数学建模插值方法

384
96
5 (x 2)(x 4)(x 8)(x 10) 4 (x 2)(x 4)(x 6)(x 10)
64
96
1 (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 384
function yi=lagrcz(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); for s=1:m
f [x0 , x1] f [x1, x2 ] x0 x2
二阶差商
f [x0 , x1,L
xn ]
f [x0 , x1L
xn1] f [x1, x2 ,L x0 xn
xn ]
n 阶差商
(2) Newton插值公式
由差商定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
(x ( xi
xi1)(x xi1)L xi1)(xi xi1)L
(x xn ) (xi xn
)
,
i 0,1,L
n
引入记号 n1(xi ) (x x0 )( x x1) (x xn ) , 易证 n1(xi ) (xi x0 ) (xi xi1)( xi xi1) (xi xn ) ,
为 Det(A) (xi xj ) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0 jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
li
(x)
(x x0 )L (xi x0 )L
2)(x 2)(6
4)(x 4)(6
8)(x 8)(6
10) 10)
1 64
(x
2)(x
4)(x
8)(
x
10)
l3 (x)
(x (8
2)(x 2)(8
4)(x 4)(8
6)(x 10) 6)(8 10)
1 96
(x
2)(x
4)(x
6)(x
10)
l4
(x)
(x 2)(x (10 2)(10
插值与拟合
前言
函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的 函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算 多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只 能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的 函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个 想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的 近似 。
如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之 为插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简单 的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。
4)(x 6)(x 4)(10 6)(10
8) 8)
1 384
(x
2)(x
4)(x
6)(x
8)
于是有
P4 (x) y0l0 (x) y1l1 (x) y2l2 (x) y3l3 (x) y4l4 (x)
1 (x 4)(x 6)(x 8)(x 10) 3 (x 2)(x 6)(x 8)(x 10)
为待定系数.利用插值条件 Pn (xi ) yi ,我们得到一个线性代数方程
组 Aa b ,其中
1 x0 L A 1 x1 L
M M L 1 xn L
x0n x1n
M
,
a0
a
a1
,
M
xn
n
an
y0
b
y1
M
yn
观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A 的行列式
插值部分
一、问题提出
设 x0 , x1L xn 为给定的节点，yi f (xi )，i 0,1, n 为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn (xi ) yi， i 0,1, n . 这类问题称为插值问题。f (x) 称为被插值函数，Pn (x) 称
为插值函数，x0 , x1L xn 称为插值节点
从而Lagrange插值多项式可表示为
Pn (x)
n i0
yi
(x
n 1 ( x) xi )n1(xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在,
节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
Hale Waihona Puke Baidu(n 1)!
n
1
(
x)
其中 (a,b) 且依赖于 x .
例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多 项式。
解：用4次插值多项式对5个点插值
x0 , y0 2,0, x1, y1 4,3, x2, y2 6,5, x3, y3 8, 4, x4 , y4 10,1,
l0
(x)
(x (2
4)(x 4)(2
6)(x 6)(2
8)(x 8)(2
10) 10)
1 384
(x
4)(x
6)(x
8)(x
10)
l1(x)
(x (4
2)(x 2)(4
6)(x 6)(4
8)(x 8)(4
10) 10)
1 96
(x
2)(x
6)(x
8)(x
10)
l2
(x)
(x (6
3
2
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
（1）差商定义
定义
称
f [xi , xj ]
f (xi ) f (xj ) , xi x j
i
j
两点处的一阶差商.
为 f (x) 在 xi , x j
f [x0 , x1, x2 ]
二、存在性与唯一性
定理1 设 x0 , x1 xn 为给定的彼此互异的 n 1个插值 节点，则存在唯一的次数不超过 n 的多项式 Pn (x) ，满足 条件
Pn (xi ) yi , i 0,1, n .
证明: 设 Pn a0 a1x a2 x2 L an xn , 其中 a0 , a1, a2 ,L an
yi(s)=0; for i=1:n
w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n
if (j~=i) w(i)=(xi(s)-x(j))*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j))*dw(i);
end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); end end
6
5
4