泛函分析基础 ppt课件
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例2：设 R n 为n 维实向量全体所构成的空间，在其中 可定义距离如下：
设 x(x1,x2, ,xn)y ,(y1,y2, ,yn)为 R n
中任意两元素，则
1/2
(x,y)in1(xi yi)2
即为平面上两点间的通常距离。
在 R n 中也可以定义另一种距离：
1(x,y)m 1inaxi xyi
泛函分析基础
2014.2
泛函分析基础
1、什么是泛函分析？
20世纪20年代形成的数学分支，是从变分 问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来 的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的 观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理 论。
波兰数学家在泛函分析 和拓扑学等方面取得了重 要成就。其中的领军人物 是巴拿赫(Stefan Banach
则称B在A中稠密，简称B在A中稠。
第一章 距离空间
关于稠密性的两种等价的说法：
（1）若B在A中稠，则对任意的 xA及任意的
0, 总存在B中的点y，使得
(x,y) 反之亦然
（2）若B在A中稠，则对任意的 0 ，必有
第一章 距离空间
例3：用 C [a, b] 表示定义在[a, b]上所有连续函数的全 体，对于任意 x(t),y(t)C[a,b], 可定义距离：
(x,y)mx a(t)xy(t) atb
第一章 距离空间
例4：用
L2 [a, b]
表示 [a, b]上所有平方可积函数的全体，
即对任意 x(t)L2[a,b] , 都有
图像特征提取 图像识别与分 类
图像滤波、复 原、增强、分 割和图像压缩
应用领域
空间探测 地质勘探 遥感遥测 生物医学 工业探伤 安全检测 机器视觉 人工智能 模式识别 文化产业
多媒体
例4：
信号的稀疏表示理论： 傅里叶级数 小波变换 神经生理学的研究
视觉皮层对图像的编码模式
例4：
信号的稀疏表示理论：
1932年巴拿赫出版了 《线性算子论》一书，建 立了巴拿赫空间上线性算 子理论，证明了一批后来 成为泛函分析基础的重要 定理，成为泛函分析理论 成熟的标志。
现代泛函分析的奠基人 波兰数学家巴拿赫
泛函分析的观点和研究手段推动着其他
一些数学分析学科的发展，如在微分方程、 概率论、函数论、计算数学、控制 论、最优化理论等学科中都有重要的运
b
2
a x(t) dt
则可在
L2 [a,
b]
中定义距离，对于任意
x(t),y(t)L2[a,b],
可定义距离：
(x(t)y ,(t) )[bx(t)y(t)2d]1 /t2 a
第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其 i1 中任意两点
x ( x 1 ,x 2 , ,x n ) y ,( y 1 ,y 2 , ,y n )
都有
(x,x0)r
第一章 距离空间
1.2.2 Cauchy列
设 x n 为距离空间R中的收敛点列，则存 xR，使 (xn,x)0 n
因为
(x m ,x n )(x m ,x )(x n ,x )
所以，当 m,n 时，有
(xm,xn)0 （*）
使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理：
对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空 间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意
的 xA 总存在B中的点列 x n 收敛于x，
第一章 距离空间
1.3 距离空间的完备性
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称
T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1 为等距。
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限。
第一章 距离空间
性质：
定理1.1 在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。
定理1.2 在距离空间中，距离 (x.y) 是两个变元x, y的
连续函数。
定理1.3 设 x n 为距离空间R中的收敛点列，则 x n 必
有界。
即存在 x0 R, 有限数 r 0, 使所有 xxn
间的距离可定义如下：
(x,y)[ |xi yi |2]1/2 i1
第一章 距离空间
1.2 收敛概念
1.2.1 收敛点列
设R为距离空间，xn(n1,2,)为R中点列，xR
如果当 n时，数列 (xn,x)0, 则称点列 x n
按距离 (x, y) 收敛于 x, 记为
limxn x
n
或
xn x(n )
用。
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
例1：
信号处 理技术
数学
通信技术
计算机技术
网络技术
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
第一章 距离空间
1.1 距离定义
设R表示一个非空集合，若其中任意两元素 x, y 都
按一定的规则与一个实数 (x, y) 相对应，且(x, y)
满足以下 三公理（称为距离公理）：
（1）(x,y)0
（2）(x,y)(y,x)
（3）对R中任意3元素x, y, z, 有
(x ,z) (x ,y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (y ,z)
X=Dα
例4：
3、泛函分析基础的基本内容
（1）距离空间 （2）赋范线性空间 （3）内积空间 （4）线性算子与线性泛函 （5）投影与逼近
第一章 距离空间
距离的概念是现实物理世界中物体之间距 离关系的本质特征的数学抽象。
直线上两点之间的距离 三维空间中两个向量之间的距离 曲面上两点之间的距离 ……
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。
另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
第一章 距离空间
设 x(x1,x2, ,xn)y ,(y1,y2, ,yn)为 R n
中任意两元素，则
1/2
(x,y)in1(xi yi)2
即为平面上两点间的通常距离。
在 R n 中也可以定义另一种距离：
1(x,y)m 1inaxi xyi
泛函分析基础
2014.2
泛函分析基础
1、什么是泛函分析？
20世纪20年代形成的数学分支，是从变分 问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来 的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的 观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理 论。
波兰数学家在泛函分析 和拓扑学等方面取得了重 要成就。其中的领军人物 是巴拿赫(Stefan Banach
则称B在A中稠密，简称B在A中稠。
第一章 距离空间
关于稠密性的两种等价的说法：
（1）若B在A中稠，则对任意的 xA及任意的
0, 总存在B中的点y，使得
(x,y) 反之亦然
（2）若B在A中稠，则对任意的 0 ，必有
第一章 距离空间
例3：用 C [a, b] 表示定义在[a, b]上所有连续函数的全 体，对于任意 x(t),y(t)C[a,b], 可定义距离：
(x,y)mx a(t)xy(t) atb
第一章 距离空间
例4：用
L2 [a, b]
表示 [a, b]上所有平方可积函数的全体，
即对任意 x(t)L2[a,b] , 都有
图像特征提取 图像识别与分 类
图像滤波、复 原、增强、分 割和图像压缩
应用领域
空间探测 地质勘探 遥感遥测 生物医学 工业探伤 安全检测 机器视觉 人工智能 模式识别 文化产业
多媒体
例4：
信号的稀疏表示理论： 傅里叶级数 小波变换 神经生理学的研究
视觉皮层对图像的编码模式
例4：
信号的稀疏表示理论：
1932年巴拿赫出版了 《线性算子论》一书，建 立了巴拿赫空间上线性算 子理论，证明了一批后来 成为泛函分析基础的重要 定理，成为泛函分析理论 成熟的标志。
现代泛函分析的奠基人 波兰数学家巴拿赫
泛函分析的观点和研究手段推动着其他
一些数学分析学科的发展，如在微分方程、 概率论、函数论、计算数学、控制 论、最优化理论等学科中都有重要的运
b
2
a x(t) dt
则可在
L2 [a,
b]
中定义距离，对于任意
x(t),y(t)L2[a,b],
可定义距离：
(x(t)y ,(t) )[bx(t)y(t)2d]1 /t2 a
第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其 i1 中任意两点
x ( x 1 ,x 2 , ,x n ) y ,( y 1 ,y 2 , ,y n )
都有
(x,x0)r
第一章 距离空间
1.2.2 Cauchy列
设 x n 为距离空间R中的收敛点列，则存 xR，使 (xn,x)0 n
因为
(x m ,x n )(x m ,x )(x n ,x )
所以，当 m,n 时，有
(xm,xn)0 （*）
使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理：
对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空 间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意
的 xA 总存在B中的点列 x n 收敛于x，
第一章 距离空间
1.3 距离空间的完备性
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称
T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1 为等距。
此时，称 x n 为收敛点列，x 为 x n 的极限。
第一章 距离空间
性质：
定理1.1 在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。
定理1.2 在距离空间中，距离 (x.y) 是两个变元x, y的
连续函数。
定理1.3 设 x n 为距离空间R中的收敛点列，则 x n 必
有界。
即存在 x0 R, 有限数 r 0, 使所有 xxn
间的距离可定义如下：
(x,y)[ |xi yi |2]1/2 i1
第一章 距离空间
1.2 收敛概念
1.2.1 收敛点列
设R为距离空间，xn(n1,2,)为R中点列，xR
如果当 n时，数列 (xn,x)0, 则称点列 x n
按距离 (x, y) 收敛于 x, 记为
limxn x
n
或
xn x(n )
用。
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
例1：
信号处 理技术
数学
通信技术
计算机技术
网络技术
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
第一章 距离空间
1.1 距离定义
设R表示一个非空集合，若其中任意两元素 x, y 都
按一定的规则与一个实数 (x, y) 相对应，且(x, y)
满足以下 三公理（称为距离公理）：
（1）(x,y)0
（2）(x,y)(y,x)
（3）对R中任意3元素x, y, z, 有
(x ,z) (x ,y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (y ,z)
X=Dα
例4：
3、泛函分析基础的基本内容
（1）距离空间 （2）赋范线性空间 （3）内积空间 （4）线性算子与线性泛函 （5）投影与逼近
第一章 距离空间
距离的概念是现实物理世界中物体之间距 离关系的本质特征的数学抽象。
直线上两点之间的距离 三维空间中两个向量之间的距离 曲面上两点之间的距离 ……
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。
另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
第一章 距离空间