一类高阶泛函微分方程多个周期解的存在性
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定 义 Ｎ： ｚ为 Ｘ—
Ｎ （ ）＝ 一 （ （） ｘｔ 厂 ‘ 一 ｔ ）一口 ｔｘ （）一ｂ ｔ ｔ ＋ （） （） ｔ （） ） ｐ ｔ （
方 程 周 期 解 已有 许 多 结 果 ， 文 献 ［ —５ ． 近 ， 献 ［ ］ 究 了 如 下 一 类 二 阶 泛 函 微 分 方 程 如 １ ］最 文 ６研
” ￡ ｔ （ ） （ 一 ） ）［ （ ）］ （ ）＋ ， ｔ ， ｔ （ ） ｔ ＋ａ ｔ （ ）＋６ （ ）＝ｐ（ ） ｎ ２） （） ｔ （） ￡（ （） １ 周 期 解 的 存 在 性 问题 ， 用 Ｍａ ｉ 合 度 延 拓 定 理 ， 得 了方 程 （ ） 少 存 在 两 个 周 期 解 的充 分 条 件 ． 而 ， 我 利 ｗｈｎ重 获 １至 然 据 们 所 知 ， 未见 高 阶泛 函微 分 方 程 具 有 多个 周 期 解 的相 关 文献 ， 还 因此 ， 文 研 究 如 下 一 类 高 阶 泛 函微 分 方 程 本
秦 发 金
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系 ， 广西 柳 州 ５ ５０ ） ４ ０ ４
摘
要： 利用重合度 理论 ， 研究一类高 阶泛 函微分方程周期解存在性 的问题 ， 获得 了这 类方程 至少存在 两个周 期解
的结果 ， 并通过两个数值例子表明所获结果的有效性． 关键词 ： 阶泛 函微分 ； 高 方程 ； 周期解； 存在性
（ ）对 任 意 的 Ａ∈（ １ ， 程 Ｌ ｉ ０， ） 方 ｘ：Ａ ｘ的 解 满 足 隹Ｏ ｔ Ｎ ｆ；
（ｉ Ｑ ｉ） Ｎｘ≠０， ∈ ｎＫｅＬ； Ｖ ｒ
（ ｉ） ｅ Ｊ ｉ ｄ ｇ｛ ＱＮ， ｎＫｅＬ， ≠０ ｉ Ｑ ｒ ０｝ ．
则方程 Ｌ ｘ＝Ｎ ｘ在 Ｄｏ ｍＬｎＱ 内 至 少 有 一 个 解 ．
（ ）＋ ｔ － （ ））＋ａ ｔ （ ）＋ｂ ｔ （ ）＝ ｔ 。 ｔ （） ｔ （ ） ｔ Ｐ（ ） （ ２）
多 个 周 期 解 的存 在 性 问题 ， 中 ｎ ２为 正 整 数 ∈Ｃ（ ） 且 ０）＝０， ｔ ６ ｔ ， ￡ 都 是 上 的 连 续 一 其 Ｒ， ， ０（ ）， （ ） Ｐ（ ） 周 期 函 数 ， 期 Ｔ＞０ 周 ． 为 了 得 到 本 文 的 主 要 结 果 ， 们 引 入 Ｍａ ｉ 合 度 延 拓 定 理 ． 我 ｗｈｎ重 设 ， 是 赋 范 向量 空 间 ， Ｄｏ ｚ Ｌ： ｍＬｃ — ｚ 为 线 性 映 射 ， —ｚ 为 连 续 映 射 ， 果 ｄｍＫｅＬ＝ｃ ｄｍｌ Ⅳ： 如 ｉ ｒ ｏ ｉ ｍＬ＜ ＋ ， 且Ｉ ｍＬ为 ｚ 中 的 闭 子 集 ， 映 射 Ｌ称 为 零 指 标 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射 ． 果 Ｌ是 零 指 标 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射 ， 存 在 连 续 则 ｒｄ ｏｍ 如 ｒｄ ｏｍ 且
投影 Ｐ： — 及 Ｑ： —ｚ使得 Ｉ Ｐ＝Ｋ ｒ Ｉ Ｌ＝Ｋ ｒ ｚ ｍ ｅ ｍ Ｌ， ｅＱ＝Ｉ ， ｍ（ 一Ｑ） 则 ￡ｌ ，
由于 Ｉ ｍＱ与 儿 同 构 ， 而 存 在 同 构 映 射 ． Ｉ － Ｋ ｒ ． 因 ， ｍＱ－ ｅＬ ： － ，
：， （ 一Ｐ） — Ｉ 可 逆 ， 其逆 ｍ 设
在 下 文 讨 ｉ， ， 用 到 以 下 记 号 ｆ中 将
一
１
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Biblioteka Baidu
ｇ 寺上 （ ｄｇ ｒ ］ ｔｇ ｍｘ（ ｇｔｔ ａ ｇ ） ｔ ）， （ ， ａ ） ｉ ｎ Ｊ ｇ
其 中 ｇ是 连 续 的 一周 期 函数 ．
为 了将 引 理 １应 用 到 方 程 （ ， Ｘ＝ｃ ， ２） 设 ｚ＝Ｃ 其 中
Ｃ ＝ ｛ ｌ ∈Ｃ （ ， ， ｔ ）＝ ｔ ｝ Ｒ） （ ＋ （ ） ，
其 数为 ｌ ＩｘｌＩ， 范 Ｉ ｎ ｛ － ａ ＝
） １ｌ＝ Ｉ ｔ１ ， ａ ） ｍｘ （ ． ｘ ］
Ｃ ＝｛ ∈Ｃ Ｒ， ， ｔ ）＝ ｔ ｝其 范数 为 ｌ ｌ ｌ． ｌ （ Ｒ） （ ＋Ｔ （） ， ｌ 显然 ｃ ， 是 Ｂ ｎｃ ＋ ｃ 都 ａ ａｈ空 间．定 义线 性 映射
中图分类号 ： １５ ６ ０ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ： １０ ７２ （０ １０ ０ ２ ０ ０３— ０ ０ ２ １ ）５— １４— ６
引 言
泛 函 微 分 方 程 周 期 解 的 问 题 一 直 是 人 们 广 泛 研 究 的 课 题 ． 年 来 ， 用 Ｍａ ｈｎ重 合 度 理 论 研 究 泛 函 微 分 近 利 ｗｉ
［ 收稿 日期 ］０ １ ０ ０ ２ １ — ９— ２ ［ 作者简介 ］ 秦发金 （９ ７ ） 男 ， １６一 ， 广西临桂人 ， 教授 ， 研究方向 ： 微分方程 的研究 。
１４ ２
￡： ｍＬＣ － Ｚ 。 ｘ ＝ （） Ｄｏ ＋ Ｌ
（ ３）
其中Ｄｍ ｏ Ｌ＝｛ ： ∈Ｃ （ Ｒ ， ｔ ）＝ １ ， ｔ ． Ｒ， ） （ ＋ （） Ｖ Ｒ｝ Ｅ
第２ ６卷第 ５期
２１ ０ １年 １ Ｏ月
柳
州
师
专
学
报
Ｖ０． ６ Ｎｏ ５ １２ ． Ｏｃ． ０ ｌ ｔ ２ ｌ
Ｊｕ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌｏ ｉｚｏ ｅｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｎ ｅ
一
类 高 阶泛 函微 分 方 程 多个 周 期 解 的存 在 性
映 射 为 ．设 ｎ 为 中有 界 开 集 ， 果 Ｑ ｆ ） 界 且 （ 如 Ｎ（ ｔ 有 Ｉ—Ｑ） Ｑ— 是 紧 的 ， 称 Ｎ 在 Ｑ 上 是 Ｌ一紧 的 ． Ⅳ： 则 引 理 １ （ ｗ ｉ 拓 定 理 ）设 是 指 标 为 零 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映射 ， 在 Ｑ 是 一紧 的 ， 设 ： Ｍａ ｈｎ延 ｒｄ ｏｍ Ⅳ 假
Ｎ （ ）＝ 一 （ （） ｘｔ 厂 ‘ 一 ｔ ）一口 ｔｘ （）一ｂ ｔ ｔ ＋ （） （） ｔ （） ） ｐ ｔ （
方 程 周 期 解 已有 许 多 结 果 ， 文 献 ［ —５ ． 近 ， 献 ［ ］ 究 了 如 下 一 类 二 阶 泛 函 微 分 方 程 如 １ ］最 文 ６研
” ￡ ｔ （ ） （ 一 ） ）［ （ ）］ （ ）＋ ， ｔ ， ｔ （ ） ｔ ＋ａ ｔ （ ）＋６ （ ）＝ｐ（ ） ｎ ２） （） ｔ （） ￡（ （） １ 周 期 解 的 存 在 性 问题 ， 用 Ｍａ ｉ 合 度 延 拓 定 理 ， 得 了方 程 （ ） 少 存 在 两 个 周 期 解 的充 分 条 件 ． 而 ， 我 利 ｗｈｎ重 获 １至 然 据 们 所 知 ， 未见 高 阶泛 函微 分 方 程 具 有 多个 周 期 解 的相 关 文献 ， 还 因此 ， 文 研 究 如 下 一 类 高 阶 泛 函微 分 方 程 本
秦 发 金
（ 柳州师范高等专科学校 数学与计算机科学系 ， 广西 柳 州 ５ ５０ ） ４ ０ ４
摘
要： 利用重合度 理论 ， 研究一类高 阶泛 函微分方程周期解存在性 的问题 ， 获得 了这 类方程 至少存在 两个周 期解
的结果 ， 并通过两个数值例子表明所获结果的有效性． 关键词 ： 阶泛 函微分 ； 高 方程 ； 周期解； 存在性
（ ）对 任 意 的 Ａ∈（ １ ， 程 Ｌ ｉ ０， ） 方 ｘ：Ａ ｘ的 解 满 足 隹Ｏ ｔ Ｎ ｆ；
（ｉ Ｑ ｉ） Ｎｘ≠０， ∈ ｎＫｅＬ； Ｖ ｒ
（ ｉ） ｅ Ｊ ｉ ｄ ｇ｛ ＱＮ， ｎＫｅＬ， ≠０ ｉ Ｑ ｒ ０｝ ．
则方程 Ｌ ｘ＝Ｎ ｘ在 Ｄｏ ｍＬｎＱ 内 至 少 有 一 个 解 ．
（ ）＋ ｔ － （ ））＋ａ ｔ （ ）＋ｂ ｔ （ ）＝ ｔ 。 ｔ （） ｔ （ ） ｔ Ｐ（ ） （ ２）
多 个 周 期 解 的存 在 性 问题 ， 中 ｎ ２为 正 整 数 ∈Ｃ（ ） 且 ０）＝０， ｔ ６ ｔ ， ￡ 都 是 上 的 连 续 一 其 Ｒ， ， ０（ ）， （ ） Ｐ（ ） 周 期 函 数 ， 期 Ｔ＞０ 周 ． 为 了 得 到 本 文 的 主 要 结 果 ， 们 引 入 Ｍａ ｉ 合 度 延 拓 定 理 ． 我 ｗｈｎ重 设 ， 是 赋 范 向量 空 间 ， Ｄｏ ｚ Ｌ： ｍＬｃ — ｚ 为 线 性 映 射 ， —ｚ 为 连 续 映 射 ， 果 ｄｍＫｅＬ＝ｃ ｄｍｌ Ⅳ： 如 ｉ ｒ ｏ ｉ ｍＬ＜ ＋ ， 且Ｉ ｍＬ为 ｚ 中 的 闭 子 集 ， 映 射 Ｌ称 为 零 指 标 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射 ． 果 Ｌ是 零 指 标 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射 ， 存 在 连 续 则 ｒｄ ｏｍ 如 ｒｄ ｏｍ 且
投影 Ｐ： — 及 Ｑ： —ｚ使得 Ｉ Ｐ＝Ｋ ｒ Ｉ Ｌ＝Ｋ ｒ ｚ ｍ ｅ ｍ Ｌ， ｅＱ＝Ｉ ， ｍ（ 一Ｑ） 则 ￡ｌ ，
由于 Ｉ ｍＱ与 儿 同 构 ， 而 存 在 同 构 映 射 ． Ｉ － Ｋ ｒ ． 因 ， ｍＱ－ ｅＬ ： － ，
：， （ 一Ｐ） — Ｉ 可 逆 ， 其逆 ｍ 设
在 下 文 讨 ｉ， ， 用 到 以 下 记 号 ｆ中 将
一
１
，ｒ
Biblioteka Baidu
ｇ 寺上 （ ｄｇ ｒ ］ ｔｇ ｍｘ（ ｇｔｔ ａ ｇ ） ｔ ）， （ ， ａ ） ｉ ｎ Ｊ ｇ
其 中 ｇ是 连 续 的 一周 期 函数 ．
为 了将 引 理 １应 用 到 方 程 （ ， Ｘ＝ｃ ， ２） 设 ｚ＝Ｃ 其 中
Ｃ ＝ ｛ ｌ ∈Ｃ （ ， ， ｔ ）＝ ｔ ｝ Ｒ） （ ＋ （ ） ，
其 数为 ｌ ＩｘｌＩ， 范 Ｉ ｎ ｛ － ａ ＝
） １ｌ＝ Ｉ ｔ１ ， ａ ） ｍｘ （ ． ｘ ］
Ｃ ＝｛ ∈Ｃ Ｒ， ， ｔ ）＝ ｔ ｝其 范数 为 ｌ ｌ ｌ． ｌ （ Ｒ） （ ＋Ｔ （） ， ｌ 显然 ｃ ， 是 Ｂ ｎｃ ＋ ｃ 都 ａ ａｈ空 间．定 义线 性 映射
中图分类号 ： １５ ６ ０ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ： １０ ７２ （０ １０ ０ ２ ０ ０３— ０ ０ ２ １ ）５— １４— ６
引 言
泛 函 微 分 方 程 周 期 解 的 问 题 一 直 是 人 们 广 泛 研 究 的 课 题 ． 年 来 ， 用 Ｍａ ｈｎ重 合 度 理 论 研 究 泛 函 微 分 近 利 ｗｉ
［ 收稿 日期 ］０ １ ０ ０ ２ １ — ９— ２ ［ 作者简介 ］ 秦发金 （９ ７ ） 男 ， １６一 ， 广西临桂人 ， 教授 ， 研究方向 ： 微分方程 的研究 。
１４ ２
￡： ｍＬＣ － Ｚ 。 ｘ ＝ （） Ｄｏ ＋ Ｌ
（ ３）
其中Ｄｍ ｏ Ｌ＝｛ ： ∈Ｃ （ Ｒ ， ｔ ）＝ １ ， ｔ ． Ｒ， ） （ ＋ （） Ｖ Ｒ｝ Ｅ
第２ ６卷第 ５期
２１ ０ １年 １ Ｏ月
柳
州
师
专
学
报
Ｖ０． ６ Ｎｏ ５ １２ ． Ｏｃ． ０ ｌ ｔ ２ ｌ
Ｊｕ ａ ｆＬｕ ｈ ｕ Ｔ ａｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌｏ ｉｚｏ ｅｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｎ ｅ
一
类 高 阶泛 函微 分 方 程 多个 周 期 解 的存 在 性
映 射 为 ．设 ｎ 为 中有 界 开 集 ， 果 Ｑ ｆ ） 界 且 （ 如 Ｎ（ ｔ 有 Ｉ—Ｑ） Ｑ— 是 紧 的 ， 称 Ｎ 在 Ｑ 上 是 Ｌ一紧 的 ． Ⅳ： 则 引 理 １ （ ｗ ｉ 拓 定 理 ）设 是 指 标 为 零 的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映射 ， 在 Ｑ 是 一紧 的 ， 设 ： Ｍａ ｈｎ延 ｒｄ ｏｍ Ⅳ 假