07高阶偏导数59035

练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约
束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。
第七节 高阶偏导数
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y2 x2
y
2 z 3z
2z
x xy xyx
xy
y
2z xy
3z xy
2
例 二元函数z f (x, y) 的三阶偏导数：
4
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y2 x2
y
2z
x
2z yx
3z yx2
yx 2 z 3z y yx yxy
y
2z
x
2z x2
3z x3
x 2
y
2z x2
3z x2y
例 二元函数z f (x, y) 的三阶偏导数：
2
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y2 x2
y
2z
x
2z y 2
y
3z 2x
y 2
y
2z y 2
3z y3
例 二元函数z f (x, y) 的三阶偏导数：
3
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟
多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. 一般说来, 在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数
z , z 仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数 x y z , z 仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数 x y
的二阶偏导数.
依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.
一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏 导,
3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。
4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系。
证 在 U((x0, y0 ))内考虑式子
A f (x0 x, y0 y) f (x0 x, y0 )
f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
令
(x) f (x, y0 y) f (x, y0 )
则
A (x0 x) (x0 )
由二阶混合偏导数的连续性可知，函数(x) 在 U((x0, y0 ))内
发现两个混合偏导数相等
一般性？
观察
这里的两个混合偏导数均连续
例
xy(x2 y2 )
设
f
(
x,
y)
x2 y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
求 fxy (0, 0) , f yx (0, 0) .
解 需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:
fx(0, 0)
lim
x0
f
(x, 0) x
f
(0, 0)
0
f y(0,
0)
lim
y 0
f
(0,
y) y
f
(0, 0)
0
不相等
f xy (0, 0) lim y0
fx(0, y) y
fx(0, 0)
lim y y0 y
1
f yx(0, 0) lim f y(x, 0) f y(0, 0) lim x 1
x0
x
x0 x
在该例中, fxy (0,0) f yx (0,0), 这说明只有在一定的条件下求函数 的高阶偏导数才与求导顺序无关.
高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
（三）
多元微积分学
第一章 多元函数微分学
教案编写：刘楚中曾金平 电子制作：刘楚中曾金平
第一章 多元函数微分学
本章学习要求：
1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。
y
2z x 2
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
z x
x
(3x2 y2
3y3
y)
6xy2
2z y 2
y
z y
y
(2x3 y 9xy2
x)
2x3
18xy
例
求 z x3 y2 3xy3 xy 1 的二阶偏导数.
解
z
x z
x
x
y y
y
二阶混合偏导数： 2 z (3x2 y2 3y3 y) 6x2 y 9y2 1 xy y 2z (2x3 y 9xy2 x) 6x2 y 9y2 1 yx x
二元函数z f (x, y) 的三阶偏导数：共 23 = 8 项.
发现求高阶导数与求导顺序有关.
例
求 z x3 y2 3xy3 xy 1 的二阶偏导数.
解 先求一阶偏导数： z 3x2 y2 3y3 y, x
再求二阶偏导数： z x
z 2x3 y 9xy2 x, y
x z
x
y y
则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.
例 二元函数z f (x, y) 的二阶偏导数：
z
x x2 x x
z
x
x
y y2 y y y
y
x
z x
2z x 2
z 2 z y x xy
定理
若 z f (x, y) 的二阶混合偏导数在
U(( x0 , y0 )) 内存在且在点 (x0 , y0 ) 处连续,
则必有
2
f
(x0 ,
y0 )
2
f
(x0 ,
y0 )
.
xy
yx
废话! 求出偏导数 才能判断连续性, 这时 一眼就可看出混合偏导 数是否相等了, 还要定 理干什么.
有些函数不必 求出其导数,就可知 道它的导函数是否 连续. 懂吗！
x
z y
2z yx
y
z y
2z y 2
高阶偏导数还可使用下列记号
2z x2
f xx
f11
2z xy
f xy
f12
2z y 2
f yy
f 22
2z yx
f yx
f 21
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
例 二元函数z f (x, y) 的三阶偏导数：
1
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y2 x2