球面距离的计算及其计算公式

球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长
（1）
但，即
（2）
将（2）代入（1）得
（3）
∵ ，由（2）式知 .
由于，故只需证明函数在内为单调递减即可.
∴
（∵当时，有）
∴ 在单调递减
由（3）式不难得到
即 . 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、
. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、
两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
（弧度）
A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、 . 则
在中，由余弦定理，得：
故
又
比较上述两式，化简整理得：
从而可证得关于与的两个式子.
例题北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.
解：
∴（弧度）
∴所求球面距离为。