2019北京人大附中高一(上)期中数学含答案

2019北京人大附中高一（上）期中

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

1．（5分）设集合M＝{m∈Z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N＝（ ）

A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）

A．与y＝1 B．与y＝x﹣1

C．与y＝x D．与y＝x

3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ）

A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．D．

4．（5分）命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为（ ）

A．对任意a∈R，都有a2＜0 B．对任意a∈R，都有a2＜0

C．存在a∈R，使得a2≥0 D．存在a?R，使得a2＜0

5．（5分）已知函数f（x）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f（）]＝（ ）

A．﹣B．C．﹣D．

6．（5分）已知a，b是实数，则“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）

．B．C．D．

分）方程组的解集用列举法表示为　

分）已知函数，则方程

分）几位同学在研究函数（

，则对任意

，若存在，使得

分）已知函数．

）已知函数，当

．．．．

数，

）若（

）若函数，求

函数，若函数是

2019北京人大附中高一（上）期中数学

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

1．【分析】由题意知集合M＝{m∈z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．

【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，

∴M∩N＝{﹣1，0，1}，

故选：B．

【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．

2．【分析】直接利用同一函数的定义的应用求出结果．

【解答】解：针对选项A：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．

对于选项B：和函数y＝x﹣1不相等，故错误．

对于选项C：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．

对于选项D：的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．

故选：D．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用，属于基础题．

3．【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果．

【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．

对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x＝2的抛物线，

故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．

对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于，所以函数的图象单调递增，故正确．

对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y＝在（0，2）上单调递减，故错误．

故选：C．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

4．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在

a0∈R，使得a02＜0．

故选：B．

【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

5．【分析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．

【解答】解：由图象知f（x）＝

∴f＝﹣1＝﹣，

∴＝＝﹣+1＝．

故选：B．

【点评】本题主要考查了函数的图象，以及分段函数的解析式和函数单调性的判断，属于基础题．

6．【分析】直接利用不等式的性质和简易逻辑中的四个条件的应用求出结果．

【解答】解：当c＜d＜0，所以，故，

由于a＞b＞0，

所以，

故．

但是，整理得，整理不出a＞b＞0且c＜d＜0．

故“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的充分而不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

7．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．

【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，

可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，

结合所给的选项，

故选：C．

【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．

8．【分析】直接利用集合的定义和真子集的关系式的关系式运算的应用求出结果．

【解答】解：集合M＝{x∈R|5﹣|2x﹣3|为正整数}，

故5﹣|2x﹣3|＞0，整理得|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，

解得﹣1＜x＜4，

由于集合M为正整数，

所以M＝{﹣，0，，1，，2，，3，}，

故集合M的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510．

故选：C．

【点评】本题考查的知识要点：集合元素在不等式的解法中的应用，主要考查学生对集合的定义的理解，属于基础题型．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）

9．【分析】直接接二元一次方程组求出结果，再转换解集的形式．

【解答】解：整理得，解得，

转换为列举法为{（3，﹣7）}．

故答案为：{（3，﹣7）}．

【点评】本题考查的知识要点：二元一次方程组的解法和应用，针对性的考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

10．【分析】直接利用分段函数的解析式，进一步解一元二次方程求出结果．

【解答】解：根据函数的解析式，

当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．

当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．

所以解集为{﹣1，1}．

故答案为：{﹣1，1}．

【点评】本题考查的知识要点：分段函数的解析式的应用，一元二次方程的解法的应用，针对性的考查学生对分类讨论思想问题的应用，属于基础题型．

11．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x≥4×2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．

故答案为：30．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12．【分析】首先求出函数的对称轴，进一步利用对称轴和区间的关系求出a的范围．

【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，

由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，

所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．

故答案为：（﹣3，0）．

【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，函数的对称轴和区间的关系的应用，考查学生对函数的图象的理解问题和应用，属于基础题型．

13．【分析】①因为|x|＜1+|x|，所以由绝对值不等式得，函数值域（﹣1，1）．

②f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个

增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，

进而可得出正确．

③理由同上．

④由数学归纳法得证．

【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，

∴，故函数值域（﹣1，1）．

②正确；f（x）＝是一个奇函数，

当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，

由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，

∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；

③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．

④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）＝，

f2（x）＝，

当n＝k时，f k（x）＝成立，

当n＝k+1时，f k+1（x）＝成立，

由数学归纳法知，此命题正确．

故答案为：①②③④．

【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题，属于中档题．

14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个

集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．

【解答】解：∵函数f（x）＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1；

∴当≤x≤2时，当x＝1时，f（x）有最小值﹣1；当x＝2时，f（x）有最大值1；

即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]；

当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，

若存在，使得f（x1）＝g（x2），

则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠?，

若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝?，

则1+a＞1或4+a＜﹣1，

得a＞0或a＜﹣5，

则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠?时，﹣5≤a≤0，

即实数a的取值范围是[﹣5，0]，

故答案为：[﹣5，0]．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键，属于中档题．

三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）

15．【分析】（1）推导出A＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B，A∪B．（2）先求出?R A，由（?R A）∩B＝B，得到B??R A，从而A∩B＝?，由B＝?，求出a≥0，由B≠?，求出﹣≤a＜0，由此能求出a的取值范围．

【解答】解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|≤x≤3}．

当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，

∴A∩B＝{x|≤x＜2}，

A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．

（2）?R A＝{x|x＜或x＞3}．

当（?R A）∩B＝B时，B??R A，

即A∩B＝?．

①当B＝?，即a≥0时，满足B??R A；

②当B≠?，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，

要使B??R A，需≤，

解得﹣≤a＜0．

综上可得，a的取值范围为a≥﹣．

【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集定义的合理运用．

16．【分析】（1）﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根，由韦达定理或直接代入可得解；

（2）将（x1+1）（x2+1）＝8展开x1x2+x1+x2＝7，将方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的韦达定理代入，可得解；

（3）利用二次方程的根的分布条件可得解；

【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根；

所以，

解之得：b＝0，c＝﹣1；

（2）因为c＝b2+2b+3，f（x）＝x2+2bx+c＝0，所以x2+2bx+b2+2b+3＝0

因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的两根，

所以△＝4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0即；

所以，

因为（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+x1+x2＝7，所以﹣2b+b2+2b+3＝7；

所以b2＝4，所以b＝2或b＝﹣2，因为，所以b＝﹣2；

（3）因为f（1）＝0，所以c＝﹣1﹣2b

设g（x）＝f（x）+x+b＝x2+（2b+1）x﹣b﹣1，

则有

解得，

故b的取值范围为；

【点评】本题考查三个二次之间的关系，利用韦达定理整体代入的处理方法，考查了二次方程根的分布问题，属于中档题．

17．【分析】（1）利用奇偶函数判断方法判断；（2）利用减函数的定义判断即可；（3）根据分段函数写出结论．【解答】解：（1）因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

所以x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），

函数的定义域关于原点对称，

因为，

所以f（x）是奇函数．

（2）函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，

证明：任取x1，x2∈（0，2]，且0＜x1＜x2≤2，，

因为0＜x1＜x2≤2，所以2≥x2＞0，2＞x1＞0，所以4＞x1x2，所以x1x2﹣4＜0，

又因x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

所以，

所以f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．

（3）实数t的取值范围为[0，1]．

【点评】考查判断函数的奇偶性，函数单调性的证明，和分段函数的应用，中档题．

四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）

18．【分析】根据函数定义域和值域关系，分别进行讨论求解即可．

【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．

若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．

若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．

即方程的解为{1，2}，

故选：C．

【点评】本题主要考查方程的求解，结合函数的定义域和值域的关系，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，比较基础．

19．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得f（a）＜f（3）?|a|＞3，解可得a的取值范围，结合函数的定义域即可得答案．

【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，

则f（x）在区间[0，4）上为减函数，

又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，

解可得：a＞3或a＜﹣3；

又由函数的定义域为（﹣4，4），

即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；

故选：D．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数的定义域，属于基础题．

20．【分析】利用参数分离法分离出2a，求出y＝x+的值域，即可得到解．

【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得，当且仅当x＝成立，

又y＝x+，y（1）＝6，y（3）＝，

所以y∈[，6]，

要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，

即2a∈[，6]，a∈[，3]，

故选：C．

【点评】考查函数的零点问题，用了参数分离法，对勾函数求值域，中档题．

五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）

21．【分析】先求出函数定义域，利用基本不等式求出最大值，因为f（x）≥0，f（x）＝0为最小，求出即可．【解答】解：的定义域为[﹣3，1]，

由基本不等式，得，当1﹣x＝x+3，即x＝﹣1时，成立，

当x＝﹣3，1时f（x）＝0，

故答案为：；﹣3，1．

【点评】考查求函数的定义域，函数最值，利用了基本不等式，中档题．

22．【分析】（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，直接求解可得；

（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多，对第二段函数的对称轴进行讨论，结合函数图象得到答案

【解答】解：（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，则方程g（x）＝t只有一个解，所以f（t）＝1；

（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立；

即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；

当a≤0 时，作出函数g（x）的图象；

显然不满足方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；

当a＞0时，作出函数g（x）的图象；

要存在t，使得方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；

则要求二次函数的最大值要大于2；

即，解得a＞1；

故答案为：1，（1，+∞）．

【点评】本题考查对新定义的理解与等价转化，考查函数的单调性，方程的根的个数和数形结合的思想，属于中档题．

23．【分析】（1）由“保值”区间的定义直接写出即可；

（2）根据题意，按[a，b]?（0，+∞），[a，b]?（﹣∞，0），a＝0及b＝0四种情况讨论即可．

【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y＝x2的一个“保值”区间为[0，1]；

（2）易知，函数f（x）＝x2+m（m≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），

①当[a，b]?（0，+∞）时，则，即方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的正根，则，解得

；

②当[a，b]?（﹣∞，0）时，则，则a+b＝﹣1，则，即方程x2+x+m+1＝0有两个不相

等的负根，则，解得；

③当a＝0时，此时f（0）＝0，则m＝0，与题设矛盾；

④当b＝0时，则，即m2+m＝0，解得m＝﹣1或m＝0（舍去）；

综上，实数m的取值范围为．

故答案为：[0，1]；．

【点评】本题考查函数中的新定义问题，解决本题的关键是把问题转化为一元二次方程中根与系数的关系问题，进而建立不等式组得解，本题属于中档题．

六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）

24．【分析】（1）直接考察数据的取整问题，直接求出结果．

（2）利用函数的取整问题的应用，进一步求出函数的值域．

（2）利用函数f（x）是Ω函数和函数的取整，进一步进行讨论，最后求出参数的范围．

【解答】解：（1）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，

所以f（1.2）＝1，f（﹣1.2）＝﹣2．

（2）方法1：因为，

所以，只可能有两种情况：

（1）存在整数t，使得，此时，f（x）＝0；

（2）存在整数t，使得，此时，f（x）＝1．

综上，f（x）的值域为{0，1}．

（3）当函数是Ω函数时，

若a＝0，则f（x）＝x显然不是Ω函数，矛盾．

若a＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

同理可证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

此时不存在m∈（﹣∞，0），使得f（m）＝f（[m]），

同理不存在m∈（0，∞），使得f（m）＝f（[m]），

又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，

所以此时不是Ω函数．

当a＞0时，设f（m）＝f（[m]），所以，所以有a＝m[m]，其中[m]≠0，

当m＞0时，

因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜[m]（[m]+1），

所以[m]2＜a＜[m]（[m]+1）．