惯性力及其运用

惯性力及其运用
喻子宸
摘要：我们都知道牛顿运动定律只适用于惯性参考系，但在如动力学的物理问题中，往往选择的是非惯性参考系。

因此为了使牛顿运动定律在形式上“仍然”可以在非惯性参考系中成立，我们引入了惯性力的概念。

惯性力与以往所学的力有很大的差别，有的物理问题运用惯性力解决是非常的简单。

另外惯性力之科里奥利力对我们生活环境的影响极为明显，本文会举例说明。

惯性力的运用不仅只局限于理论，在某些科学领域上，也有其自己显著的地位，如航天技术和一些化工方面。

关键词：惯性力非惯性参考系牛顿定律转动参考系航天技术
一、惯性力及其性质
牛顿定律不成立的参考系称为非惯性参考系。

地球是一个惯性参考系，因此相对于地面有加速度的参考系都称为非惯性参考系。

为了在非惯性参考系中使牛顿运动定律在形式上“仍然”成立，必须引进惯性力的概念。

那就先认识几种惯性力，看看它们与平时的力有何不同。

1.直线加速运动参考系下的惯性力
相对于某一惯性参考系作加速直线运动的参考系为非惯性参考系。

设其加速度为a，则非惯性系统中任何物体都受到一个惯性力的作用，表示为
即在直线加速运动参考系中，物体所受惯性力F与非惯性参考系的加速度a的方向相反，且等于物体质量m与非惯性系加速度a的乘积。

从上面惯性力的定义可知，惯性力有一个重要的特征是，它永远与物体质量成正比。

这一点与重力是一样的。

因此，重力会不会就是惯性力的一种呢？而万有引力或许就是我们没有选取正确参考系而引起的。

以一个完全封闭的电梯为例。

如果此电梯静止于地球表面，电梯内一个观察者看到一物体以加速度g自上而下运动，他认为此物体在地球重力作用下自由下落。

电梯内另一观察者认为根本没有地球，是电梯以加速度-g在运动。

因此电梯内的观察者无法断定究竟是电梯在作加速运动还是地球重力场在起作用。

如果电梯在重力场中自由下落，电梯内自由漂浮的物体，好像处于无重力场的太空一样。

爱因斯坦指出，电梯下落的落体加速度恰好抵消了该处的重力场，电梯内的观察者也无法断定电梯是处于静止还是在重力场中自由下落。

还应当指出惯性力没有施力者，也没有反作用力，它只不过反映了参考系统不是惯性参考系这一事实。

2.匀角速转动参考系中的一种惯性力——，惯性离心力
相对于惯性参考系作匀角速转动的参考系是非惯性参考系。

静止于匀角速转动的参考系中的物体，在转动参考系中的观察者看来，要加上一种惯性力才能应用牛顿运动定律来解释物体在转动参考系中的静止状态。

这种惯性力就叫惯性力离心力，表示为
式中为转轴到物体的垂直距离，为上的单位矢量，其指向为背离转轴向外，为参考系的转动角速度。

我们应该注意惯性离心力与向心力反作用力离心力的区别，后者是一
种有施力物体的真实的力，而惯性离心力完全由所选取参考系为非惯性所导致。

当物体所处的位矢并不垂直于转轴时，惯性离心力可表示为
如图示，惯性离心力F 向仍离轴向外。

图1-1
惯性离心力的特点：（1）惯性离心力与转动参考系的转动角速度有关，与角速度是否随时间变化无关，即不管转动系的转动是均匀的还是非均匀的，离心力都存在；（2）离心力与物体所在位置有关，与物体在转动系中运动与否无关。

如果物体在转动系中运动，还会产生一种惯性力，叫做科里奥利力。

3.匀角速转动参考系中的另一种惯性力——科里奥利力
当物体相对转动系统有速度的时候，要使牛顿定律“仍然”适用，除了需要我们所说的惯性离心力外，还必须附加以另外一种惯性力：科里奥利力。

这里我们具体来讨论一下科里奥利力的来源。

假如一个物体在匀速转动的平台上作匀速圆周运动，平台的转动角速度为，圆周半径为,再设物体相对转动平台的速度为,相对静止参考系的速度为v,则根据绝对速度等于相对速度加上牵连速度的关系，有
然而，质量为m的物体受到的真实力指向圆心，大小为
在转动参考系中上式可以改写为
左式第一项为真实力，第三项为惯性离心力，那么第二项就称为科里奥利力。

我们可以用严格的方法给出科里奥利力的矢量表达式为
其中为物体相对于转动参考系的速度。

由其表达式可知，科里奥利力只在相对速度不
为零时，确切的说只有在相对速度在垂直于转轴分量不为零时才存在，并且与转动系的转动
是否均匀无关。

二 惯性力在解题上的应用
根据以上给出的三类惯性力，我们就可以在物理问题中的非惯性参考系下“运用“牛
顿运动定律，从而来解决问题。

下面列举几个具体问题进行讨论。

1.直线加速参考系下的惯性力的应用
例1 火车在平直轨道上以加速度a 向前行驶，在车中用细线悬挂一小球，悬线与竖直
方向夹角为θ，且静止，如图示。

求θ角？ θ
解法一：如果选取地面为参考系，那么就直接可以运用牛顿定律，因为地面是一个惯性
参考系。

那么对小球进行受力分析，如图
根据牛顿第二运动定律，有
θ ⑴
解得
解法二：若选取火车为参考系，此时火车为非惯性参考系，那么我们就可以使用惯性力
F ，如图示
通过此图我们也可解得与以惯性参考系即地面为 θ 参考系时一样的结果。

T
m
m g
X Y
O m g T 图1-2 图1-3 图1-4
通过上述例题，我们知道了选取不同的参考系，对于答案结果都是一样的。

这就说明 了运用惯性力解题是完全可行的。

例2 如图示，质量为m 的物体以水平初速度滑上原来静止在水平光滑轨道上的木板，木板质量为M ，物体和木板之间的动摩擦因数为u ，木板足够长，求
（1）物体滑上木板到相对木板静止所用的时间？
（2）物体相对木板滑行的距离？
这是一道高中常见的物理问题，这里我们分别用高中解题方法和运用惯性力解题方法进行求解。

解法一：（1）求时间，分别对m 和M 进行受力分析（此处不具体画出），有
解得 t=
(2)求相对距离，将物体m 和木板M 看成一整体，这一系统在水平方向不受外力，那么它在水平方向的动量就守恒，则有
式中v 为物体和木板相对静止时的共同速度。

再根据动能定律有
通过上两式即可解得物体在木块上的相对距离为
L=
解法二：(1)以物体m 为研究对象，选取木板为非惯性参考系，对物体m 进行受力分析如图，其中惯性力
,则在非惯性系中我们“运用”牛顿第二定律有
u N
m 图1-5 m M
可求得：
再根据公式 ,其中v等于0.则得出：
（2）求在木板上的距离L
在非惯性参考系中运用惯性力解决问题在某些问题中还是比较方便的。

就如例（2）中，选择了非惯性参考系后，我们就不用考虑相对性问题，这在理解上还是比较容易的。

2.科里奥利力的影响
地面上许多现象都显示出科里奥利力的影响。

河流、铁路、信风都受科里奥利力的作用。

下面我们来确定一下地球表面物体在水平面内运动时受科里奥利力的作用将偏向何方?
因为地球是一个转动参照系，时刻绕转轴作以角速度几乎不变的转动，所以，河道里
流动的水，铁轨上开动的火车，以及一切在地平面上运动的物体都会受科里奥利力的作用。

图1-6
地球转动角速度方向自南极指向北极沿转轴方向，在令物体在水平面内相对地球的运动速度为v,根据科里奥利力的矢量表达式可得
式中为角速度在物体所在处的铅垂方向分量，为水平方向分量。

方向必为
铅垂方向，不会改变物体运动方向。

为科里奥利力的水平分量。

由于它与v垂直，因此可以改变物体运动的方向，但不能改变速度大小。

如上图所示，在北半球，方向向上，对于任意水平面内的速度v，方向
指向运动方向的右方；在南半球，方向向上，科里奥利力的水平分力指向运动方向的左
方。

因此，前者将偏向右方，后者将偏向左方。

三、惯性力的实际运用
利用直线加速参考系中的惯性力，我们可以测量运动物体的加速度。

比如在航天航空器上的运用。

原理如下：物体加速运动时，加速度测量仪上的质量为m的滑块受到向后的惯性力而拉长弹簧，从而根据弹簧的伸长量和已知的弹簧劲度系数求得加速度的大小
其中x为弹簧伸长量。

而物体运动加速度的方向
与滑块的加速度方向相反。

m
图1-7 利用转动参考系中的离心惯性力可以分离不同密度的物质。

这种原理在化工行业应用很广泛。

生活中，惯性力的使用还有很多，希望大家多发现生活，科学生活。

参考文献：
[1]程稼夫：《力学》，中国科学技术大学出版社，1996年版。

[2]周衍柏：《理论力学教程》，高等教育出版社，第三版。

[3]梁昆淼、俞超等：《力学讨论》，四川教育出版社。