图论讲义5覆盖

d G ( x ) + d G ( y ) ≥ ν (G ) ，则 α (G ) ≤ κ (G ) 。
证明：首先易知 G 是连通的（若 G 不连通，设 x 、 y 属于不同的连通分支 G1 , G2 ，则
d G ( x ) ≤| G1 | −1 ， d G ( y ) ≤| G2 | −1 ，从而 d G ( x ) + d G ( y ) ≤| G1 | + | G2 | −2 < ν ） 。
ν
2
，则 α (G ) ≤ κ (G ) 。
{x1 , x 2 , L , x s } 是 C 中与 H 相邻的顶点集。因 κ (G ) ≥ 2 ，故 s ≥ 2 （否则，C 上只有一个顶
点 v 与 H 相邻，G − {v} 不连通） 。由 C 的最大性及 H 的连通性知 x1 , x 2 , L , x s 在 C 上互不相 邻（否则可得更大的圈） 。 x1 y1 H x2 y2 C … xs … ys
D = {v | v ∈ V (G ) 且 d T ( v0 , v ) ＝偶数}.
则 D = V (G ) \ D = {v | v ∈ V (G ) 且 d T ( v0 , v ) ＝奇数}，且 D 和 D 都是支配集。证毕。 定理 5.1.2 设图 G 无孤立顶点， D1 是一个极小支配集，则 D1 = V (G ) \ D1 也是一个支配集。 证明（反证法） ：若不然，存在 v0 ∈ D1 ，它与 D1 中所有顶点都无边相连。但它有不是孤立顶 点，故必与 D1 中顶点连边，因此 D1 − v0 仍是支配集。这与 D1 是极小支配集矛盾。证毕。 必存在另一个极小支配集 D2 ， 推论 5.1.1 设图 G 中无孤立顶点。 对 G 的任一个极小支配集 D1 ， 使得 D1 I D2 = φ 。 证明：由定理 5.1.2， D1 = V (G ) \ D1 也是一个支配集，且 D1 I D = φ 。 D1 中必含有一个极 小支配集 D2 。显然 D1 I D2 = φ 。证毕。
中， {v1 , v 2 } 是极小支配集集，但却不是极大独立集。实际上它根本不是独立集。但我们有： 定理 5.1.4 若 I 是独立集，则它是极大独立集当且仅当它是支配集。 证明：必要性由定理 5.1.3 显然。 充分性：设 I 是独立集又是支配集，则对 ∀v ∈ V (G ) \ I ，因 I 是支配集，v 必与 I 中某顶点相 邻。故 I U {v} 不是独立集。可见 I 是极大独立集。 注： （1）由定理 5.1.3 和定理 5.1.4，虽然 G 的一个独立集未必是 G 的支配集，但一个极大独 立集必是 G 的极小支配集；反过来，G 的一个支配集要么不是独立集，要么是极大独立集； （2）一个支配集若不是极小支配集，则必不是 G 的独立集。 点独立集与连通度： 定 理 5.1.5 (Bondy, 1978) 设 ν (G ) ≥ 2 。 若 图 G 中 任 二 不 相 邻 顶 点 x 与 y 均 有
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团
§5.1 支配集、点独立集、点覆盖集与团
一、支配集(Domination set) 定义 5.1.1 设 D ⊆ V (G ) ，若对 ∀u ∈ V (G ) ，要么 u ∈ D ，要么 u 与 D 中某顶点相邻，则称 D 为图 G 的一个支配集。如果一个支配集的任何真子集都不是支配集，则称它为极小支配集。 图 G 的含顶点最少的支配集称为最小支配集。最小支配集的顶点个数称为 G 的支配数，记为
{v0 , v1 , v 2 } 和 {v0 , v 2 , v3 } 都是 G 的团。前者是极大团，而后者不是。{v0 , v 2 , v3 , v 4 } 是 G 的最
x y
I (含 α 个顶点)
G-I (含ν
− α 个顶点)
故
| N G ( x) I N G ( y ) | ＝ | N G ( x) | + | N G ( y ) | − | N G ( x) U N G ( y ) |
＝ d G ( x ) + d G ( y ) − | N G ( x ) U N G ( y ) | ≥ ν − (ν − α ) = α ≥ k + 1 。
证明： C 是图 G 的点覆盖集 ⇔ G 的每条边至少有一端在 C 中 ⇔ 没有两端都在 V (G ) \ C 中的 边 ⇔ V (G ) \ C 是点独立集。证毕。 推论 5.1.3 C 是图 G 的极小点覆盖集当且仅当 V (G ) \ C 是 G 的极大点独立集。 推论 5.1.4
α ( G ) + β (G ) = ν .
因此 | V (C ) |> s ， 且 {x1 , x 2 , L , x s } 是 G 的点割集 （因去掉 {x1 , x 2 , L , x s } 后 H 与 C 上其 。 余点不连通） 。所以 κ (G ) ≤ s （由 κ (G ) 的定义） 给圈 C 定一个方向，得有向圈 C 。令 Y = { y i | xi y i ∈ E (C ), i = 1,2, L , s} 。则由 xi 在 C 上的不相邻性知， | Y |= s ≥ 2 。下面证明，Y 是 G 的一个独立集。 事实上，若 Y 不是 G 的独立集，则有边 yi y j ∈ E (G ) 。设通过 H 中顶点连接 xi 和 x j 的 路为 Pij ，则 C − xi yi − x j y j + yi y j + Pij 是 G 中一条比 C 更长的圈。这与 C 是最长圈矛盾。 于是 Y 是独立集。 由于 yi 与 xi 相邻，故 yi 不与 H 中任何点相邻（否则会得到比 C 更长的圈） 。任取
若 G 为完全图 Kν ，则 α ( Kν ) = 1 ≤ ν − 1 = κ ( Kν ) ，结论成立。下设 G 不是完全图。用 反证法证明结论。 假定 α (G ) ≥ κ (G ) + 1 。设 I 和 S 分别是 G 中的最大点独立集和最小点割集。则
| I |= α (G ) ≥ 2 ， | S |= κ (G ) = k 。设 G \ S 的连通分支为 G1 , G2 , L Gl ， (l ≥ 2) 。由于对 ∀x, y ∈ I ， | N G ( x ) U N G ( y ) |≤ ν − α 。
γ 0 (G ) 或 γ 0 。
例 v8 v7 v6 G v5 v1 v0 v2 v3 v4
D0 = {v0 } ， D1 = {v1 , v 4 } ， D2 = {v1 , v3 , v5 } ， D4 = {v 2 , v 4 , v5 } 都是 G 的支配集，前两个
是极小支配集， D0 是最小支配集。 γ (G ) = 1 。 注： （1）最小支配集必是一个极小支配集，反之不然。 （2）任一支配集必含有一个极小支配集。 （3）极小支配集不唯一，最小支配集一般也不唯一。 （4）对二部图 G = ( X , Y ) ，X 和 Y 都是支配集。 （5）若图 G 有完美匹配 M*，则从 M*中每边取一个端点构成的顶点集是一个支配集。 定理 5.1.1 设图 G 中无孤立顶点，则存在支配集 D，使得 D = V (G ) \ D 也是一个支配集。 证明：无妨设 G 是连通图。于是 G 有生成树 T。任取 v0 ∈ V (G ) 。令
{v0 , v1 , v3 , v5 , v7 } 和 {v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 , v6 , v7 , v8 } 都是 G 的点覆盖，且都是极小点覆盖。前一个
点覆盖是最小点覆盖。 β (G ) ＝4。 注： （1）最小点覆盖必为极小点覆盖； （ 2 ）在连通图中，点覆盖集必为支配集。但支配集未必是覆盖集。比如上例中 {v0 } 及
二、点独立集(vertex independent set) 定义 5.1.2 设 I ⊆ V（G） ，若 I 中任二顶点均不相邻，则称 I 为图 G 的一个点独立集（简称 独立集） ；若对 ∀u ∈ V (G ) \ I ， I U {u} 都不再是 G 的独立集，则称独立集 I 为图 G 的一个 极大点独立集。G 的含点数最多的点独立集称为最大点独立集，它含点的个数称为 G 的独立 数，记为 α (G ) 或 α 。 例 v8 v7 v6 G v5 v1 v0 v2 v3 v4
r
r
y ∈ V ( H ) ，则 S = { y , y1 , L , y s } 是 G 的独立集，且 α (G ) ≥| S |= s + 1 ≥ κ (G ) + 1 。这与定
理的条件矛盾。因此 C 必是 Hamilton 圈。证毕。 三、点覆盖 (vertex covering set) 定义 5.1.3 设 C ⊂ V (G ) ，若 G 的每条边至少有一个端点属于 C，则称 C 是 G 的一个点覆盖。 若对任给的 v ∈ C ， C − {v} 不再是 G 的点覆盖，则称点覆盖 C 是一个极小点覆盖。图 G 的 含点数最少的点覆盖称为最小点覆盖，其点数称为 G 的点覆盖数，记为 β (G ) 或 β 。 例： v8 v7 v6 G v5 v1 v0 v2 v3 v4
I 0 = {v0 } ， I 1 = {v1 , v 4 , v7 } ， I 2 = {v1 , v3 , v5 , v7 } 都是 G 的独立集，且都是极大独立集，其
中 I 2 是最大独立集， α (G ) = 4 。 独立集与支配集的关系： 定理 5.1.3 图 G 的极大独立集必是 G 的极小支配集。 证明：设 I 是 G 的一个极大独立集。对 ∀u ∈ V (G ) \ I Leabharlann Baiduu 必与 I 中某顶点相邻（否则与极大 性矛盾。可见 I 是一个支配集。又对 ∀v ∈ I ，v 必与 I \ {v} 中的顶点不相邻，可见 I 是极小支 配集。证毕。 注：该定理的逆不真。例如在图 v1 v4 v2 v3
四、团（clique） 定义 5.1.4 设 K ⊂ V (G ) ，若导出子图 G[ K ] 是完全图，则称 K 是 G 的一个团。若给团 K 添 加 V (G ) \ K 中任何顶点，导出子图都不再是团，则称 K 是一个极大团。图 G 的含顶点数最 多的团称为 G 的最大团，其顶点数称为 G 的团数，记为 Cl (G ) 。 例 v8 v7 v6 v5 v1 v0 v2 v3 v4
{v1 , v 4 , v7 } 都是 G 的支配集，但不是覆盖集。
（3）极小点覆盖集未必是极小支配集。 例如上例中 {v0 , v1 , v3 , v5 , v7 } 是 G 的极小点覆盖集，但它不是 G 的极小支配集。 点覆盖与点独立集的关系： 定理 5.1.7 顶点子集 C 是图 G 的点覆盖集当且仅当 V (G ) \ C 是 G 的点独立集。
这表明 I \ S 含在 G \ S 的同一个连通分支中 （因在 G \ S 中 x 到 y 有公共的邻点， 故有路相通） 。 无妨设 I ⊆ V (G1 ) U S 。因 α ≥ k + 1 ，故 ∃x ∈ I I V (G1 ) 。
x u G1
I
y
S
G2
取 y ∈ V (G2 ) ，则因 N G ( x ) I N G ( y ) ⊆ S \ I ，故 | N G ( x ) I N G ( y ) | ≤ k − | I I S | 。这与上 式矛盾。因此 α (G ) ≤ κ (G ) 。证毕。 推论 5.1.2 设 G 是ν (ν ≥ 2) 阶简单图。若 δ (G ) ≥ 独立数与 Hamilton 性： 定理 5.1.6（Chvátal & Erdös, 1972）设 G 是ν (ν ≥ 3) 阶简单图。若 κ (G ) ≥ α (G ) ，则 G 是 Hamilton 图。 证明：若 α (G ) = 1 ，则 G 是完全图，从而是 Hamilton 图。下设 α (G ) ≥ 2 。 由于 κ (G ) ≥ α (G ) ≥ 2 ， 故 G 含有圈。 设 C 是 G 的最长圈。 下面用反证法证明 C 是 Hamilton 圈。 若 C 不含 G 的所有顶点，则 V (G ) \ C 非空。令 H 是 G − V (C ) 的任一连通分支，并令