《凝聚态物理》第十一章 分形结构和分数维

定义1：
称
{
V i
}为
分
形
F
的
一
个
覆
盖
，
若
V是 i
直
径
小
于
的
集
合
（
即
0
wenku.baidu.com
<
|
V| i
<
）
,
且
UV i
F.
定义2：
s
记
H
s
(F
)
inf{
| V i | : {V i }为 F 的 覆 盖 }
i 1
随
着
减
小
，
能
覆
盖
F
的
集
类
也
减
小
，
故
下
确
界
H
s
(
F
)随
着
增不加减。
当 0时 趋 向
l i m 于 一 极 限 ( 对 n中 的 子 集 该 极 限 都 存 在 , 但 可 以 是 零 或 无 穷 ) ， 记 H s ( F )
分形(Fractals)
内容提要
• 分形的例子 • 分形的定义及分维 • 产生分形的数学模型 • 产生分形的物理模型
芒德罗布(B.Mandelbrot):为什么几何学常常被说为‘冷酷无情’和 ‘枯燥无味’的？原因在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木 的形状。云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周、树皮并 不光滑、闪电更不是沿直线传播的……。
分形“无定形，无形状可言”！因此用简单的欧式几何是无法描述 其性质的。
3
分形几何的创始人
Benoit Mandelbrot
Oxford的Newton博物馆 4
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践 讲座”教授,IBM公司的研究员.
二、分形及分维
定义：具有某种自相似性结构的集合称为分形。 Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975年提出的。
Koch曲线
Sierpinski 地毯
分形三要素
• 形状 • 维数（随尺度变化的一个有限、定量描述） • 随机性（随机产生、动力学）
维数 (1) 相似维
N (1 / 4 ) 41
20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的 长度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 r 测得的 长度 N ( r不) 同。 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍 然是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
i 1
且 0时 ，
lim
N
(
,F
)
S＝
0
0
若 s<d B
若 s>d B
故 只 有 ： lim N ( , F )～ 时 － d B ， 该 极 限 才 有 限 。 故 定 义 ：
0
d B
lim
0
, ln N ( , F ) ln(1 / )
称为计盒维数。
数值计算和实验中广泛采用
一些无规分形的维数 （1）海岸线和边界线(Ruler)
n C nVol n ( F )
其中常数：
Cn
1n
2
/ 2 n ( 1 n )! 2
为直径为1的n维球的体积。
（K.Falconer 《分形几何－数学基础与应用》）
H
t
(F
)关
于
t不
增
：
若
t>s，
且
{U }为 i
F的
-覆
盖
，
有
| U |t i
ts
|
U
|s
i
.
i
i
取
下
确
界
得
，
H
t
(F
)
15
理想的自相似结构！
16
不是严格规则的自相似性称为统计相似性或者无规相似性——无规分形 （1）无规凝聚：电解溶液时，金属例子向阴极靠近，沉淀。金属离 子沉淀到那一点是完全随机的；结晶；溅射生长等等
17
（2）无规界面网络。界面结构如金属表面的晶粒无规排列；磁铁材 料表面的磁畴排列；某些合金，物理、化学吸附涂层。 （3）多孔材料。某些岩石，煤和陶器。 （4）粗表面。月球表面；地球上的各种地貌（山峦起伏，沙丘……） （5）逾渗集团。 （6）粘性指进。
Sierpinski地毯
d H ln 8 / ln 3 1.8928
22
Sierpinski gasket
d H ln 5 / ln 2 2.3219
23
Sierpinski gasket
d ln 20 / ln 3 2.7268 H 24
（2）豪斯道夫(hausdorff)维数
ts H
s
(F
) .令
0， 可 见
对
t>s，
若
H
s
(
F
)
,则
H
t
(F
)
0.
H s(F )
所 以 ， 存 在 dim H F， 使 得
dim F H
H s ( F )＝
0
若 s<dim F H
若 s>dim F H
dim F 称 为 F的 豪 斯 道 夫 维 。 H
0
s
计盒(box-counting)维数
H
s (U
F) i
i 1
i 1
H s(F ) i
则 称 H s ( F )为 F 的 s维 豪 斯 道 夫 测 度 。 可 证 明 ， n中 任 何 子 集 的 n 维 豪 斯 道 夫 测 度 与
n维 勒 贝 格 测 度 （ n维 体 积 ） 仅 相 差 一 常 数 倍 。
若F是Rn中波雷尔子集，则
• 改进豪斯道夫维数，令覆盖的盒子大小形状都相同。
若 用 N ( , F )表 示 覆 盖 F的 盒 子 数 目 ， 则 根 据 豪 斯 道 夫 测 度 定 义
s
H
s
(
F
)
inf{
| V | : {V }为 F 的 覆 盖 }
i
i
i 1
s
此
时
有
：
H
s
(
F
)
inf{
| | : { }为 F 的 有 限 覆 盖 } ＝ N ( , F ) S i
5
分形－西兰花
6
分形－树林
7
分形－烟灰
8
分形－DLA（扩散限制凝聚）
9
分形－DBM （电介质击穿模型）
10
分形－蕨类植物
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分形－雪山山岭
12
分形－闪电
13
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最大的特点：自相似性 理想的自相似结构：如Cantor set、Sierpinski gasket、Menger sponge
H
s
(
F
)，
0
容 易 证 明 H s ( F )是 一 测 度 ， 事 实 上 ： (1) 若 是 空 集 ， 则 H s ( )＝ 0；
欧式空间中开（闭）集 合的可数并或交
(2)若 E F ,则 H s (E ) H s (F );
(3 )若 { Fi } 为 任 何 可 数 不 交 波 雷 尔 序 列 ， 则
N (1 / 4 ) 4 2
D log 4 1 .2 6 log 3
D lim log N ( ) 0 log(1 / )
Cantor三分集
D log 2 0 .6 3 log 3
Koch曲线
D log 4 1 .2 6 log 3
Sierpinski 地毯
D log 3 1 .5 8 log 2