多变量解耦控制

多输入多输出系统存在一个控制通道 如何选择，即输入输出如何一一配对的问题。相 对增益矩阵为解决这个问题提供了途径。 λ ij反映了第j个输入对第i个输出之间 作用大小的相对值。对稳定的控制通道来说： λ ij＝1表示该通道选择正确，且与其它 通道没有耦合； λ ij＞0.5表示选择基本正确，但需要采 取解耦措施，才能构成单回路控制系统； λ ij＜0.5，则要重新考虑输入和输出间 的配对关系。
表示在其它输入ur(r≠j)不变(即其它回 路开环)时，某一输出yi 对某一输入uj 的传递关系或 静态放大系数，称为第一放大系数。
• 又令
yi qij = |yr (r ≠ i) uj
表示在其它输出yr(r≠i)不变(其它回路闭 环)时，某一输出yi 对某一输入uj 的传递关系或静态 放大系数，称为通道uj到通道yi的第二放大系数。
• 结论：
1)若λ 矩阵的对角元为1，其它元为 0，则过程通道之间没有耦合，每个通道都可 构成单回路控制。 2)若λ 矩阵非对角元不为0，而对角 元为0，则表示过程控制通道选错，可更换输 入输出之间的配对关系，得到无耦合过程。 3) 若λ 矩阵的元都在[0，1]区间内 ，表示过程控制通道之间存在耦合。λ ij 越接 近1，表示uj到yi的通道受耦合的影响越小，构 成单回路控制效果越好。
W1和W2所代表的调节器的参数分别 与两个通道都有关系，因此是相互关联的，不 能如单回路控制那样有简单的整定方法。为了 解决这个问题，可分成三种情况： 1)W12(s)＝W21(s)=0，表示过程无耦 合，可按单回路控制方法独立整定调节器参数 。对有耦合过程可采取解耦措施来满足这一条
2)在耦合过程中，如果某个输出(比 如y2)的响应速度很快，即很快达到稳态，此时 可 忽 略 (u2 y2) 通 道 对 别 的 通 道 的 耦 合 ， 即 W12(s)＝0，这样通道(u1 y1)就成为无耦合过程 ，可单独整定参数，而耦合通道调节器参数的整 定也大大简化。 3)对不能简化而又未解耦的耦合过程 ，只能在简化设计的初步设定参数的基础上，通 过凑试法来调整并最终确定调节器参数。
3．间接法
不求第二放大系数，只利用第一放大 系数，间接求得相对增益。
式中
设
由 PH=KH=I 解得
H=P-1=K-1
• WARNING：是“数组乘”！不是“矩阵乘”
！
这个结论可推广到n×n矩阵的情况， 从而得到一个由P＝K阵求λ 阵的方法，其步骤为 • 1)由P＝K，求P-1＝K-1。 • 2)由P-1 ，求(P-1)T。 • 3)由λ ij＝pij · (P-1)Tij可得λ 矩阵。
•
由 此 可 得 串 联 补 偿 器 为 WD(s)=Wo-1 (s)Wg(s)ຫໍສະໝຸດ BaiduU(s) Y(s)
WD(s) Wo(s)
在Wo-1(s)存在的前提下，补偿器WD(s)的 设计与Wg(s)形式有关： • (1)Wg(s)＝I，即广义过程矩阵为单位矩 阵 。 由 此 可 得 补 偿 器 WD(s)= Wo-1(s)·I = Wo1(s) • 这种设计方法的结果十分理想，因为它 能使广义过程实现完全无时延的跟踪。但在实现 上却很困难，它不但需要过程的精确建模，而且 使补偿器结构复杂。 • (2) 广义过程矩阵Wg(s)为对角矩阵。 •
过程有三个控制作用u1、u2和u3，可构 成三个控制通道，设被控量为热量Q11、Q22和总 流量q，初步选择通道结构如图4-65。
u1 ~ Q11 u2 ~ q u3 ~ Q22
计算变量间的关系
第一放大系数矩阵
可见，最初选择的控制通道是错误的， 正确的通道应为：q~u1和Q11(Q22)~u2或q~u3和 Q11(Q22)~ u2 ，此时过程的相对增益矩阵为
五、解耦设计
• 相对增益矩阵能帮助我们选择合适的控 制通道，但并不能改变通道间的耦合。对有耦合 的复杂过程，要设计一个高性能的控制器是困难 的，通常只能先设计一个补偿器，使广义过程的 通道之间不再有耦合，这种设计称为解耦设计。 (一)解耦设计的方法 1．串联补偿设计 设 多 输 入 多 输 出 过 程
W12 (s) WFB2 (s) = W1 (s)[W11 (s)W22 (s) - W12 (s)W21 (s)]
方案二
• 和方案一有相同的效果
(二)解耦设计举例 以图4—66所示物料混合过程为例， 若A＝0.5，则过程的相对增益矩阵为
• 例4—3 有并联流量过程如图4-63所示。假设两 管道和阀门特性完全相同，总流量不变，q1的增 加会引起q2的减少，反之亦然。因此过程的关系 式为
此时第一放大系 数中两个为正，两个为 负。可求得其相对增益 为
由假设可得k11＝k22，k12＝k21 ，故
通常k11 ＞k12 ，故λ 11 ＝λ 22 ＞1，而 λ 12＝λ 21＜0。 物理解释：如果u1 减少，将引起u2 的 增加，而u2的增加又会进一步减小u1 ，耦合过 程使原有平衡遭到破坏。（正反馈）
yi |ur • 再令 p ij uj λ = = 通道的相对增益。 ij q ij yi | yr uj
称为uj到yi
例：3×3系统
多输入多输出过程的相对增益矩阵
λ λ
度。
ij表示uj到yi通道的相对增益。 ij的大小反映了变量之间即通道之间的耦合程
若λ ij＝1，表示在其它输入ur(r=j)不变和 变化两种条件下，uj 到yi 的传递不变，也就是说 ，输入uj 到yi 的通道不受其它输入的影响，因此 不存在其它通道对它的耦合。
•
• • •
•
若λ ij＝0，表示pij＝0，即uj对yi没有影 响，不能控制yi的变化，因此该通道的选择是错 误的. 若0＜λ ij＜1，则表示uj到yi通道与其它 通道间有强弱不等的耦合。 若λ ij＞1，表示耦合减弱了uj对yi的控 制作用. 而λ ij＜0则表示耦合的存在使uj对yi的 控制作用改变了方向和极性，从而有可能造成正 反馈而引起控制系统的不稳定。 可见，相对增益反映了某个控制通道的 作用强弱和其它通道对它的耦合的强弱，因此可 作为选择控制通道和决定采用何种解耦措施的依
• 例4—4 三种流体的混合过程。阀门V1控制100℃ 的原料1的流量，开度为u1 。阀门V2控制200℃的 原料2的流量，开度为u2 ，阀门V3控制100℃的原 料3的流量，开度为u3，设三个通道配置相同，阀 门为线性阀，三种原料热容C也相同，即有KV1 ＝ KV2 ＝KV3=1，C1 ＝C2 ＝C3=1。被控参数是混合后流 体的温度(热量)和总流量。试选择合理的控制通 道。
四、耦合过程调节器参数整定
利用相对增益矩阵可以在多输入多输 出耦合过程中选择合理的控制通道，但并没有解 耦。 例：双输入双输出过程，设Kv1＝Kv2 ＝1。
由
y2
(x1-y1)W1W11+ (x2-y2)W2W12 = y1 (x2-y2)W2W22+ (x1-y1)W1W21 =
可得闭环系统的运动方程
(数组乘)
此法好处是由P直接求λ 矩阵，不要计 算Q，计算的困难在于求逆（可用计算机来求） 。
(三)相对增益矩阵的性质
相对增益矩阵λ 的任一行(列)的元之和为1。 意义：①简化相对增益矩阵的计算。 ②帮助分析过程通道间的耦合情 况。
以双输入双输出过程为例。 若λ 11＝1，表示两个通道独立、无耦合。因 此， λ 矩阵中一行或一列中的某个元越接近于1，表 示通道之间的耦合作用越小。 若λ 11 ＝0.5，表示通道之间的耦合作用最 强，需采取解耦措施。 若λ 12＝1，则λ 11＝λ 22＝0，而λ 21 ＝1。 表示输入与输出配合选择有误，应将输入和输出互换
• 例4—5 混合配料过程。两种原料分别以 流量qA和qB流入并混合，阀门由u1和u2控制 ，要求控制其总流量和混合后的成分，试 选择合理的控制通道。
计 算 过 程 变 量 间 关 系 ， 总 流 量 q=qA+qB=u1+u2 混料成分
第一放大系数 第二放大系数
相对增益矩阵 讨论：A=0.5和0.8时，通道选择的合
即可求得p1与u1和u2两个通道的相对增益为
由此可得输入为u1和u2 、输出为qh和p1 的过程的相对增益矩阵为
• 性质：相对增益矩阵中同一行(列)的元之和为1 。
• 验证：以双输入双输出过程为例
只考虑静态放大系数，则有 可得
• 用同样方法，依次可求得 可见，相对增益 矩阵中同一列或 同一行的元素之 和为1。
λ 值也可能大于1，例如λ 11 ＞1，根据性质 必有λ 12 ＝λ 21 ＜0。这表明过程间存在负耦合。 当构成闭环控制时，这种负耦合将引起正反馈， 从而导致过程的不稳定，因此必须考虑采取措施 来避免和克服这种现象。 根据相对增益矩阵的定义和性质，还可以根 据第一放大系数的符号来帮助判断λ 值的范围。 如果第一放大系数中符号为正的个数是奇数，则 所有的λ 值将为正，并在[0，1]区间内。如果是 偶数，则必有λ 值会大于1和小于0。(见下例)
• 多输入多输出过程的传递函数矩阵
• 解决多变量耦合过程控制的最好办法是解除变 量之间不希望的耦合，形成各个独立的单输入 单输出控制通道，使过程的传递函数矩阵为
• 实现解耦有三个层次的办法： 1)突出主要被控参数，忽略次要被控参 数，将过程简化为单参数过程。 2)寻求输出输入间的最佳匹配，选择因 果关系最强的输入输出，逐对构成各个控制通道， 弱化各控制通道之间即变量之间的耦合。 3)设计一个补偿器D(s)，与原过程W(s) 构成一广义过程Wg(s)，使Wg(s)成为对角矩阵。
• 三种办法的适用场合
• 解耦有两种方式：静态解耦和动态解耦。 静态解耦只要求过程变量达到稳态时实 现变量间的解耦，讨论时可将传递函数简化为比例 系数。 动态解耦则要求不论在过渡过程或稳态 场合，都能实现变量间的解耦。
二、相对增益及其性质
(一)相对增益的定义 表示多输入多输出过程变量之间的耦合程 度。 设过程输入u=[u1，„„，un]， 输出y=[y1，„„，yn]， yi pij = |ur (r ≠ j) 令 uj
4)若λ 矩阵同一行或列的元相 等，或同一行或列的λ 值都比较接近，表 示通道之间耦合最强，要设计成单回路控 制，必须采取专门的补偿措施。 5)若λ 矩阵中某元大于1，则同 一行或列中必有λ ＜0的元存在，表示过程 变量或通道之间存在不稳定的耦合，在设 计解耦或控制回路时必须采取镇定措施。
三、复杂过程控制通道的选择
(二)相对增益的求法 1．实验法(根据定义做实验来求，略) 2．解析法 例：求图 4—62所示流量过程 的相对增益矩阵。 图中1和2 为具有线性液阻的 调节阀，阀的控制 量 分 别 为 u1 和 u 2 ， 流 量 qh 和 压 力 p 1 为 被控参数。
根据管内流量和压力的关系，有
• 为求输出p1通道的相对增益，将式(4—73)改写为
2．前馈补偿解耦设计 例：双输入双输出过程(图4-67)
令 要解耦，即要 则必须 即 同理
3.反馈补偿解耦设计（不要求） 例 ： 双 输 入 双 输 出 过 程 方案一
:
• 解耦补偿器的传递函数
W21 (s) WFB1 (s) = W2 (s)[W11 (s)W22 (s) - W12 (s)W21 (s)]
Y(s)=Wo(s)U(s)
U(s) Wo(s)
Y(s)
Y——输出向量(n×1)； U——输入向量(n×1)；
•
如果Wo(s)为对角矩阵，则此过程为无耦 合过程，即每一个输出只受一个输入所影响，所 以可以构成几个独立的单回路控制系统。 • 串联解耦：对耦合过程Wo(s)，能找到补 偿器WD(s)，使广义过程Wg(s)＝Wo(s)WD(s)成为 对角矩阵，即
第六节
多变量解耦控制
•概述 •相对增益及其性质 •复杂过程控制通道的选择 •多变量解耦设计 •举例 •仿真
一、概述
• 大多数工业过 程是一个相互关连的多 输入多输出过程，一个 输入影响到多个输出， 一个输出也受多个输入 的影响。将一对输入输 出称为一个控制通道， 在各通道之间存在相互 作用，把这种输入与输 出间、通道与通道间复 杂的因果关系称为过程 变量或通道间的耦合。