同济大学大学物理13相对论答案

3.24 1011m
18 min
3108 m/s 60s/min
宇航员测得，午后12点30分+18分 = 午后12点48分 地球收到讯号。
A
2、火车以恒定速度通过隧道，火车与隧道的静长相 等. 从地面上观察，当火车的前端b到达隧道的前端B 的同时，有一道闪电击中隧道的后端A.这闪电能否 在火车的后端a留下痕迹？
移动的距离为
S ut
l0u2 / c2
1u2 c2
隧道B端与火车b端相遇时，火车露在隧道外 面的长度为
l l0 l l0 (1 1 u2 c2 )
当A端发生闪电时，火车的a端已进入隧道内，所
以闪电仍不能击中a端。
答案：B
C
y' tan 30 x' x x' 1 v2
c2
y tan 45 x y y'
例8：在惯性系K中，有两个事件同时发生在x轴上相距 1000m的两点，而在另一惯性系K′（ 沿 x 轴方向相对 于K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m. 求在K′系中测这两个事件的时间间隔。
解： 由洛仑兹变换得：
x x vt
t
t
v c2
x
x 1000m, t 0, x 2000m
解：按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后
t1
t 12.5 s
1 v c2
3分
这段时间火箭在地面上飞行距离：
S v t1
则导弹飞到地球的时间是：
t2
S v1
v v1
t1
25 s
1分
那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是：
t t1 t2 12.5 25 37.5 s 1分
例题11 设电子静止质量为 m0 ，将一个电子从 0.6c 加速到速率为 0.8c ，需作功__0_._1_2_8_M__e_V__。
在 S 系中 x 轴上有一个相同的钟 A 。设 S 系相对于 S 系
沿 x 方向匀速运动，速度为 v ，且当 A 与 A 相遇时，两钟
的读数均为零。
x
那么，当 A 钟与 B 钟相遇时， S 系中 B 钟的读数是
；
此时S 系中A 钟的读数是
。v
y y′
y′
A
A
tB
t
x v
x′
x′
x
x
A
B
2：在 S 系中 x 轴上距离为 x 的两处有两个同步钟 A 和 B ，
解： （1） 由相对论效应，观测站测出船身的长度为
L L0
1 ( v)2 90 c
1 0.82 54(m)
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
t
L v
54 0.8 3108
2.25107 (s)
（2） 宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔
t0
L0 v
90 0.8 3108
3.75107 (s)
解：（1）火箭飞船测得为原时
t空间站 t火箭 1 v2 c2 30 1 0.62 37.5min
空间站上时钟为午后12点37.5分
（2）宇航员测得距离 = v t火箭
0.63108 m/s 30 min 60s / min 3.241011m
例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球， 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测 定，火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空 间站，并用无线电向地球报告。 （3）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？ （4）地球上收到无线电讯号，地球上是什么时间？
m s1
8.89108s
例2：
A
例3：某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地 球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10 s ，则宇航员测出的相应的时间间隔为：
（A） 6 s
（B） 8 s
（C） 10 s
（D） 16.7 s
10s t0 1 0.82
t0 6s
例4：一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线
（1）此时，空间站的时钟指的是什么时间？
（2）宇航员测定地球到空间站的距离是多少？
（3）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？
（4）地球上收到无线电讯号，地球上是什么时间？
（5）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？
例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球， 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测 定，火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空 间站，并用无线电向地球报告。 （1）此时，空间站的时钟指的是什么时间？（2）宇航员测定 地球到空间站的距离是多少？
飞船
北京 x1
上海 x2
x
地面 S 系
x x2 x1 106 m
飞船系：由洛仑兹变换得
t t2t1 0
t2
t1
t2
t1
v c2
1 v2
x2
/ c2
x1
107
s
上海先发车。
例13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过 地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按 照宇航员的测定，火箭飞船在午后12点30分通过一个相 对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。
A Ek2 Ek1
(
m0c2 1 0.82
m0c2 ) (
m0c2 1 0.62
m0c2 )
例题12： 北京和上海直线相距 1 000 km ，在某一 时刻从两地同时各开出一列火车。现有一飞船沿从 北京到上海的方向在高空掠过，速率恒为 v = 9 km/s.求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔， 哪一列先开出？
相对论习题课及大作业解答
例题1. 两个惯性系中的观察者O和O′以 0.6c 的相对速 度互相接近。如果测得两者的初始距离是 20 m ，则O′ 测得两者经过时间 △t′= ________s 后相遇。
O
O′
0.6c
0.6c
L = 20 m
L L
v2 1 c2
16 m
t
L v
16 m 0.6 3108
t
t
v c2
x
t
v c2
vt
v2 t 1 c2
可直接得到，因为△t′是原时。
1
(t
)
2
(x)2 c2
2
4s
[解法二] 由“洛仑兹不变量”得：
(x)2 (ct)2 (x)2 (ct)2
例10： （本题5分）4378
火箭相对于地面以 v = 0.6c（ c 为真空中光速） 的匀速度向上飞离地球。在火箭发射后△t′= 10 s 时 （火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速 度相对于地面为 v1= 0.3c ，问火箭发射后多长时间， 导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面 不动。
C
5 3 1 v2 c2
B
动量守恒： mv mv MV V 0
D
能量守恒： 2mc2 M 0c2
M0
2m0 1 v2
m
m0 1 v2
c2
c2
选择题7. 一个电子的运动速度 v = 0.99c ，它的 动能是：（电子的静止能量为 0.51 MeV）
（A） 3.5 MeV （C） 3.1 MeV
（A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m
设飞船系为S'，地球系为S，由尺缩效应
l l0
1
v2 c2
0.690 54(m)
错！在地球系中，“光脉冲从船尾发出”与“光脉冲到达 船头”不同时，所以，这两个事件的空间间隔不是地球系 中测得的飞船长度。
例5：宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从 船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m， 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件 的空间间隔是：
在地面参照系S中看， 火车长度要缩短。隧道A端 的闪电不会在火车的a端留 下痕迹 。
在火车参照系S´中，隧道长度缩短。但隧道的B端与
火车b端相遇这一事件与隧道A端发生闪电的事件不是同时 的，而是B端先与b端相遇，而后A处发生闪电，隧道B端与
火车b端相遇这一事件与A端发生闪电事件的时间差t´ 为
t l0u / c2 1 u2 c2
思考：有原时和原长吗？
地球系 S 事件1：起跑 （ x1 ，t1 ） 事件2：到终点 （ x2 ，t2 ）
两事件的空间间隔 原长
飞船系 S' （ x1' ，t1' ） （ x2' ，t2' ）
非观测长度
两事件的时间间隔 非原时
非原时
例6：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完 100 m ，问在 与运动员同方向上以 v = 0.6c 运动的飞船中观测，这 个选手跑了多长距离？用了多少时间？
（A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m
解：飞船系中 x 90 t 90 c
地球系中
x
x vt
(90 0.8c 90) c
270
( m)
✓ 1 v c
1 0.82
例6：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完 100 m ，问在 与运动员同方向上以 v = 0.6c 运动的飞船中观测，这 个选手跑了多长距离？用了多少时间？
x x
2
1 1 (cv )2
v
3 2
c
t
t2
t1
(t
v c2
x)
vx
c2
2
3 2
1000 3108
5.77 106 (s)
[解法二] 由“洛仑兹不变量”得：
(x)2 (ct)2 (x)2 (ct)2
x 1000m, t 0, x 2000m
t 5.77106s
例9： （本题5分）4368
解：（3）地球上观测者测得距离 = v t空间站
0.63108 m/s 37.5min 60s / min 4.051011m
（4）按地球上的钟，讯号传播所需时间 = 距离/速度
4.05 1011m 22.5 min 3108 m/s 60s/min
午后12点37.5分 + 22.5分 = 午后1点 地球上收到讯号
x
t ' t
1 (v / c)2
A
Leabharlann Baidu
B
tC
t'
x v
1 (v / c)2
填空题3. 一列高速火车以速率 u 驶过车站，站台 上的观察者甲观察到固定于站台、相距 1m 的两只 机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的观 察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？
思考：哪个长度为原长？
把“火车上的痕迹”看成“一把尺”，在站台系 中，两端同时测量得 L＝1m，这一长度为“非原 长”。 “火车上的痕迹”在车厢系中的长度为原
例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球， 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测 定，火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空 间站，并用无线电向地球报告。
（5）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？
解：（5）按飞船上的钟，讯号传播所需时间 = 距离/速度
运动的速率为 v1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前 端的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2 ，在 火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
L (A)
v1 v2 L
(C) v2 v1
L (B)
v2
(D)
L
v1 1 v12 c2
例5：宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从 船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m， 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件 的空间间隔是：
（B） 4.0 MeV （D） 2.5 MeV
C
Ek mc2 m0c2
1eV 1.61019 J
m m0
1
v2 c2
E mc2
A
物理定律对所有惯性系都是一样的，即所有惯性系对 一切物理定律等价；
在所有惯性系中，真空中的光速相同，且与光源运动 无关；
运动
相对
缩短
慢
2：在 S 系中 x 轴上距离为 x 的两处有两个同步钟 A 和 B ，
解： 由洛仑兹变换得
t
(t
v c2
x)
1
0.6c
(10 1 (0.6c )2
c2
100) 12.5 s
c
x (x vt) 1.25(100 0.6c10) 2.25109 m
在飞船中的观察者看来，选手用 12.5 秒时间反向跑了 2.25×109 米。
例7：一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 = 90 m ，相对地 面以匀速率 v = 0.8c 在一观测站的上空飞过。求： （1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔； （2）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔。
在 K 惯性系中观测到相距 △x = 9×108 m 的两地 点相隔 △t = 5 s 发生两事件，而在相对于 K 系沿 x 方 向以匀速度运动的 K′系中发现此两事件恰好发生在 同一地点。试求在 K′系中此两事件的时间间隔。
解：设两系的相对速度为 v
x x vt
1 v c2
x 0 v x t
在 S 系中 x 轴上有一个相同的钟 A 。设 S 系相对于 S 系
沿 x 方向匀速运动，速度为 v ，且当 A 与 A 相遇时，两钟
的读数均为零。
x
那么，当 A 钟与 B 钟相遇时， S 系中 B 钟的读数是
；
此时S 系中A 钟的读数是 1 v 2 c2 x 。 v
v
y y′
y′
A
x′ x
A
x′