平面解析几何 经典题(含答案)

平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围000180α≤<
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，
当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称
方程的形式 已知条件 局限性 点斜式
为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x 轴和y 轴的
直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式
A ，
B ，
C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离
（1）两点间的距离平面上的两点
间的距离公式
（2）点到直线的距离 点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算
（二）直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法：
已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，0
90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

直线的参数方程
〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。

思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

〖例2〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333
(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例3〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。

（1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）；
（2）∠MPN 是直角。

思路解析：∠MOP=∠OPN ⇒OM//PN ，∠MPN 是直角⇒MP ⊥NP ，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。

注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l ，。

若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意
〖例4〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

思路解析：对截距是否为0分类讨论→设出直线方程→代入已知条件求解→得直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线
1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则
（1） 12122112211221111222222
//00(0)
(0).l l A B A B AC A C B C B C A B C A B C A B C ⇔-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为 （2）121212//0.l l A A B B ⇔+=
（3）1l 与2l 重合⇔01221=-B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或记为（1
11C C B B A A == （4）
〖例5〗已知直线1:260
l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=，（1）试判断1l 与2l 是否平行；（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2l
的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。

〖例6〗已知点P （2，-1）。

（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

思路解析：设出直线方程→由点到直线距离求参数→判断何时取得最大值并求之。

(三）轴对称
①点关于直线的对称 若两点
关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段的
中点在对称轴l 上，而且连接的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标()22,x y （其中120,A x x ≠≠）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

〖例7〗求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。

思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。

练习题
1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0
2．圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。

3．已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴上，直线:1l y x =-过圆C 所截得的弦长为，则过圆心有与直线l 垂直的直线的方程为
4．倾斜角为45︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）
A ．01=+-y x
B ．01=--y x
C ．01=-+y x
D ．01=++y x
5．过点()2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，且2MQ MP =，则直线l 的方程为（ ）
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.x-y-1=0
D.x+y-3=0
6．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）
A. 0
B. 8-
C. 2
D. 10
7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
8．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）
A. 0≠m
B. 23-≠m
C. 1≠m
D. 1≠m ，2
3-≠m ，0≠m
9．函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _
10． 若直线
1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ．
11．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的坐标．
12.写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x 轴平行．
13.三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．
14.已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行。