第4章推理技术(人工智能)46

C1=P(x)∨Q(x) C2=P(a)∨R(y)
我们需要用a替换C1中的x，两者中才有互否文字。然后 才能根据命题逻辑中的消解原理，得消解式
C3’ = Q(a)∨R(y)
所以，要在谓词逻辑中应用消解原理，一般需要对个体 变元作适当的替换。
9
2012-5-8
定义6 一个替换/置换(Substitution)是形如｛t1/x1, t2/x2, …, tn/xn｝的有限集合，ti/xi 表示用 ti 替换 xi 。其中x1, x2, …, xn是互 不相同的个体变元，称为替换的分母，ti 称为替换的分子；ti不 同于xi，xi也不循环地出现在tj(i,j=1,2,…,n)中。
②若该存在量词不在任何全称量词的辖域内，则用一 个新的常量符号(未曾在公式中出现过)代替该存在 量词辖域中的相应约束变元，这样的常量符号称为 Skolem常量。
3
2012-5-8
(5) 消去所有全称量词。 (6) 化公式为合取范式。
可使用逻辑等价式： ① A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) ② (A∧B)∨C (A∨C)∧(B∨C) (7) 消去合取词∧，以子句为元素组成一个集合S。 子句内的文字可含有变量，这些变量被理解为隐含 地受全称量词约束。 (8) 适当改名，使子句间无同名变元。
定义1 原子谓词公式及其否定称为文字literal，若干 个文字的一个析取式称为一个子句clause，由r个文字组成 的子句叫r —文字子句，1—文字子句叫单元子句，不含任 何文字的子句称为空子句，记为 或 NIL。
例如下面的析取式都是子句 P∨Q∨乛R P(x, y)∨乛Q(x)
2
2012-5-8
10
2012-5-8
定义8 设 =｛t1/x1, …, tn/xn｝，λ=｛u1/y1, …, um/ym｝
是两个替换；将集合｛t1λ/x1, …, tnλ/xn, u1/y1, …, um/ym｝中
凡符合下列条件的元素删除：
(1) tiλ/xi
当tiλ=xi
替换的定义的基本要求
(2) ui/yi
由步(5)得 乛P(x,f(x))∨［Q(x,g(x))∧乛R(x,g(x))］ 由步(6)得［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(x,f(x))∨乛
R(x,g(x))］ 由步(7)得［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(y,f(y))∨乛
R(y,g(y))］ 由步(8)得{乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x)),乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y))} 或
例如，上例中的Skolem标准型： x{［乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x))］∧［乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y))］}
4
2012-5-8
例 求下面谓词公式的子句集 x{yP(x,y)→乛y［Q(x,y)→R(x,y)］}
解 由步(1)得 x{乛yP(x,y)∨乛y［乛Q(x,y)∨R(x,y)］} 由步(2)得 x{y乛P(x,y)∨ y［Q(x,y) ∧乛R(x,y)］} 由步(3)得 x{y乛P(x,y)∨ z［Q(x,z) ∧乛R(x,z)］} 由步(4)得 x{乛P(x,f(x))∨［Q(x,g(x))∧乛R(x,g(x))］}
类似地可以验证其他推理规则也都可以用消解原理推出。 这就是说，用消解原理就可以代替其他所有的推理规则。再 加上这个方法的推理步骤比较机械，这就为机器推理提供了 方便。
例 证明子句集{P∨乛Q, 乛P, Q}是不可满足的。
证
(1)P∨乛Q
(2)乛P
(3)乛Q
由(1),(2)
(4)Q
(5)□
由(3),(4)
定义3 子句集S是不可满足的unsatisfiable (or contradictory)，当 且仅当其全部（或部分）子句的合取式是不可满足的。
虽然Herbrand从理论上给出了证明子句集不可满足的可 行性及方法（Herbrand域的定义、Herbrand定理以及相关方 法等这里从略），但在计算机上实现其证明过程却十分困 难。1965年Robinson提出归结原理，这才使自动定理证明变 成现实。
定义2 对一个谓词公式G，通过以下步骤所得的子句集 合S（子句集中各子句之间具有合取关系），称为G的子句集。
(1) 消去蕴含词→和等值词。可使用逻辑等价式：
① A→B 乛A∨B ② AB (乛A∨B)∧(乛B∨A)
(2) 缩小否定词的作用范围，直到其仅作用于原子公式。 可使用逻辑等价式： ① 乛(乛A) A ② 乛(A∧B) 乛A∨乛B ③ 乛(A∨B) 乛A∧乛B ④ 乛 xP(x) x乛P(x) ⑤ 乛 xP(x) x乛P(x)
1
2012-5-8
Herbrand理论
证明一个谓词公式的不可满足性是困难的，这是由于个 体变量论域的任意性，以及解释的个数的无限性。
但是，如果一个具体的谓词公式能够找到一个比较简单 的特殊的论域，使得只要在这个论域上该公式是不可满足的 ，便能保证该公式在任一论域上也是不可满足的，这将对不 可满足性的证明是十分有益的。
下面我们将项、文字（原子公式及其否定）、子句等 统称为表达式，没有变元的表达式称为基表达式，出现在 表达式E中的表达式称为E的子表达式。
定义7 设 =｛t1/x1, …, tn/xn｝是一个替换，E是一个表 达式；对E施行替换 ，即把E中出现的个体变元xj(1≤j≤n) 都用tj替换，记为E，所得的结果称为E在 下的例 (instance)。
20世纪60年代，人们把研究的注意力集中在证明永假性， 即证明 F1∧F2∧…∧Fn∧W 的永假性，这实际上就是要证明 {F1,F2,…,Fn}∪{W}是一个矛盾集，也就是证明 F1∧F2∧…∧Fn和W是不可满足的。
J. Herbrand和Robinson在这个方向上先后作了卓越的研究工 作。首先，由Herbrand提出的Herbrand域和Herbrand定理，为自 动定理证明奠定了理论基础；然后，由Robinson提出的归结原 理使自动定理证明成为可能。
需说明的是，在上述求子句集的过程中，当消去存在量 词后，把所有全称量词都依次移到整个式子的最左边（或者 先把所有量词都依次移到整个式子的最左边(得到前束范式)， 再消去存在量词，即Skolemization，得到斯柯林范式），再 将右部的式子化为合取范式，这时所得的式子称为原谓词公 式的Skolem标准型。
6
2012-5-8
归结演绎推理是基于归结原理（亦称消解原理principle of resolution）的推理方法。归结原理是由鲁滨逊(John Alan Robinson)于1965年首先提出。它是谓词逻辑中一个相当有 效的机械化推理方法。归结原理的出现，被认为是自动推理 （AR: Automated Reasoning），特别是定理机器证明领域 （ Automated theorem proving, is currently the most welldeveloped sub-field of AR）的重大突破。
8
2012-5-8
例 用归结原理证明：R是 P, (P∧Q)→R, (S∨U)→Q, U 的 逻辑结果。 证： 我们先把诸前提条件化为子句形式，再把结论的非也 化为子句，由所有子句得到子句集S=｛P, 乛P∨乛Q∨R, 乛 S∨Q, 乛U∨Q, U, 乛R｝，然后对该子句集施行归结。 由于最后推出了空子句，所以子句集S不可满足，即命题公 式
= ·λ 则称为S的最一般的合一者(Most General Unifier)，简称MGU。
11
2012-5-8
可以看出，如果能找到一个原子公式集的合一者，特 别是最一般的合一者，则可使互否的文字的形式结构完全 一致起来，进而达到消解的目的。
谓词逻辑中的归结原理
定义12 设C1,C2是两个无相同变元的子句，L1,L2分 别是C1,C2中的两个文字，如果L1和乛L2有最一般合一者， 则子句
乛P(x,f(x))∨Q(x,g(x)) 乛P(y,f(y))∨乛R(y,g(y)) 为原谓词公式的子句集。
5
2012-5-8
定理 谓词公式G不可满足 iff 其子句集S不可满足。 定理1把证明一个公式G的不可满足，转化为证明其子句 集S的不可满足。注意，这并不意味着G与S间等价。由 于在谓词公式G的化简过程中，为消除存在量词而引入了 Skolem函数，从而使子句集S实际上只是G的一个特例。 然而，可以证明G和S在永假性上是等价的，这成为建立 Herbrand定理的重要基础。
例 设C1=乛P∨Q∨R，C2=乛Q∨S，于是C1,C2的归结式为 乛P∨R∨S
7
2012-5-8
例 用归结原理验证： 分离规则(或假言推理)： A∧(A→B) B 拒取式： (A→B)∧乛B 乛A 链式(假言三段论)： (AB) ∧ (BC) (AC)
解 A∧(A→B) A∧(乛A∨B) B (A→B)∧乛B (乛A∨B)∧(乛B) 乛A (乛A∨B)∧(乛B∨C) 乛A∨C AC
Herbrand首先将合式公式标准化为子句集；然后在此基 础上引入Herbrand域（简记为H域），并证明只要对这个特 殊域上的一切解释进行判定，就能得知子句集是否不可满足 。他从理论上给出了证明子句集永假的可行性以及方法。
4.1 归结演绎推理Resolution deduction
p. 106
4.1.1 子句集的求取
若t1,t2,…,tn都是不含变元的项（称为基项），该替换称为 基替换； 没有元素的替换称为空替换，记作ε，表示不作替换。 例如：｛a/x, g(y)/y, f(g(b))/z｝就是一个替换；而{g(y)/x, f(x)/y} 则不是一个合法的替换，因为x与y出现了循环替换（x依赖y， y又依赖x）。
P∧(乛P∨乛Q∨R)∧(乛S∨Q)∧(乛U∨Q)∧U∧乛R 不可满足，从而R是题设前提的逻辑结果。
4.1.3 含有变量的消解
p. 110
替换与合一（用于谓词逻辑中的归结）
在一阶谓词逻辑中应用消解原理，不像命题逻辑中那样 简单，因为谓词逻辑中的子句含有个体变元，这就使寻找含 互否文字的子句对的操作变得复杂。例如：
当yi∈{x1,…,xn}
得到的集合仍然是一个替换，该替换称为与λ的复合或乘
积，记为 ·λ。
可以证明，替换的乘积满足结合律，即：
( ·λ)·u= ·(λ·u) 替换一般不满足交换律。
变量替换，使两个或多个表达式一致，称合一(unification)。 定义9 设原子谓词公式集S ={F1, F2, …, Fn}，若存在一个 替换 ，使F1 =F2 =…=Fn ，则称为S的一个合一者(Unifier)， 称S为可合一的。 一个原子公式集的合一者一般不唯一。 定义10 设原子公式集S的一个合一者 ，如果对S 的任何 一个合一者 ，都存在一个替换λ，使得
第4章 推理技术
4.1 归结演绎推理 4.3 产生式系统 4.5 不确定性推理
2012-5-8
引入：归结演绎
定理证明的实质是证明F1∧F2∧…∧Fn→W 的永真性。其 证明方法可分为二类：一是直接证明F1∧F2∧…∧Fn→W为永 真，即演绎法；二是间接证明(F1∧F2∧…∧Fn→W)为永假， 即反证法。
命题逻辑中的归结
定义4 设L为一个文字，则称L与乛L为互补文字complementary literals。
定义5 设C1,C2是命题逻辑中的两个子句，C1中有文字L1，C2 中有文字L2，且L1与L2互补，从C1,C2中分别删除L1,L2， 再将剩余部分析取起来，记构成的新子句为C12，则称 C12为C1,C2的归结式（或消解式resolvent），C1,C2称为 其归结式的亲本子句parent clauses，L1,L2称为消解基。
(3) 适当改名，使量词间不含同名指导变元和约束变元。 Hale Waihona Puke Baidu4) 消去存在量词。 消去存在量词，要进行变元替换。分两种情况：
①若该存在量词在某些全称量词的辖域内（如：xy， 则用这些全称量词指导变元的一个新的函数(未曾在 公式中出现过)代替该存在量词辖域中的相应约束变 元，这样的函数称为Skolem函数；