双曲线的标准方程PPT优秀课件
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双曲线及其标准方程
授课教师：林颖亨
复习：椭圆的定义及其标准方程
椭圆1椭 圆的定 义.gsp
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
双曲线1
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
0 不 合 题 意 则 b
2
16
2
b
2
2
1
2): 设所求的曲线方程为
y2 x2 2 1 则有 16 b
2
y x 2 1 2 a b
2 2
又A 点在双曲线上，所以得
y x 1 b 9 则所求的双曲线方程为 16 9
x2 y2 例2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
2
2
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程
双曲线的标准方程
y
M
y
M
F2
O
x
F1
O
F2
x
F1 思考：
如何判断双曲线 焦点的位置？
y x x y 2 1 1 2 2 2 a b a b (a0 ,b0 ) (b2 c2 a2)
2 2
2
2
如何判断双曲线的焦点的位置？
（1）从标准方程来看，焦点在二次项系数为 正的那条坐标轴上；
|P F | |P F 4 6 1 2|
P 点的轨迹为双曲线的一支
c 3 , a 2 b 5
又焦点在y轴上，所以： y
x 1y ຫໍສະໝຸດ Baidu 4 5
2
2
例5.一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m， 并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样 的曲线上？并求出轨迹方程。
1 2
y
M
F1
O
F2
x
xc ) y ( xc ) y 2 a 即 (
2 2 2 2
4.化简.
( ) y ( ) ca xa a ca
2 2 2 2 2 2
2 2
令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
x y 即： 2 2 1 （a>0，b>0） a b 2 2 2 (b c a )
2
2
要求双曲线的标准 方程需要几个条件
4 10 ) 3、a 4 经过点 A (1, 3
x y 1 16 9
2
2
2 2 解： x y 1): 若所求的曲线的方程为 a 2 b 2 1 2 2 x y 2 1 则 将 a = 4 代 入 得 16 b 4 10 2 ( ) A 点在双曲线上，所以得 1 3
求m的取值范围.
2 m ) ( m 1 ) 0 1 m 2 分析:由 ( 得
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值范围 方程 2 m m 1
变式二:
m 1 或 m 2
m1 0 m 2 2m 0
x2 y2 1表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围。 2 m m 1
• 解：因为在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在 B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以A， B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上。
解：
y
M
以 A B 所在直线为 x 轴
A B 的中点为原点作如图所示
的直角坐标系
2 c 8 0 0 , 2 a 6 8 0
（2）从图形上看，焦点始终在与双曲线 相交的那条坐标轴上。
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 方程 圆 y2 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 + = 1 2 2 a b y2 x2 + 2 =1 2 a b
作业 : P108 习题 8.3: 1、3、4
思考:
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全��
x2 y2 1 上一点 P 到 例3、已知双曲线 9 16
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为 3或15 .
思考：
若把距离9改为3， 则现在有几解？
2 2 2 2 ，使结果 x ( y 3 ) x ( y 3 ) 4 例4:化简
不含根式.
(, x yF ) ,1 ( 0 , 3 ) , F ( 0 , 3 ) 设： P 2
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲 等于非零常数 线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
没有“绝对值”这个条 件时,仅表示双曲线的一 支
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的 焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a 3.列式． M F M F 2 a
A
O
B
x
2 2 2 b c a 4 4 4 0 0
所求的双曲线的方程为
x2 y2 1 ( x 0) 115600 44400
问题4： （1）：如果在AB两处同时听到爆炸声， 则爆炸点应在怎样的曲线上？
（2）要确定爆炸点的准确位 置，有什么办法？
思考：
小结： 1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程 以及方程中的a、b、c之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、求双曲线标准方程关键
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
a.b.c的 关系 a>b>0，a2=b2+c2
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ,c 5 焦点在 y 轴上 1、a 4 思考：
y x 1 16 9
5 ,0 ) ,( 5 ,0 )且 b 3 2、焦点为 (
授课教师：林颖亨
复习：椭圆的定义及其标准方程
椭圆1椭 圆的定 义.gsp
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
双曲线1
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。
0 不 合 题 意 则 b
2
16
2
b
2
2
1
2): 设所求的曲线方程为
y2 x2 2 1 则有 16 b
2
y x 2 1 2 a b
2 2
又A 点在双曲线上，所以得
y x 1 b 9 则所求的双曲线方程为 16 9
x2 y2 例2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
2
2
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程
双曲线的标准方程
y
M
y
M
F2
O
x
F1
O
F2
x
F1 思考：
如何判断双曲线 焦点的位置？
y x x y 2 1 1 2 2 2 a b a b (a0 ,b0 ) (b2 c2 a2)
2 2
2
2
如何判断双曲线的焦点的位置？
（1）从标准方程来看，焦点在二次项系数为 正的那条坐标轴上；
|P F | |P F 4 6 1 2|
P 点的轨迹为双曲线的一支
c 3 , a 2 b 5
又焦点在y轴上，所以： y
x 1y ຫໍສະໝຸດ Baidu 4 5
2
2
例5.一炮弹在某处爆炸。在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2s.已知A，B两地相距800m， 并且此时声速为340m/s.问爆炸点应在什么样 的曲线上？并求出轨迹方程。
1 2
y
M
F1
O
F2
x
xc ) y ( xc ) y 2 a 即 (
2 2 2 2
4.化简.
( ) y ( ) ca xa a ca
2 2 2 2 2 2
2 2
令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
x y 即： 2 2 1 （a>0，b>0） a b 2 2 2 (b c a )
2
2
要求双曲线的标准 方程需要几个条件
4 10 ) 3、a 4 经过点 A (1, 3
x y 1 16 9
2
2
2 2 解： x y 1): 若所求的曲线的方程为 a 2 b 2 1 2 2 x y 2 1 则 将 a = 4 代 入 得 16 b 4 10 2 ( ) A 点在双曲线上，所以得 1 3
求m的取值范围.
2 m ) ( m 1 ) 0 1 m 2 分析:由 ( 得
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值范围 方程 2 m m 1
变式二:
m 1 或 m 2
m1 0 m 2 2m 0
x2 y2 1表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围。 2 m m 1
• 解：因为在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s，所以在A处与爆炸点的距离比在 B处远680m<800m.因此爆炸点应位于以A， B为焦点且靠近B点的双曲线的一支上。
解：
y
M
以 A B 所在直线为 x 轴
A B 的中点为原点作如图所示
的直角坐标系
2 c 8 0 0 , 2 a 6 8 0
（2）从图形上看，焦点始终在与双曲线 相交的那条坐标轴上。
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 方程 圆 y2 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 + = 1 2 2 a b y2 x2 + 2 =1 2 a b
作业 : P108 习题 8.3: 1、3、4
思考:
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全��
x2 y2 1 上一点 P 到 例3、已知双曲线 9 16
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点 的距离为 3或15 .
思考：
若把距离9改为3， 则现在有几解？
2 2 2 2 ，使结果 x ( y 3 ) x ( y 3 ) 4 例4:化简
不含根式.
(, x yF ) ,1 ( 0 , 3 ) , F ( 0 , 3 ) 设： P 2
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲 等于非零常数 线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
没有“绝对值”这个条 件时,仅表示双曲线的一 支
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的 焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a 3.列式． M F M F 2 a
A
O
B
x
2 2 2 b c a 4 4 4 0 0
所求的双曲线的方程为
x2 y2 1 ( x 0) 115600 44400
问题4： （1）：如果在AB两处同时听到爆炸声， 则爆炸点应在怎样的曲线上？
（2）要确定爆炸点的准确位 置，有什么办法？
思考：
小结： 1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程 以及方程中的a、b、c之间的关系 2、焦点位置的确定方法 3、求双曲线标准方程关键
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
a.b.c的 关系 a>b>0，a2=b2+c2
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ,c 5 焦点在 y 轴上 1、a 4 思考：
y x 1 16 9
5 ,0 ) ,( 5 ,0 )且 b 3 2、焦点为 (