则退出循环；
转向循环。 从上述算法可以看出，要计算的是在每个控制间隔中必须更 新的轨迹函数(或轨迹规划器)h(t)。因此，对规划的轨迹要提出 四个限制。第一，必须便于用迭代方式计算轨迹设定点；第二， 必须求出并明确给定中间位置；第三，必须保证关节变量及其 前二阶时间导数的连续性，使得规划的关节轨迹是光滑的；最 后，必须减少额外的运动 (例如，“游移” )。 11
p +1个点
若某关节(例如关节 i )的关节轨迹使用 p 个多项式，则要满 足初始和终止条件(关节位置、速度和加速度)，并保证这些变 量在多项式衔接处的连续性，因而需要确定 3( p十1)个系数。 若给定附加的中间条件(例如位置)，则对每个中间条件需要 增加一系数。通常，可以给定两个中间位置，一个靠近初始位 置；另一个靠近终止位置。这样做，除了可以较好地控制运动 外，还能保证操作机末端以适当的方向离开起点和接近终点。 因此，对于连接初始位置和终止位置的每个关节变量，一 个七次多项式就足够了，或者用两段四次轨迹加一段三次轨迹 （4—3—4），也可以用两段三次轨迹加一段五次轨迹（3— 5—3），或五段三次轨迹（3—3—3—3—3）。
(b) 轨迹的中间点或中间段：时间由各关节的最大速度和加 速度决定，将使用这些时间中的一个最长时间 ( 即用最低速 关节确定的最长时间来归一化)。 在关节轨迹的典型约束条件之下，我们所要研究的是选择 一种 n 次(或小于 n 次)的多项式函数，使得在各结点(初始点， 提升点，下放点和终止点)上满足对位置、速度和加速度的要 求，并使关节位置、速度和加速度在整个时间间隔 [ t0, tf ] 中 保持连续。
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在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。 在第二种方法中，路径约束在笛卡尔坐标中给定，而关节驱 动器是在关节坐标中受控制的。因此，为了求得一条逼近给定 路径的轨迹，必须用函数近似把笛卡尔坐标中的路径约束变换 为关节坐标中的路径约束，再确定满足关节坐标路径约束的参 数化轨迹。
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机器人规划分为高层规划和低层规划。自动规划在机器人 规划中称为高层规划。在无特别说明时，机器人规划都是指 自动规划。自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某个 特定的问题状态出发，寻求一系列行为动作，并建立一个操 作序列，直到求得目标状态为止。与一般问题求解相比，自 动规划更注重于问题的求解过程，而不是求解结果。
我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有传 感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。这 些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或布 局。例如， “积木世界” 。
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目标状态
机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的： 机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智能 与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
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7.2 机器人轨迹规划的一般性问题
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人工 智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论机 器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运动 过程中的位移、速度和加速度。 轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表示 路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的操 作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。 由初始点运动到终止 点，所经过的由中间 形态序列构成的空间 曲线称为路径。这些 形态序列即是曲线上 的“点”。
缺乏规划可能导致不是最佳的问题求解，甚至得不到问题的 求解。
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许多规划所包的步骤是含糊的，而且需要进一步说明（子 规划）。大多数规划具有很大的子规划结构，规划中的每个 目标可以由达到此目标的比较详细的子规划所代替。因此， 最终得到的规划是某个问题求解算符的线性或分部排序，但 是由算符来实现的目标常常具有分层结构。 把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法使 我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。 有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一个 问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态，而 只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一的 困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题，这 种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
第七章 机器人的轨迹规划 7.1 机器人规划的定义和作用 7.1.1 概述
机器人学中的一个基本问题是为解决某个预定的任务而规划 机器人的动作，然后在机器人执行完成那些动作所需的命令时 控制它。这里，规划的意思就是机器人在行动前确定一系列动 作(作决策)，这种动作的确定可用问题求解系统来解决，给定 初始情况后，该系统可达到某一规定的目标。因此，规划就是 指机器人为达到目标而需要的行动过程的描述。 规划内容可能没有次序，但是一般来说，规划具有某个规划 目标的蕴含排序。例如，早晨起床后的安排。
轨迹规划既可在关节变量空间中进行，也可在笛卡尔空间进 行。对于关节变量空间的规划，要规划关节变量的时间函数及 其前二阶时间导数，以便描述操作机的预定运动。在笛卡尔空 间规划中，要规划操作机手部位置、速度和加速度的时间函数， 而相应的关节位置、速度和加速度可根据手部信息导出。
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在笛卡尔空间进行轨迹规划的特点：
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规划关节插值轨迹的约束条件： 1. 位置(给定)
初始位置 2．速度(给定，通常为零) 3. 加速度(给定，通常为零) 4. 提升点位置(给定) 5．提升点位置（与前一段轨迹连续） 6. 速度（与前一段轨迹连续） 中间位置
7．加速度（与前一段轨迹连续）
8. 下放点位置(给定) 9．下放点位置（与前一段轨迹连续）
10. 速度（与前一段轨迹连续）
11. 加速度（与前一段轨迹连续） 12. 位置(给定)
终止位置
13. 速度(给定，通常为零)
14. 加速度(给定，通常为零)
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一种方法是为每个关节规定一个七次多项式函数
式中，未知系数 aj 可由已知的位置和连续条件确定。但用这种 高次多项式内插给定的结点也许不能令人满意，因为它的极值 难求，而且容易产生额外的运动。 另一种办法是将整个关节空间轨迹分割成几段，在每段轨迹 中用不同的低次多项式来插值。有几种分割轨迹的方法，每种 方法的特性各不相同。 4—3—4 轨迹
定义下列变量：
轨迹是由多项式序列hi(t)构成的，这些多项式合起来形成关 节 j 的轨迹。在每段轨迹中关节变量的多项式用归一化时间表 示为:
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这些关节轨迹分段多项式所应满足的边界条件为:
面向笛卡尔空间方法的优点是概念直观，而且沿预定直线路 径可达到相当的准确性。可是由于现代还没有可用笛卡尔坐标 测量操作机手部位置的传感器，所有可用的控制算法都是建立 在关节坐标基础上的。因此，笛卡尔空间路径规划就需要在笛 卡尔坐标和关节之间进行实时变换，这是一个计算量很大的任 务，常常导致较长的控制间隔。 由笛卡尔坐标向关节坐标的变换是病态的，因而它不是一一 对应的映射。 如果在轨迹规划阶段要考虑操作机的动力学特性，就要以笛 卡尔坐标给定路径约束，同时以关节坐标给定物理约束(例如， 每个关节电机的力和力矩、速度和加速度权限)。这就会使最 后的优化问题具有在两个不同坐标系中的混合约束。