抽样调查的样本容量的确定方法

抽样调查的样本容量的确定方法
摘要：确定样本容量是抽样调查中重要的环节，影响到抽样估计的精确度和调查的成本和效益。

单位标志变异程度、抽样极限误差、抽样推断的可靠度、抽样类型和方法等影响到样本容量地确定。

样本容量的确定可以根据由抽样误差、抽样极限误差和概率度推算出来的公式计算，也可以根据建立在过去抽取满足统计方法要求的样本量所累积下来的经验法则来确定。

关键词：样本容量；抽样调查；抽样误差；极限误差
抽样调查是根据随机原则，从总体中抽取部分实际数据构成样本，同时运用概率估计方法，依据样本信息推断总体数量特征的一种非全面统计调查。

根据抽选样本的方法，抽样调查可以分为等概率抽样和非概率抽样两类。

等概率抽样又称为随机抽样，是按照概率论和数理统计的原理，从调查研究的总体中，根据随机原则来抽选样本，并从数量上对总体的某些特征做出估计推断，对推断出可能出现的误差可以从概率意义上加以控制。

样本是从总体中抽出的部分单位的集合，样本中所包含的单位数被称为样本容量，一般用 n 表示。

确定样本容量是制定抽样调查方案中的一个非常重要的环节。

1．确定样本容量的必要性
1.1 样本容量大小影响抽样估计的精确度
抽样估计的精确度是指样本的统计量与其所代表的总体值的接近程度。

调查结果相对于总体真实值的精确度与样本容量直接相关。

样本容量越大，抽样误差相对就会减少，估计精度就会提高；若样本容量太小，抽样误差就会增大，从而影响抽样估计的精确度。

1.2 样本容量大小影响抽样调查的成本和效益样本量的设计通常受到研究经费及调查时间的限制。

根据数理统计规律，样本量增加呈直线递增的情况下（样本量增加一倍，成本也增加一倍），而抽样误差只是样本量相对增长速度的平方根递减。

若样本容量过大，调查单位增多，不仅增加人力、财力和物力的耗费，增加调查费用，而且还影响到抽样调查的时效性，从而不能充分发挥抽样调查的优越性。

因此，为节省调查费用，体现出抽样调查的优越性，在确定样本容量时，应在满足抽样调查对估计数据的精确度的前提下，尽量减少调查单位数，确保必要的抽样数目。

2．影响必要样本容量的主要因素影响样本容量的因素是多方面的，在抽样调查总体、调查费用和调查时间既定的情况下，为确定最佳的样本容量，应首先分析影响样本容量的因素。

从理论上说，影响样本容量的因素有以下几个方面：
2.1 单位标志变异程度
单位标志变异程度一般用方差2或成数方差 P（1－P）的大小来表示。

在其他条件不变的情况下，为了达到同样的研究目的，总体单位标志的变异程度大，样本容量应越大；反之，总体单位标志的变异程度越小，则样本容量就应越少。

二者成正比
关系。

2.2 抽样极限误差
抽样极限误差又叫允许误差，是指在一定的把握程度下保证样本指标与总体指标之间的抽样误差不超过某一给定的最大可能范围。

在抽样推断中，需要把这个误差控制在一定的范围之内。

抽样平均数极限误差一般用x 表示，抽样成数
极限误差用P 表示。

在其他条件不变的前提下，所允许的抽样极限误差越小，即抽样估计的精确度要求越高，样本容量应越大；所允许的抽样极限误差越大，所需的样本容量就越小。

二者成反比关系。

2.3 抽样推断的可靠度抽样推断的可靠度是指总体所有可能样本的指标落在一定区间的概率度，即允许误差范围的概率保证程度。

概率度用 Z 2 表示，即置信水平1 的统计量，一般简写为 t 。

在其他条件不变的情况下，抽样估计所要求的可靠程度越高，即概率保证程度越高，要求样本含有的总体信息就越多，只有增加样本容量才能满足高精确度的要求；反之，概率保证程度越低，所需的样本容量就越小。

二者成正比关系。

2.4 抽样类型和方法
概率抽样的主要类型有简单随机抽样、系统随机抽样、分层随机抽样、整群随机抽样、多阶段随机抽样等。

在简单随机抽样中，根据同一单位是否允许重复抽取方式的不同，抽样方法可分为重复抽样和不重复抽样。

由于在同样的条件下，不同的抽样方式会产生不同的抽样误差，因此，样本容量也应有所不同。

一般来说，分层随机抽样和系统随机抽样的样本容量可定得小些，若用简单随机抽样和整群随机抽样方式，抽样的样本容量就要定得大些。

至于抽样方法，由于不重复抽样的误差小于重复抽样的误差，因此，不重复抽样的样本容量可比重复抽样的样本容量小些。

3．不同抽样方式下的样本容量确定
从上述分析中可以看出，影响样本容量的因素是多方面的，但必要样本容量是根据抽样误差、抽样极限误差和概率度推算出来的，在不同抽样方式下，计算公式有所差异。

3.1 简单随机抽样的样本容量简单随机抽样是指按照随机原则从总体单位中直接抽取若干单位组成样本。

简单随机抽样中分为重复简单抽样和简单不重复抽样，因此，简单随机抽样的样本容量计算公式包括两种。

3.1.1 重复抽样时的样本容量
在重复抽样条件下，样本容量的计算公式为：
n t2 2 2或n t2P(1 P) 2。

在以上公式中， n代表样本容量， t 代表概率度 Z 2，代表极限误差， 2 代表总体方差， P(1－ P)表示成数方差。

3.1.2不重复抽样时的样本容量在不重复抽样条件下，样本容量的计算公式为：
n Nt2 2 N 2 t2 2或n Nt2P(1 P) N 2 t2P(1 P)
上式中， N 代表样本总数。

3.2 分层随机抽样的样本容量分层随机抽样，也称类型随机抽样，是指首先将调查对象的总体单位按照一定的标准分成各种不同的类别 (或组)，然后根据各类别 (或组 )的单位数与总体单位数的比例确定从各类别 (或组)中抽取样本的数量，最后按照随机原则从各类 (或组)中抽取样本。

对于分层抽样，在总的样本量一定时，一个重要的问题是各层应该分配多少样本量。

实际工作中有不同的分配方法，可以按对各层进行常数分配，也可以按各层单位数占总体单位数的比例分配，还可以采用在总费用一定条件下使估计量方差达到最小的最优分配等，其中等比例分配是较为常用的方法。

分层抽样是对每一组抽样，不存在样本组间误差，抽样平均误差取决于各组内方差的平均水平，即以各组样本单位数为权数，计算各组内方差的平均数。

因此可用组内方差平均数计算出抽样平均误差。

3.2.1 重复抽样时的样本容量在重复抽样条件下，样本容量的计算公式为：
n t 2 2 2
或n t
2
P(1 P)
2
在以上公式中，2是组内平均方差， P(1 P) 代表成数的平均组内方差。

2n i i2n，其中 n i代表各组样本单位数，i2代表各组的组内方差， n代表
样本总数。

3.2.2 不重复抽样时的样本容量在不重复抽样条件下，样本容量的计算公式为：
n Nt2 2 N 2 t2 2或n Nt2P(1 P) N 2 t2P(1 P)
3.2.3 各层样本量的确定
当样本容量 n 确定之后，各层应抽取的样本单位数可采用等比例法进行分配，计算公式为： n i nNi N
上式中， n i 为第 i 层应抽取的样本数， n 为样本容量， N i 为第 i 层样本数， N 为总体单位数。

3.3 整群随机抽样的样本容量
整群随机抽样又称聚类抽样，是把总体先分为若干个子群，然后抽取若干群作为样本单位的一种抽样方式。

整群抽样是对选中的群进行全面调查，所以只存在群间抽样误差，不存在群内抽样误差，因此抽样平均误差可根据群间方差推算出来。

由于整群抽样一般是不重复抽样，故应按不重复抽样计算必要的抽样群数。

由整群抽样的极限误差和抽样标准误差公式导出样本容量计算公式为：
n Nt2r2 N 2 t2r2或n Nt2P r(1 P r) N 2 t2P r (1 P r)
(x x)
2上式中 P r代表成数的群间方差，r2代表群间方差，r2，其中
r
x i是第i群样本平均数，x是全样本平均数， r是抽取的群数。

3.4 等距抽样样本容量的确定
等距抽样也称为系统抽样、机械抽样，是将总体中各单位按一定顺序排列 , 根据样本容量要求确定抽选间隔，然后随机确定起点，每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式。

根据总体单位排列方法，等距抽样的单位排列可分为三类：按有关标志排队、按无关标志排队以及介于按有关标志排队和按无关标志排队之间的按自然状态排列。

3.4.1 无关标志排队的等距抽样若对总体采用按无关标志排队的等距抽样时，可采用简单随机抽样的公式确定等距抽样的样本容量。

由于等距抽样一般都是不重复抽样，应采用在不重复抽样条件下的样本容量的计算公式。

3.4.1 有关标志排队的等距抽样若对总体采用按有关标志排队的等距抽样，则样本容量的确定，可采用分层抽样的样本容量公式确定样本容量。

但应注意有序系统抽样的样本容量计算所需的平均组内方差应根据以往的资料作出估计。

4．确定样本容量的相关问题
4.1 有关总体方差的问题
样本容量的确定是在调查之前进行的，这样总体方差 (或样本方差 )一般是未知的。

在实际工作中往往利用有关资料代替。

如果在本次调查之前，曾搞过同类问题的全面调查，可用全面调查的有关资料代替；在进行正式调查之前，组织两次或两次以上试验性抽样，用试验样本的方差来代替；成数方差在完全缺乏资料的情况下，可用成数方差的极大值 0.25(P=0.5)来代替。

4.2 一次调查满足多项需要应用公式计算的样本容量是最低的，也是最必要的样本容量。

有时在进行抽样调查时，一次调查要同时满足平均数和成数两个方面需要，这样根据样本容量计算公式得出的必要样本容量可能不相等。

为了同时满足两个推断的要求，一般应选用其中较大的样本单位数作为样本容量。

4.3 确定样本容量的经验法则
在抽样调查中，除上述利用公式来计算样本容量，还有一种常用的方法，即采用经验法则。

经验法则是建立在过去抽取满足统计方法要求的样本量所累积下来的经验。

使用这个方法时很少需要统计方法知识，但是得出的样本大小很接近统计方法计算出的结果。

在采用经验法则时，有关样本量大小的一项原则是：总体越小，要得到精确样本，即有较高概率得出与总体相同结果的样本，抽样比率就要越大。

较大的总体能够使较小的抽样比得出同样好的样本。

这是因为随着总体人数的增长，样本大小的精确性会随之增加。

对于规模较小的总体（1000人以下），研究者需要比较大的抽样比率（大约30%）为要有较高的精确性，这时需要大约 300个样本；对于中等规模的总体（如10000 人），要达到同样的精确度，抽样比率为 10%或大约 1000 个样本量就可以了。

就大规模的总体（超过 150000）而言，抽样比率为 1%或大约 1500 个样本量就能得出正确的结果。

如果是非常大的总体（超过 1000 万）。

研究者可以使用 0.025%抽样
比或者大约 2500 个样本，就能够得出精确的结果。

当抽样比率非常小时，总体大小的影响力就不那么重要了。

从 2 亿总体中抽取一个 2500 左右的样本，与从 1000 万总体中抽出同样规模的样本，它们的精确程度是完全相同的。

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