第8讲-高阶偏导数与极值

第8讲 高阶导数与二元函数极值

讲授内容

一、高阶偏导数

由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：

),(22

y x f x z x x

z xx =⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂=∂∂， ).,(22

y x f y z y y z yy =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ ),,(2

y x f x z y y x z

xy =⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ ),(2y x f y z x x y z yx

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂

例1 求函数x

y z arctan

=的所有二阶偏导数. 解：

()

2

2

22222

2y x xy

y

x y

x x

z +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂， ()

.22

222222

y x xy

y x x y y

z +-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂=

∂∂

(),222222

22

y x y x y

x y

y y x z

+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂∂ ()

,2

222

2222y x y x y x x x x y z +--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂

注意：从上面例子看到， 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.

例2 设函数()⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++-=.0 ,0,0 ,,222

222

2

2y x y x y x y x xy y x f

解： 它的一阶偏导数为()(

)(

)()

(

)

⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++++-=,0 ,0,0 ,4,222

22222

22222y x y x y

x y x y y x y x y y x f x ()()(

)()()

⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++-+-=,0 ,0,0 ,4,222

22222

22222y x y x y

x y x x y x y x x y x f y 进而求f 在（0，0）处的混合偏导数，得 ()()()

,1lim

0,0,0lim

0,00

-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆y

y y

f y f f y x x y xy ()()()

1lim

0,00,lim

0,00

=∆∆=∆-∆=→∆→∆x

x x

f x f f x y y x yx ．

由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？

定理17.7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在点),(00y x 连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy = .

这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。如三元函数),,(z y x f u =，若下述六个三阶混合偏导数),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f zyx yxz xzy zxy yzx xyz 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等.

例3 1）设,,⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=y x x f z 求22x z ∂∂，

.2y x z ∂∂∂ 2）设(),,y x xy f z -= 求22

x z

∂∂，.2y x z ∂∂∂ 解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：.,),,(y

x v x u v u f z =

==

由复合函数求导公式有

.1v

f y u

f x

v v f x

u u f x

z ∂∂+

∂∂=

∂∂∂∂+

∂∂∂∂=

∂∂

注意，这里v

f

u f

∂∂∂∂,仍是以v u ,为中间变量y x ,为自变量的复合函数．所以

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂v f y u f x x

1z

22

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=x v v f x u u v f y x v v u f x u u f 2222221,1222

2222v f

y v u f y u f ∂∂+∂∂∂+∂∂= ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂v f y u f y y x z

12

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f 22

2222211 .12

2

2

3

2

2

v

f y

v

f y

x v

u f y x ∂∂-

∂∂-

∂∂∂-

=

二、中值定理