本原多项式

bn , bn1,L , b1, b0 是互素的，
则称 g为( x本)原多项式．
§1.9 有理系数多项式
有关性质
1． f ( x) Q[x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g为( x本)原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
§1.9 有理系数多项式
推论
设 f ( x), 是g(整x系)数多项式，且 是本原
g( x)
的，若 f ( x) g( x)h( x), 则h( x) Q[ x], h( x)
必为整系数多项式．
§1.9 有理系数多项式
(x r )| f (x) , s
又 r,互s素，
sx r 本原． 由上推论，有
f ( x) (sx r)(bn1xn1 L b1x b0 )
bi Z , i 0,1,L , n 1. 比较两端系数，得
an sbn1, a0 rb0 .
§1.9 有理系数多项式
所以， s | an , r | a.
2
( p 1)!
则 g(为x整) 系数多项式．
Q p | 1, p | p! , p! ,L , p! , 但 p2 | p! , ( p 1)! ( p 2)!
g( x) 在 Q上不可约，
§1.9 有理系数多项式
从而 f在( x)上不可Q约．
说明：
Q 对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后
b中j 第一b个0不,L能被, bm
p 整除的数，即
p | b0, p | b1,L , p | bj1, p | bj .
又 di j aibj ai1bj1 L , 在这里 p | di j , p | aibj , p | ai1bj1, L 故 h(是x本) 原的．
§1.9 有理系数多项式
化为
整系数多项 式的分解问 题
§1.9 有理系数多项式
分成什么样？
有理数域上 多项式不可 约性的判定
一、本原多项式
定义 设 g( x) bn xn bn1xn1 L b1x b0 0,
bi Z , i 0,1, 2,L , n. 若 bn ,bn1,L没,b有1,b0
异于 的1公因子，即
定理12 设
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
是一个整系数多项式，而 是它的一个有r理根， s
其中 r, s 是互素的，则必有
s | an , r | a0.
§1.9 有理系数多项式
证： Q r 是 f (的x有) 理根， s
∴ 在有理数域上，
从而 (sx r) | f ( x).
p,
p | dr , r 0,1,L , n m. 又 f (是x本) 原多项式，所以 不能整除 p的
每一个系数．
§1.9 有理系数多项式
f (x)
令 a为i a0 , a1中,L第一, a个n不能被 整除的数，即 p
p | a1, L , p | ai1, p | ai .
同理， g本( x原)，令 为
假设 b0 , b1 ,中L第,一bl个不能被 整除的数为 p
bk ,
比较两端 的系x数k ，得
ak bkc0 bk1c1 L b0ck
上式中 ak , bk皆1 ,能L被, b0整除，
p
p | bkc0 p | bk 或 p | c0 . 矛盾．
故 f (不x可) 约．
§1.9 有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式
证： 设 f ( x) an xn an1xn1 L a0 , g( x) bm xm bm1xm1 L b0
是两个本原多项式．
h( x) f ( x)g( x) dnm xnm dnm1xnm1 L d0
反证法． 若 h(不x是) 本原的，则存在素数
y2 2 y 2 在Ｑ上不可约，
所以 f 在( xＱ)上不可约．
§1.9 有理系数多项式
例5 判断
x2 x3
xp
f (x) 1 x L ,
2! 3!
p!
（ 为p 素数）在 上是否可Q约．
解： 令 g( x) p! f ( x)
p! p! x p! x2 L p! x p1 x p ,
证： 令 f ( x) a f1( x), h( x) ch1( x), a Z , c Q, f1( x), h1( x)本原，
于是有，
a f1( x) g( x)ch1( x) cg( x)h1( x) c a, 即 c Z. h( x) ch1( x) 为整系数多项式．
§1.9 有理系数多项式
一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
因式分解定理
数域P上次数1 的多项式都可唯一地
分解成一些不可约多项式的乘积
数域
不可约多项式
复 数域C
仅有一次多项式
实 数 域 R 一次多项式和某些二次不可约多项式
有理数域Q
§1.9 有理系数多项式
存在任意次不可约多项式
有理系数多项式的因式分解
怎么分？
则 f (至x少) 有一个一次因式，
也即有一个有理根．
但 f (的x有) 理根只可能是
1, 而
f (1) 3, f (1) 5. 矛盾．
所以 f不( x可)约．
§1.9 有理系数多项式
定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法
设 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ,
注意
定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件．
例1 求方程
2x4 x3 的有2理x根. 3 0
解： 可能有理根为
1, 3, 1 , 3 , 22
用综合除法可知，只有1为根．
§1.9 有理系数多项式
例2 证明:
f ( x) 在x3 上不5可x约．1 Q
证： 若 f (可x约) ，
不可约．
f (x)
§1.9 有理系数多项式
例3 证明：
在xn 上不2可约．Q
证：（令 p即可）2．
(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)
例4 证明：
f ( x)在 上x不2 可约1． Q
证： 作变换 x y 1, 则 f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein判别法知，
再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的
办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的
Q
ห้องสมุดไป่ตู้
多项式 f无(论x作),怎样的代换
都不能 x ay b,
使 f (ay满足b爱) 森斯g坦(因y)判别法的条件，
即找不到相应的素数
p.
如， f ( x) x3 x 1.
§1.9 有理系数多项式
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
§1.9 有理系数多项式
证： 设整系数多项式 有分解f式( x) f ( x) g( x)h( x)
其中 g( x),h( x)且 Q[x], g( x), h( x) f ( x).
是一个整系数多项式，若有一个素数 使得
p,
1o p | an 2o p | an1,an2 ,K ,a0
3o p2 | a0 则 f (在x有) 理数域上是不可约的．
§1.9 有理系数多项式
证： 若 f (在x) 上可Q约，由定理11， f ( x) 可分解为两次数较低的整系数多项式积
f ( x) (bl xl bl1xl1 L b0 )(cm xm cm1xm1 L c0 )
注意
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而
非必要条件．
也就是说，如果一个整系数多项式
不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 不能直接用f E(ixse)nstein
判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的
代换
使
满足
Eisensteiany判别法b条(a件,，b从而Z来,判a定原0多),项式 f (ay b) g( y)
令 f ( x) a f1( x), g( x) r g1( x), h( x) sh1( x)
这里， f1( x), g1( 皆x)为, h本1原( x多)项式，
a Z,
r, s Q. 于是 a f1( x) rsg1( x)h1( x).
由定理10，
g1(本x原)h，1( x)
从而有 a rs,
bi ,c j Z, l,m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 .
Q p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , 不妨设 p但| b0
§1.9 有理系数多项式
p 不能同时整除 p | c0 .
b0 , c0 .
另一方面，
p | an . p | bl , p | cm .