《近世代数》模拟试题1与答案

近世代数模拟试题

一.单项选择题(每题5分，共25分)

1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.

A. 0

B. 1

C.－1

D. 1/n，n 是整数

2、下列说法不正确的是（）.

A . G 只包含一个元g，乘法是gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群;

B . G 是全体整数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;

C . G 是全体有理数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;

D. G 是全体自然数的集合，G 对普通加法来说作成一个群.

3. 如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是().

A . 反身性 B.对称性 C.传递性 D. 封闭性

4. 对整数加群Z 来说，下列不正确的是（）.

A.Z 没有生成元 .

B. 1 是其生成元 .

C.－1 是其生成元 .

D.Z 是无限循环群 .

5.下列叙述正确的是（）。

A.群 G 是指一个集合 .

B.环 R 是指一个集合 .

C.群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在 .

D.环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在 .

二. 计算题 (每题 10 分，共 30 分)

1.设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵普通乘法作成

1213的群，试求中 G 中下列各个元素 c, d

0,cd ，

011的阶 .

2.试求出三次对称群

S3(1), (12), (13), (23),(123),(132)

的所有子群 .

3.若 e是环 R 的惟一左单位元，那么 e 是 R 的单位元吗？若是，请给予证明 .

三. 证明题(第1小题 10分，第 2小题 15分，第 3小题 20分，共

45 分).

1.证明 : 在群中只有单位元满足方程

x2x.

2．设G是正有理数乘群，G是整数加群.证明：

: 2n b n

a

是群 G 到G的一个满同态，其中a, b 是整数，而 (ab,2) 1.

3．设S是环R的一个子环.证明:如果R与S都有单位元，但不相等，则 S 的单位元必为R的一个零因子.

近世代数模拟试题答案

2008 年 11 月

一、单项选择题 (每题 5分，共 25 分)

1.A

2. D

3.D

4.A 5 . C

二.计算题(每题10分，共30分)

1.解：

易知 c 的阶无限，(3 分)

d 的阶为 2.（3 分）

但是

1 1

cd,

01的阶有限，是 2.

2.解： S3的以下六个子集（2 分）（2 分）

H1(1) , H2(1),(12) ,H 3 (1),(13) ,

H 4(1),(23) ,H 5 (1),(123),(132) , H 6 S3（7 分）

对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集.（3 分）3.解： e是R的单位元。

事实上，任取a, b R,则因e是R的左单位元，故

(ae a e)b a(eb) ab eb ab ab b b,

即 ae a e也是 R 的左单位元。故有题设得

ae a e e,ae a.

即e是R的单位元.

三、证明题 (每小题 15 分共 45 分 )

1． 证明：

设 e 是 G 的单位元，则 e 显然满足所说的方程 （3 分）

另外，

设 a G 且 a 2

a ，则有

a 1a 2 a 1a,

即 a e ,

（5 分）

即只有 e 满足方程

x 2

x .

（2 分）

2. 证明：

显然是 G 到 G 的一个满射

（3 分）

又由于

当 ( ab,2) 1, (cd ,2)

1时有

( abcd, 2)

1

（4 分）

(2 n b 2m d )

(2

n m

bd

) n m

且

a

c

ac

（6 分）

b ) (2 m d

).

(2n

a c

故

是群 G 到 G 的一个同态满射。

（2 分）

3 证明：

分别用 e 和 e 表示 R 与 S 的单位元，且 e e ，

于是 e 不是

R 的单位元。

（3 分）

因此，存在 0 a

R ，使

ae

a 或 e a a （5 分）

如果 ae

a ，则 ae

a 0 ，且

(ae

a) e

ae ae 0 ,

（4分） 即 e 是 R 的（右）零因子。

（3 分） 同理，如果 e a

a , 则 e 是 R 的（左）零因子 .

（5 分）