多变量解耦控制汇总

多输入多输出过程的相对增益矩阵
λij表示uj到yi通道的相对增益。 λij的大小反映了变量之间即通道之间的耦合程 度。
若λij＝1，表示在其它输入ur(r=j)不变和 变化两种条件下，uj到yi的传递不变，也就是说 ，输入uj到yi的通道不受其它输入的影响，因此 不存在其它通道对它的耦合。
• 若λij＝0，表示pij＝0，即uj对yi没有影响，不 能控制yi的变化，因此该通道的选择是错误的.
• WARNING：是“数组乘”！不是“矩阵乘”！
这个结论可推广到n×n矩阵的情况，从而得到 一个由P＝K阵求λ阵的方法，其步骤为
• 1)由P＝K，求P-1＝K-1。
• 2)由P-1 ，求(P-1)T。
• 3)由λij＝pij ·(P-1)Tij可得λ矩阵。
(数组乘)
此法好处是由P直接求λ矩阵，不要计算Q，计 算的困难在于求逆（可用计算机来求）。
(三)相对增益矩阵的性质
相对增益矩阵λ的任一行(列)的元之和为1。 意义：①简化相对增益矩阵的计算。
②帮助分析过程通道间的耦合情况。 以双输入双输出过程为例。 若λ11＝1，表示两个通道独立、无耦合。因此， λ矩 阵中一行或一列中的某个元越接近于1，表示通道之间 的耦合作用越小。 若λ11＝0.5，表示通道之间的耦合作用最强，需采 取解耦措施。 若λ12＝1，则λ11＝λ22＝0，而λ21 ＝1。表示输入与 输出配合选择有误，应将输入和输出互换。
λ值也可能大于1，例如λ11＞1，根据性质 必有λ12＝λ21＜0。这表明过程间存在负耦合。 当构成闭环控制时，这种负耦合将引起正反馈， 从而导致过程的不稳定，因此必须考虑采取措施 来避免和克服这种现象。
根据相对增益矩阵的定义和性质，还可以根 据第一放大系数的符号来帮助判断λ值的范围。 如果第一放大系数中符号为正的个数是奇数，则 所有的λ值将为正，并在[0，1]区间内。如果是 偶数，则必有λ值会大于1和小于0。(见下例)
动态解耦则要求不论在过渡过程或稳态场合， 都能实现变量间的解耦。
二、相对增益及其性质
(一)相对增益的定义
表示多输入多输出过程变量之间的耦合程度。
设过程输入u=[u1，……，un]，
输出y=[y1，……，yn]，
令
pij
=
yi uj
|ur
(r
≠
j)
表示在其它输入ur(r≠j)不变(即其它回路开环)时， 某一输出yi对某一输入uj的传递关系或静态放大系数 ，称为第一放大系数。
• 性质：相对增益矩阵中同一行(列)的元之和为1。
• 验证：以双输入双输出过程为例
只考虑静态放大系数，则有 可得
• 用同样方法，依次可求得
可见，相对增益 矩阵中同一列或 同一行的元素之 和为1。
3．间接法
不求第二放大系数，只利用第一放大系数， 间接求得相对增益。
式中
设
由 PH=KH=I 解得
H=P-1=K-1
•
又令
qij =
yi uj
|yr
(r
≠
i
)
表示在其它输出yr(r≠i)不变(其它回路闭环)时，某 一Hale Waihona Puke Baidu出yi对某一输入uj的传递关系或静态放大系数， 称为通道uj到通道yi的第二放大系数。
•
再令
λij
=
p ij q ij
=
yi uj
|称ur 为uj到yi通道的相对增益。
yi uj
|yr
例：3×3系统
• 例4—3 有并联流量过程如图4-63所示。假设两管 道和阀门特性完全相同，总流量不变，q1的增加 会引起q2的减少，反之亦然。因此过程的关系式 为
此时第一放大系数 中两个为正，两个为负 。可求得其相对增益为
由假设可得k11＝k22，k12＝k21 ，故
通常k11＞k12，故λ11＝λ22＞1，而λ12＝λ21＜0 。
• 多输入多输出过程的传递函数矩阵
• 解决多变量耦合过程控制的最好办法是解除变 量之间不希望的耦合，形成各个独立的单输入 单输出控制通道，使过程的传递函数矩阵为
• 实现解耦有三个层次的办法： 1)突出主要被控参数，忽略次要被控参数，将过
程简化为单参数过程。 2)寻求输出输入间的最佳匹配，选择因果关系最
• 若0＜λij＜1，则表示uj到yi通道与其它通道 间有强弱不等的耦合。
• 若λij＞1，表示耦合减弱了uj对yi的控制作用. • 而λij＜0则表示耦合的存在使uj对yi的控制作
用改变了方向和极性，从而有可能造成正反馈而 引起控制系统的不稳定。
• 可见，相对增益反映了某个控制通道的作用 强弱和其它通道对它的耦合的强弱，因此可作为 选择控制通道和决定采用何种解耦措施的依据。
强的输入输出，逐对构成各个控制通道，弱化各控 制通道之间即变量之间的耦合。
3)设计一个补偿器D(s)，与原过程W(s)构成一广 义过程Wg(s)，使Wg(s)成为对角矩阵。
• 三种办法的适用场合
• 解耦有两种方式：静态解耦和动态解耦。
静态解耦只要求过程变量达到稳态时实现变量 间的解耦，讨论时可将传递函数简化为比例系数。
物理解释：如果u1减少，将引起u2的增加， 而u2的增加又会进一步减小u1 ，耦合过程使原 有平衡遭到破坏。（正反馈）
• 结论：
1)若λ矩阵的对角元为1，其它元为0，则过 程通道之间没有耦合，每个通道都可构成单回 路控制。
(二)相对增益的求法
1．实验法(根据定义做实验来求，略)
2．解析法
例 ： 求 图 4—62 所示流量过程的相 对增益矩阵。
图中1和2为具 有线性液阻的调节 阀，阀的控制量分 别 为 u1 和 u2 ， 流 量 qh 和 压 力 p1 为 被 控 参数。
根据管内流量和压力的关系，有
• 为求输出p1通道的相对增益，将式(4—73)改写为 即可求得p1与u1和u2两个通道的相对增益为 由此可得输入为u1和u2 、输出为qh和p1的过程 的相对增益矩阵为
第六节 多变量解耦控制
•概述 •相对增益及其性质 •复杂过程控制通道的选择 •多变量解耦设计 •举例 •仿真
一、概述
• 大多数工业过程是 一个相互关连的多输入 多输出过程，一个输入 影响到多个输出，一个 输出也受多个输入的影 响。将一对输入输出称 为一个控制通道，在各 通道之间存在相互作用 ，把这种输入与输出间 、通道与通道间复杂的 因果关系称为过程变量 或通道间的耦合。