区间直觉模糊数多属性决策的TOPSIS方法

⎡⎣a(j1)
,
b(j1)
⎤⎦
,
⎡⎣c(j1)
,
d
(1)
j
⎤⎦
j = 1, 2,L, n
和
a%
(2)
j
=
⎡⎣a(j2)
,
b(j
2)
⎤⎦
,
⎡⎣c(j2)
,
d
(2
j
)
⎤⎦
( j = 1, 2,L, n) 为两组区间直觉模糊数，则该两组区间直觉模糊数间的加权海明距离为
( ) ∑ d
a% (j1)
,
a%
(2)
j
=
1 4
n
wj
j =1
⎡ ⎣
a(j1)
−
a
(2)
j
+
b(j1) − b(j2)
+
c(j1) − c(j2)
+
d
(1)
j
−
d
(2)
j
⎤ ⎦
(1)
3. 区间直觉模糊数的多属性决策的 TOPSIS 方法
对 于 区 间 直 觉 模 糊 数 的 多 属 性 群 决 策 问 题 ， 设 A = {A1, A2 ,L, Am} 为 方 案 集 ，
逼近理想解的决策分析方法。该方法依据传统的TOPSIS方法的基本思路，得到每个方案与 正、负理想方案间的加权海明距离，进而计算出每个方案与正理想方案间的相对接近度，即
可得到所有方案的排序结果。最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。
关键词：多属性决策；TOPSIS方法; 区间直觉模糊数
中图分类号：C934
bij
⎤ ⎦
,
⎡ ⎣
max i
cij
,
max i
dij
⎤ ⎦
， j ∈1, 2,L, n .
步骤2 计算每个方案与正、负理想方案间的加权海明距离。
( ) ∑ d
r%i , r%+
=1 4
n
wj ⎡⎣ aij − a+j
j =1
+
bij
−
b
+ j
+
cij
−
c
+ j
+
dij
−
d
+ j
⎤⎦
(4)
( ) ∑ d
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区间直觉模糊数多属性决策的 TOPSIS 方法
卫贵武 1, 2
1.西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031） 2.川北医学院数学系，四川南充 (637007)
E-mail：weiguiwu@163.com
摘 要：针对属性权重信息确定且属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种
{ } A = x, µA ( x),ν A ( x) x ∈ X 的 三 重 组 称 为 X 上 的 一 个 直 觉 模 糊 集 。 其 中
µA : X → [0,1] 和ν A : X → [0,1] 均为 X 的隶属函数，且 0 ≤ µA ( x) +ν A ( x) ≤ 1 ，这里 µA ( x) ,ν A ( x) 分别是 X 上元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度，表示为支持元素 x 属于集合
,
⎡⎣cn−
,
dn−
⎤⎦
(3)
其
中
，
( ) ( ) ⎡⎣a
+ j
,
b
+ j
⎤⎦
,
⎡⎣c
+ j
,
d
+ j
⎤⎦
=
⎡ ⎣
max i
aij
,
max i
bij
⎤ ⎦
,
⎡ ⎣
min i
cij
,
min i
dij
⎤ ⎦
，
( ) ( ) ⎡⎣
a
− j
,
b−j
⎤⎦
,
⎡⎣c
− j
,
d
− j
⎤⎦
=
⎡⎣miin
aij
,
min i
{ } A = x, µ%A ( x),ν%A ( x) x ∈ X
其中： µ%A : X → [0,1] 和ν%A : X → [0,1] ，且对于 A 上所有 x ∈ X ，满足
0 ≤ sup (µ%A ( x)) + sup (ν%A ( x)) ≤ 1 。
为方便，将区间直觉模糊集 A 记为
{ } A =
( ) ( ) R% =
r%ij
=
m×n
⎡⎣aij , bij ⎤⎦ , ⎡⎣cij , dij ⎤⎦
。
m×n
下面依据传统的TOPSIS方法的基本思想，给出解决区间直觉模糊数的多属性决策问题
的计算步骤。
步骤 1 确定正理想方案和负理想方案。
-2-
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( ) r%+ =
步骤 3 计算每个方案与正理想方案的相对接近度。
( ) ( ) ( ) ( ) c r%1, r%+ = 0.051, c r%2, r%+ = 0.826, c r%3, r%+ = 0.528, c r%4, r%+ = 0.830 ( ) 步骤 4 根据 c r%i , r%+ 值的大小对方案 Ai 进行排序。排序结果为： A4 f A2 f A3 f A1 。
-3-
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因此最优方案为 A4 。
5. 结论
针对属性权重信息确定且属性取值为区间直觉模糊数的多属性决策问题，本文依据传统 的 TOPSIS 方法，给出了区间直觉模糊数的多属性决策的 TOPSIS 方法。最后进行了实例分 析。本文的研究成果发展并完善了区间直觉模糊数决策方法的研究。
( ( )) ( ( )) 0 ≤ sup µ%Ai Gj + sup ν%Ai Gj ≤ 1 ， 为 方 便 起 见 , 记
( ) ( ) µ% Ai G j = ⎡⎣aij , bij ⎤⎦ , ν%Ai G j = ⎡⎣cij , dij ⎤⎦ ， 从 而 构 成 区 间 直 觉 模 糊 数 决 策 矩 阵
([0.4,
0.7],[0.1,
0.2])
⎥ ⎥
([0.5,
0.6],[0.1,
0.3])
⎥ ⎥
⎢⎣([0.7,0.8],[0.1,0.2]) ([0.6,0.7],[0.1,0.3]) ([0.3,0.4],[0.1,0.2])⎥⎦
属性 G1, G2, G3 的权重向量为： w = (0.35, 0.25, 0.40) 。
文献标志码：A
1. 引言
自从 1965 年 Zadeh 教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问 题拓展到了模糊现象的领域。1986 年保加利亚学者 Atanassov 进一步拓展了模糊集，提出了 直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模 糊集的特殊情形[2-3]。1993 年 Gau 和 Buehrer 定义了 Vague 集[4]，Bustince 和 Burillo 指出 Vague 集的概念与 Atanassov 的直觉模糊集是相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与 非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定 信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。 Atanassov 等[6]对直觉模糊集进一步推广，提出了区间直觉模糊集的概念。Atanassov[7]定义 了区间直觉模糊集的一些基本运算法则。本文对权重信息确定且属性取值为区间直觉模糊数 的多属性决策方法进行了研究，依据传统的 TOPSIS 方法，给出了区间直觉模糊数的多属性 决策的 TOPSIS 方法。最后进行了实例分析。
步骤2 计算每个方案与正、负理想方案间的加权海明距离。
( ) ( ) ( ) ( ) d r%1, r%+ = 0.279, d r%2, r%+ = 0.051, d r%3, r%+ = 0.139, d r%4, r%+ = 0.050 ( ) ( ) ( ) ( ) d r%1, r%− = 0.015, d r%2, r%− = 0.243, d r%3, r%− = 0.155, d r%4, r%− = 0.244
r%i , r%−
=
1 4
n
wj
j =1
⎡⎣ aij
−
a
− j
+
bij
− b−j
+
cij
−
c
− j
+
dij
−
d
− j
⎤⎦
(5)
步骤 3 计算每个方案与正理想方案的相对接近度。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ) ( ) ( ( ) ( )) c r%i , r%+ = d r%i , r%− d r%i , r%+ + d r%i , r%− ， i = 1, 2,L, m 。
2. 区间直觉模糊集基本理论
直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和 发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画 客观世界的模糊性本质。
( ) 定 义 1[2-3] 设 X 是 一 个 非 空 经 典 集 合 ， X = x1, x2 ,L, xn ， X 上 形 如
⎡⎣
a1+
,
b1+
⎤⎦
,
⎡⎣c1+
,
d1+
⎤⎦
,
⎡⎣
a2+
,
b2+
⎤⎦
,
⎡⎣c2+
,
d
+ 2
⎤⎦
,L
,
⎡⎣
an+
,
bn+
⎤⎦
,
⎡⎣cn+
,
d
+ n
⎤⎦
(2)
( ) r%− =
⎡⎣a1−
,
b1−
⎤⎦
,
⎡⎣c1−
,
d1−
⎤⎦
,
⎡⎣a2−
,
b2−
⎤⎦
,
⎡⎣c2−
,
d
− 2
⎤⎦
,L ,
⎡⎣
an−
,
bn−
⎤⎦
(7)
( ) 步骤4 按 c r%i , r%+ 由大到小的顺序排序，相应地，排在前面的方案最优。
4. 实例分析
假定有 4 个备选方案 A1, A2 , A3, A4 ,3 个评价属性 G1, G2 , G3 。为简单起见，备选方案的
评价属性都是效益型属性，每个备选方案对属性的满足程度用区间直觉模糊数表示，所得的
G = {G1, G2 ,L,Gn} 为属性集，w = ( w1, w2 ,L, wn )T 表示评价属性的权重向量，其中 wj 表
n
∑ 示 属 性 Gj 的 权 重 ， 满 足 wj = 1 和 wj ≥ 0 ， 1, 2,L, n 。 如 果 决 策 者 对 于 方 案 j =1
Ai ∈ A( A1, A2 ,L, Am ) 关于属性 Gj ∈ G (G1,G2 ,L,Gn ) 进行测度，属性值为区间直觉模糊
参考文献
[1] Zadeh L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control, 1965, 8: 338- 356. [2] Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20: 87-96. [3] Atanassov K. More on intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1989, 33: 37- 46. [4] Gau W L, Buehrer D J. Vague sets [J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1993, 23 (2) : 610-614. [5] Bustine H, Burillo P. Vague sets are intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1996, 79: 403-405. [6] Atanassov K, Gargov G. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems,1989,31 (3):343-349. [7] Atanassov K. Operators over interval-valued intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1994, 64 (2): 159-174. [8] Xu zeshui. On similarity measures of interval-valued intuitionistic fuzzy sets and their application to pattern regcgnitions [J]. Journal of southeast University (English Edition), 2007, 23(1):139-143.
为了确定最优方案，下面利用本文的方法给出具体的计算步骤。
步骤 1 正理想方案和负理想方案为
( r%+ = ([0.7,0.8],[0.1,0.2]) ([0.6,0.7],[0.1,0.3]) ([0.5,0.7],[0.1,0.2]))
( r%− = ([0.3,0.5],[0.3,0.4]) ([0.4,0.6],[0.3,0.4]) ([0.1,0.3],[0.5,0.6]))
x,
⎡⎣µ
L A
(
x)
,
µ
U A
(
x)⎤⎦
,
⎡⎣ν
L A
(
x)
,ν
U A
(
x)⎤⎦
x∈ X
在实际计算中，可将区间直觉模糊数简记为： ([a,b],[c, d ])
其中：[a,b] ⊂ [0,1],[c, d ] ⊂ [0,1],b + d ≤ 1。
( ) ( ) ( ) 定义8
[8]
设
a%
(1)
j
=
区间直觉模糊数评估矩阵为
⎡([0.4,0.5],[0.3,0.4]) ([0.4,0.6],[0.2,0.4]) ([0.1,0.3],[0.5,0.6]) ⎤
R%
=
⎢⎢([0.6, ⎢⎢([0.3,
0.7] , [0.2, 0.3]) 0.6] , [0.3, 0.4])
([0.6, 0.7] , [0.2, 0.3]) ([0.5, 0.6] , [0.3, 0.4])
-1-
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由于客观事物的复杂性和不确定性， µA ( x) 和ν A ( x) 的值往往难以用精确的实数值来
表达，而用区间数比较合适，因此Atanassov[6-7]等对直觉模糊集进行了拓展，提出了区间直 觉模糊集。
定义2[6-7] 设 X 是一个给定的论域，则 X 上的一个区间直觉模糊集 A 定义为
{ ( ) ( ) } ( ) 数 A = Gj , µ%Ai Gj ,ν%Ai Gj Gj ∈ G ，i = 1, 2,L, m, j = 1, 2,L, n ，其中 µ%Ai Gj 表示
( ) 决策者对于方案 Ai 关于属性 G j 的满足程度，ν%Ai G j 表示决策者对于方案 Ai 不满足属性 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] Gj 的程度，这里 µ% Ai Gj 和ν%Ai Gj 的取值应满足条件 µ% Ai Gj ⊂ 0,1 ,ν%Ai Gj ⊂ 0,1 ，
A 的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素 x 属于集合 A 的证据所导出的否定隶属度
的下界。例如 ⎡⎣µA ( x),ν A ( x)⎤⎦ = [0.5, 0.2]，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞成，
2人反对，3人弃权。
对于 X 上的每一个直觉模糊集，称π A ( x) = 1− µA ( x) −ν A ( x) 为直觉模糊集 A 中元素 x 的直觉指数，表示元素 x 属于 A 的犹豫度。显然， 0 ≤ π A ( x) ≤ 1 ， x ∈ X 。