算法设计与分析--回溯法

回溯算法的应用

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2013年12月27日

回溯算法的应用

摘要：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这就是以深度优先的方式系统地搜索问题解的回溯算法，它适用于解决一些类似n 皇后问题等求解方案问题，也可以解决一些最优化问题。

在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。关键词：回溯法深度优先搜索递归

目录

第1章绪论 (1)

1.1 回溯算法的背景知识 (1)

1.2 回溯法的前景意义 (1)

第2章回溯算法的理论知识 (2)

2.1 回溯算法设计过程 (2)

2.2 回溯算法框架 (2)

2.3 回溯算法的一般性描述 (4)

第3章找n个数中r个数的组合问题 (5)

3.1 问题描述 (5)

3.2 问题分析 (5)

3.3 算法设计 (5)

3.4 测试结果与分析 (6)

第4章流水作业车间调度问题 (8)

4.1 问题描述 (8)

4.2 问题分析 (8)

4.3 算法设计 (8)

4.4 测试结果与分析 (10)

第5章结论 (11)

参考文献 (12)

第1章绪论

1.1 回溯算法的背景知识

回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的算法，在递归算法中，其存在的意义是在递归知道可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。实际上是一个类似于枚举的搜索尝试方法，他的主题思想是在搜索尝试的过程中寻找问题的解，当发现不满足条件时就回溯返回，尝试别的路径。

简单的说就是：从问题的某一种初始状态出发，依次搜寻每一种可能到达的情况，当走到这条路的“尽头”时，回过头到上一个情况，看这个情况是否还有没有走过的路，依次进行下去，直到遍历完所有的情况。

回溯法实际上是一种深度优先搜索的方式。对于回溯法解决的问题，通常将其解空间组织成图或者树的形式。对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。

1.2 回溯法的前景意义

在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

通过运用回溯法，可以解决很多问题，譬如我们所熟知的“八皇后问题”、“0/1背包问题”，这只是在教学阶段中的运用，在实际运用中回溯法也能起到很大的作用。

回溯法适用于解决难以归纳一般规律解法的问题，其适用范围广，灵活性大，在解一些列举方法的问题时尤其可用。但是，其缺点也是明显的，即时间复杂度较大；因此在采用时我们应该因情况的不同而做出不同的选择。

第2章回溯算法的理论知识

2.1 回溯算法设计过程

（1）确定问题的解空间

应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展规则，如每个皇后在一行中的不同位置移动，而象棋中的马只能走“日”字等。

（3）搜索解空间

回溯算法从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

2.2 回溯算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量（a1,a2,.....,an），约束条件是ai(i=1,2,3, ....,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

int a[n],i;

初始化数组a[];

i=1;

While(i>0(有路可走)）and([未到达目标]) //还未回溯到头

{ if（i>n）//搜索到叶结点

搜索到一个解，输出；

else //正在处理第i个元素

{ a[i]第一个可能的值；

while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)

a[i]下一个可能的值；

if（a[i]在搜索空间内）

{标识占用的资源；

i=i+1;} //扩展下一个结点

else

{清理所占的状态空间；//回溯

i=i-1;}

}

}

(3)递归算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索深度，框架如下：

int a[n];

try(int i)

{if(i>n)

输出结果；

else

for(j=下界；j<=上界;j++)

if(f(j))

{a[i]=j;

...

try(i+1);

回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）；

}

}