共形映射
内容简介
在第一章曾讲过w=f (z )在几何上,可以看作是平面上的一个点集G (定义集合)变到w 平面上的点集G* (函数值集合)的映射(或变换),这个映射通常称为由函数w=f (z )所构成的映射。
*)(G
w G z z f w ∈??→?∈=称为的原象。的象点(映象),而为z z w ~~~~~~~~~~~~~~~~
第六章共形映射
第六章共形映射
:C 增大时点它的正向取t 1. 曲线的切线
)()(000方向相同则割线的方向向量t t z t t z p Δ?Δ+,的参数分别为若t t t t z ,,0)('000∈≠设连续曲线方向。
对应于参数割线p p 0
2. 解析函数导数的几何意义,,)(0∈=f D z D z f w 且内解析在区域设]
,[)(::0βα∈=t t z z C z D 引一条有向光滑曲线内过在)(00增大方向的曲线,正向取过点—t z f w =Γ)
(),(000t z z t =∈βα取0)('0≠t z :)(:)(w w t z z C z z f w Γ→==平面上平面上~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 共形映射的概念
)(00为共形的,或称在变性具有保角性和伸缩率不的邻域内有定义,且在在设f w z z z f w ==~~~~~~定义)()(内是共形映射在区域内每一点都是共形的,在若D z f w D z f w ==~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 梁市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点容,它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题容由四部分构成:关于函数容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等. 一、关于函数容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度];Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]. Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数.”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义). Veblen,1880-1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的限制,变量可以是数,也可以是其它对象. (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念:
第6章共形映射
105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是( ). (A )π1,2k α== (B )π2,2k α==- (C )π1,2k α==- (D )π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选(B ). 平移变换加伸缩反射得相似图形,相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下,将|1|1z -<映射为( ). (A )右半平面0u > (B )下半平面0v < (C )半平面12u > (D )12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<,即 222x y x +<,故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选(C ). 解2 1 w z = 是分式线性变换,具有保圆性.而|1|1z -=,将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ,故1w z =将圆变为直线12u =,而圆心1z =变到112w =>,故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . (C ). 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为( ). (A )Im()1w < (B )Re()1w < (C )圆2211()22u v ++< (D )2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性,知1 w z =将1y =映射为直线 或圆,由z =∞映射为0,1i z =+,映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知,将Im()1z =映射为w 平面上的圆: 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选(C )
《复变函数》考试大纲
《复变函数》考试大纲 课程名称:复变函数 一、考试的总体要求 本门课程主要要求:掌握该课程的基本概念及其性质,掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法,要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。 二、考试的内容及比例 1、复数与复变函数(5%~10%): (1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。 (2) 掌握复变函数、极限、连续性。 (3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。 2、解析函数(10%~20%): (1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。 (2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。 (3) 掌握初等解析函数(正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数)。 (4) 了解初等多值函数(根式函数、对数函数)、初等多值函数(反三角函数、一般指数函数、一般幂函数)。 3、复变函数的积分(15%~25%): (1) 掌握复积分的概念及基本性质。 (2) 掌握柯西积分定理(单连通与复连通域)、定积分与原函数。 (3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。 (4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。 4、解析函数的幂级数表示法(10~15%): (1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。 (2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。
(3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。 5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点(10%~15%): (1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。 (2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。 (3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。 6、留数理论及基应用(10%~15%): (1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。 (2) 会利用留数定理计算一些实积分(前三种类型)。 (3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。 7、共形映射(5%~10%): (1) 掌握解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质。。 (2) 掌握分式线性变换的映射特性、某些初等函数所构成的共形映射。 三、参考书目 《复变函数论》(第三版)钟玉泉编高等教育出版社2004.6
复变函数
复变函数论产生于十八世纪。1774年,欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时,法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中,就已经得到了它们。因此,后来人们提到这两个方程,把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪,上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时,作了更详细的研究,所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数学享受,也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔,法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分,他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初,复变函数论又有了很大的进展,维尔斯特拉斯的学生,瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作,开拓了复变函数论更广阔的研究领域,为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面,涉及的面很广,有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场,所谓场就是每点对应有物理量的一个区域,对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用,而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛,不但应用在流体力学的研究方面,而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此,近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起,复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展,并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中,它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在,复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题,所以它将继续向前发展,并将取得更多应用。 [编辑本段] 内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候,函数就有一个唯一确定的值,那么这个函数解就叫做单值解析函数,多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数,黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面,可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和 复变函数说明。对于某一个多值函数,如果能作出它的黎曼曲面,那么,函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁,能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响,逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容,一般叫做几何函数论,复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也
《函数的概念与性质》教案设计.
《函数的概念与性质》教案设计 2019-02-16 一、学习要求 ①了解映射的概念,理解函数的概念; ②了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法; ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数; ④理解分数指数幂的概念,掌握有理数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质; ⑤理解对数函数的概念、图象和性质;⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题. 二、两点解读 重点:①求函数定义域;②求函数的值域或最值;③求函数表达式或函数值;④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题;⑤指数函数与对数函数;⑥求反函数;⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题. 难点:①抽象函数性质的研究;②二次方程根的.分布. 三、课前训练 1.函数的定义域是( D ) (A)(B)(C)(D) 2.函数的反函数为( B ) (A)(B) (C)(D) 3.设则. 4.设,函数是增函数,则不等式的解集为 (2,3) 四、典型例题
例1设,则的定义域为() (A)(B) (C)(D) 解:∵在中,由,得,∴ , ∴在中,. 故选B 例2已知是上的减函数,那么a的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 解:∵ 是上的减函数,当时,,∴ ;又当时,,∴ ,∴ ,且,解得:.∴综上,,故选C 例3函数对于任意实数满足条件,若,则 解:∵函数对于任意实数满足条件, ∴ ,即的周期为4, 例4设的反函数为 ,若× ,则 2 解: ∴m+n=3,f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 (另解∵ , 例5已知是关于的方程的两个实根,则实数为何值时,大于3且小于3? 解:令,则方程 的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点(如图所示), 故有:,所以:, 解之得:
复变函数与积分变换第六章测验题与答案
第六章 共形映射 一、选择题: 1.若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小,那么该区域G 是 ( ) (A )21< z (B )211<+z (C )21>z (D )2 11>+z 2.映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) (A )0 (B ) 2 π (C )π (D )2 π - 3.映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) (A )1 (B )2 (C)1-e (D )e 4.在映射i e iz w 4 π +=下,区域0)Im(
(A )i +6 (B )i +4 (C )i +-2 (D )i 7.函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 通信工程专业函授(业余)本科教学大纲 目录 概率论教学大纲 (1) 复变函数与积分变换教学大纲 (5) 信号与线性系统教学大纲 (8) C语言程序设计教学大纲 (13) 可编程控制器教学大纲 (19) 单片机原理及应用教学大纲 (22) 模拟电子技术教学大纲 (29) 计算机通信网络教学大纲 (35) 数字信号处理教学大纲 (42) 数字电子技术教学大纲 (45) 移动通信教学大纲 (48) 高频电路教学大纲 (51) 光纤通信教学大纲 (57) 多媒体技术教学大纲 (60) 程控交换教学大纲 (64) 数字通信原理教学大纲 (69) 专业英语教学大纲 (72) 概率论教学大纲 一、课程类别专业必修课 二、教学目的 本课程是继高等数学后的数学类课。其目的是通过学习本门课程掌握概率论与数理统计的基本方法和基本思想,能够运用这些思想、方法处理解决有关随机现象的问题,提高解决问题的能力。 三、开课对象通信工程专业函授本科 四、学时分配 总学时:132学时其中面授:33学时自学:99学时 五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点 第1章概率论的基本概念(面授2学时、自学6学时) 教学内容: §1-1 随机试验 §1-2 样本空间、随机事件 §1-3 频率与概率 §1-4 等可能概型(古典概型) §1-5 条件概率 §1-6 独立性 教学重点和难点:理解随机事件及其概率的有关概念,掌握事件的运算及其表示事件的方法,熟悉事件间的关系,熟记概率的基本性质,会计算常用的古典概率,掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式,会准确运用这些公式计算相应的事件的概率或条件概率。 第2章随机变量及其分布(面授6学时、自学8学时) 教学内容: §2-1 随机变量 §2-2 离散型随机变量的概率分布 §2-3 随机变量的分布函数 §2-4 连续型随机变量的概率密度 基础数学专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 本专业主要培养从事数学基础理论及应用研究和教学的高层次人才;要求学生掌基础数学领域的基础知识、具有宽广的知识面,并深入了解某一子学科的专业知识;能熟练地掌握一门外国语;身体健康;毕业后能独立地从事教学、科研及其它实际工作。 二、本专业总体慨况、优势与特色 基础数学(Pure Mathematics)是数学学科的基础和核心部分,它不仅是其它数学学科的基础,而且也是自然科学、技术科学和社会科学等必不可少的语言、工具和方法,同时高科技的发展和计算机的广泛应用也为基础数学的研究提供了更广阔的发展前景。 我校具有数学一级学科博士学位授予权,具有数学博士后流动站。在代数、函数论、微分方程、组合数学、拓扑学等领域具有很好的研究基础。各方向都建立了一支年龄机构合理、研究水平高、稳定的研究队伍,各方向均取得了许多重要的科研成果。 三、本专业研究方向及简介 1. 代数学 2. 函数论 3. 拓扑学 4. 微分方程 5. 组合与优化 四、专业课程一览表 五、专业课程开设具体要求 课程编号: 课程名称:泛函分析 英文名称:Functional Analysis 任课教师:徐景实 适应学科、方向:基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论 预修课程:数学分析、实变函数 主要内容:熟悉距离空间、赋范线性空间、Banach空间、Hilbert空间的基本定理,熟练掌握线性算子和线性泛函的表示、弱收敛性和线性算子的谱等。了解广义函数的概念和运算。 主要教材及参考文献: 1、张恭庆.泛函分析讲义(上、下册)[M].科学出版社.***** 2、夏道衍.实变函数论与泛函分析[M].高等教育出版社. 3.、定光桂.巴那赫空间引论[M].科学出版社,1999. 4、 J.B.Conway.A Course in Functional Analysis (2nd Ed.)[M].GTM. 96 Springer-Verlag,1990. C-algebras and Operator theory[M].Academic Press, 5、G.J.Murphy. 1990.********** 课程编号: 第六章共形映射 (The Conformal mapping) 第一讲 授课题目:§6.1共形映射的概念;§6.2共形映射的基本问题教学内容:导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性. 学时安排:2学时. 教学目标:1、理解导数的几何意义; 2、弄清共形映射的概念; 3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性; 教学重点:解析函数的保域性与边界对应原理; 教学难点:解析函数的保域性与边界对应原理; 教学方式:多媒体与板书相结合. P习题六:1-3 作业布置: 164 板书设计:一、导数的几何意义; 二、共形映射的概念; 三、解析函数的保域性与边界对应原理; 四、共形映射的存在唯一性 参考资料:1、《复变函数》,西交大高等数学教研室,高等教育出 版社; 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,高等 教育出版; 3、《复变函数论》,(钟玉泉编,高等教育出版社,第 二版)2005年5月 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编,高等教 育出版社,2008年4月 课后记事:1、基本掌握共形映射的概念; 2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理;教学过程:通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
湖南师大数学培养方案
共形映射