分形结构

N (δ d B = lim lnln(1/ δ, F ) , 称为计盒维数。 )
δ →0
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 海岸线和边界线(Ruler) （1）海岸线和边界线(Ruler) 20世纪20年代， 20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的 世纪20年代 长度时，总结了许多人的研究结果， 长度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 r 测得的 ) 不同。 长度 N (r不同。 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折， 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍 然是曲折的，与科克曲线比较， 然是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
s i =1 i =1 ∞ ∞
则称H s ( F )为F的s维豪斯道夫测度。可证明，ℜn中任何子集的n维豪斯道夫测度与 n维勒贝格测度（n维体积）仅相差一常数倍。
中波雷尔子集， 若F是Rn中波雷尔子集，则
Η = CnVol (F )
n n
其中常数： 其中常数：
Cn = π
1n 2
/ 2 ( n)!
5
分形－西兰花 分形－
6
分形－树林 分形－
7
分形－烟灰 分形－
8
分形－DLA（扩散限制凝聚） 分形－DLA（扩散限制凝聚）
9
分形－ 分形－DBM
电介质击穿模型） （电介质击穿模型）
10
分形－蕨类植物 分形－
11
分形－雪山山岭 分形－
12
分形－闪电 分形－
13
14
最大的特点：自相似性 理想的自相似结构：如Cantor set、Sierpinski gasket、Menger sponge
多孔材料。某些岩石，煤和陶器。 （3）多孔材料。某些岩石，煤和陶器。
（4）粗表面。月球表面；地球上的各种地貌（山峦起伏，沙丘……） 粗表面。月球表面；地球上的各种地貌（山峦起伏，沙丘……）
逾渗集团。 （5）逾渗集团 逾渗集团
（6）粘性指进 粘性指进。 粘性指进
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是 一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。 年提出的。 一词是 年提出的
http://mathworld.wolfram.com/JuliaSet.html
计算机制图方法： 计算机制图方法： Set of z Julia
1.5 1.0
2 n+1=zn +i
2.00
4.50
0.5
7.00
9.50
y
0.0
12.0
-0.5
14.5
Leabharlann Baidu
17.0
-1.0
19.5
-1.5 -1.5
k
7.375
8.250
9.125
10.00
-1.0
-0.5
分形“无定形，无形状可言” 分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述 其性质的。 其性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆
4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1924年出生于波兰华沙; 年出生于波兰华沙 1936年移居法国巴黎; 1936年移居法国巴黎; 年移居法国巴黎 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 年在巴黎大学获数学博士学位 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学” 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践 讲座”教授,IBM公司的研究员. ,IBM公司的研究员 讲座”教授,IBM公司的研究员.
δ →0
容易证明H s ( F )是一测度，事实上： (1)若φ是空集，则H (φ )＝0；
s
欧式空间中开（ 欧式空间中开（闭）集 合的可数并或交
(2)若E ⊂ F , 则H s ( E) ≤ H s ( F ); (3)若{Fi}为任何可数不交波雷尔序列，则 H (U Fi ) = ∑ H s ( Fi )
Koch曲线 曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学） 随机性（随机产生、动力学）
维数
(1) 相似维
N (1/ 4) = 41
N (1/ 4) = 4
2
D = lim
ε →0
取 下 确 界 得 ， H δt ( F ) ≤ δ t − s H δs ( F ).令 δ → 0， 可 见 对 t>s， 若 H δs ( F ) < ∞ , 则 H δt ( F ) = 0.
∞
H (F )
s
所以，存在 dim H F，使得
∞ 若s<dim H F H ( F )＝ 0 若s>dim H F
（即0<|V|<δ）,且 U Vi ⊃ F. i
定义2 定义2：
记H δs ( F ) = inf{∑ | Vi | :{Vi }为F的δ 覆盖}
i =1
∞
s
不减 随着δ 减小，能覆盖F的集类也减小，故下确界Hδs ( F )随着增加。 当δ → 0时趋向
于一极限(对ℜn中的子集该极限都存在,但可以是零或无穷)，记H s ( F ) = limHδs ( F )，
15
理想的自相似结构！
16
不是严格规则的自相似性称为统计相似性或者无规相似性——无规分形 （1）无规凝聚 无规凝聚：电解溶液时，金属例子向阴极靠近，沉淀。金属离 无规凝聚 子沉淀到那一点是完全随机的；结晶；溅射生长等等
17
无规界面网络。界面结构如金属表面的晶粒无规排列； （2）无规界面网络。界面结构如金属表面的晶粒无规排列；磁铁材 料表面的磁畴排列；某些合金，物理、化学吸附涂层。 料表面的磁畴排列；某些合金，物理、化学吸附涂层。
此时有：H δs ( F ) = inf{∑ | δ | :{δ i }为F的有限覆盖}＝N (δ , F )δ S
i= i =1
i =1 ∞
s
且δ → 0时，
δ →0
∞ 若s<d B lim N (δ , F )δ ＝ δ →0 0 若s>d B
S
故只有： lim N (δ , F )～δ －dB时，该极限才有限。故定义：
《非线性科学暑期讲习班 》
第二讲
分形(Fractals) 分形
南京大学天文系周济林 zhoujl@nju.edu.cn
内容提要
• • • • 分形的例子（刘佳成提供 2008） ） 分形的定义及分维 产生分形的数学模型 产生分形的物理模型
芒德罗布( ):为什么几何学常常被说为 芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’ 枯燥无味’ 原因在于它无力描写云彩、山岭、 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。 不光滑、闪电更不是沿直线传播的 。
ln
∑ µ 2 ( q ,ε )
ln(1/ ε )
i
称为分形结构的关联维数。所以对所有q, Dq形成了 称为分形结构的关联维数。所以对所有q, Dq形成了 一个分维谱， 一个分维谱，一般地
q1>q2,有Dq1<Dq2 有
二、产生分形的数学模型
• 复变函数迭代的Julia Set 复变函数迭代的Julia • 牛顿迭代法根的吸引域 • 动力系统的相空间（或子集）结构 动力系统的相空间（或子集）
n 1 2
为直径为1 为直径为1的n维球的体积。 维球的体积。
（K.Falconer 《分形几何－数学基础与应用》） 分形几何－数学基础与应用》
H δt ( F )关 于 t 不 增 ： 若 t>s， 且 {U i }为 F的 δ -覆 盖 ， 有
∑ |U | ≤ δ ∑ |U | .
t t−s s i i i i
22
Sierpinski gasket
d H = ln 5 / ln 2 = 2.3219
23
Sierpinski gasket
d H = ln 20 / ln 3 = 2.7268
24
（2）豪斯道夫 ）豪斯道夫(hausdorff)维数 维数
定义1 定义1： 称{Vi}为分形F的一个δ 覆盖，若Vi是直径小于δ 的集合
log N ( ε ) log(1/ ε )
Cantor三分集 三分集
D=
D=
log 2 log 3
≈ 0.63
≈ 1.26
Koch曲线 曲线
log 4 log3
D=
log 4 log 3
≈ 1.26
Sierpinski 地毯
D=
log3 log 2
≈ 1.58
Sierpinski地毯 地毯
d H = ln 8 / ln 3 = 1.8928
29
30
用不同的尺子测量科赫曲线的长度:
31
（3）box-counting boxbox
32
box（4） general box-counting
33
计盒维数非常简单，但反映的信息不多（稠密情 计盒维数非常简单，但反映的信息不多（ 况）。更广义的维数有： ）。更广义的维数有： 更广义的维数有
22.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
找出|f（x,c）|≥ rmax =100的最小k0 ,在复平面z=x+iy上画出k0的‘等势图’。 k0 → ∞的图就是M 集
x
c=2
1.5 1.0 0.5
5.625
3.000
3.875
4.750
y
0.0
6.500
-0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -1.5
（1）复变函数迭代的 ）复变函数迭代的Julia集 集 原理： 原理：
Z n+1=Zn2， 单位圆上处处不稳定周期轨道
Z n+1=Zn2+c
对于复迭代zn +1 = f ( zn , c), f 的Julia集J ( f )定义为f不稳定周期点集的闭包。
2 复迭代zn +1 = zn + c的Julia集
s
0
dim H F
dim H F 称为F的豪斯道夫维。
s
(3)计盒(box-counting)维数
• 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。
若用N(δ , F )表示覆盖F的盒子数目，则根据豪斯道夫测度定义
∞ s
H δs ( F ) = inf{∑ | Vi | :{Vi }为F的δ 覆盖}
µi = limT →∞
η ( Ci , x0 ,T )
T
定义： 定义：
Dq =
1 1− q
lim
N (ε ) i =1
ln I ( q ,ε ) ε →0 ln(1 / ε )
q i
其中： 其中：
I (q, ε ) = ∑µ
N(ε)为大小为 的盒子的数目。该维数称为 q维。其特例： 为大小为ε的盒子的数目 该维数称为D 其特例： 为大小为 的盒子的数目。 q=0, I(0, ε)=N(ε), 得到计盒维数 若所有µ 都相等, 若所有 i都相等 µi =1/N(ε), 则 ln I(q, ε)=(1-q) ln N( ε),同样 同样 得到计盒维数. 得到计盒维数. 故只有等概率或不算概率时Dq维才等于计盒维数。 故只有等概率或不算概率时Dq维才等于计盒维数。 Dq维才等于计盒维数
(4)分维谱 (4)分维谱
定义： 维欧氏空间对某一个集合（ 定义：设 {Ci} (i=1,…,N)为D维欧氏空间对某一个集合（如吸引 为 维欧氏空间对某一个集合 的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷， 子）的覆盖。一条轨道若随着时间趋于无穷，可以遍历该集合 的除一个零Lebesgue测度外的所有点，我们称该轨道是典型的。 测度外的所有点， 的除一个零 测度外的所有点 我们称该轨道是典型的。 设从x0出发的一条典型轨道，其在T时间内在 i内度过的时间 设从 出发的一条典型轨道，其在 时间内在C 时间内在 则定义该Ci的自然测度为 为η(ci,x0,T),则定义该 的自然测度为： 则定义该 的自然测度为：
Dq =
q=1, 定义
1 1− q
lim
ln I ( q ,ε ) ε →0 ln(1 / ε )
D1 = lim q →1 Dq
N (ε )
则根据L’Hospital法则 法则 则根据
D1 = limε →0
该维数称为信息维。 该维数称为信息维。
∑ µi ln µi
i =1
ln(ε )
q=2:
1 Dq = 1− q limε →0