柔性关节机械臂的非线性控制策略研究_王海

Lyapunov 稳定性理论［8］， 验证了控制器的稳定性。以 两连杆柔性关节机械臂为例， 利用设计的控制器基于 MATLAB 软件对其进行轨迹跟踪仿真研究。
第1期
王海等： 柔性关节机械臂的非线性控制策略研究
23
则 Lyapunov 函数（ 4） 的 1 阶导数式可写为
1 考虑外部干扰的柔性关节机械臂动 力学模型
［7 ］ 针对上述问题提出了一种反演滑模控制策略 ， 设计了柔性关节机械臂的轨迹跟踪控制器， 并且基于
［3 ］
。目前， 许多研究学者对柔性关节系统的研究多
0624 收稿日期： 201251275001 ） 和安徽省 基金项目： 国家自然科学基金项目 （ 51175001， 自然科学研究计划项目（ KJ2012A033） 资助 作者简介： 王海（ 1976－ ） ， 副教授， 博士， 研究方向为微纳米技术和机 wanghai@ ahpu．edu．cn 器人测控，
柔性关节机械臂的非线性控制策略研究
1， 2 1， 2 1， 2 1， 2 周璇 ， 夏小品 ， 李晗 王海 ，
（ 1 安徽工程大学 机械与汽车工程学院， 芜湖
2
241000； 241000）
安徽省重点实验室 先进数控及伺服技术实验室， 芜湖
提出一种基于反演设计思想的递 摘要： 针对外部干扰情况下的柔性关节机械臂非线性动力学模型， 阶控制策略。把电机的输出角度向量作为关节子系统的 控制 变量， 设计 虚拟电 机 角度向 量 实 现 关 节轨迹跟踪， 同时在反演正定函数中综合积分项消除轨迹跟踪误差。 计 算 实际 的 关 节电 机 输 出力 矩， 使电机输出角度跟踪虚拟控制量， 通过设计自适应滑模变结构控制器消除系统不确定因素的影 响。基于李雅普络夫稳定性理论证明系统的稳定性和轨迹跟踪误差的收敛性。 关键词： 柔性关节机械臂; 反演控制; 李雅普络夫法; 轨迹跟踪控制 中图分类号： TP273 文献标识码： A 8728（ 2014） 01002205 文章编号： 1003-
n · · · ， q q ∈ Ｒ 分别为连杆位置、 速度和加 速比向量； q， n ×n 速度向量； M（ q） ∈ Ｒ 是对称、 有界正定惯性矩 · q） ∈ Ｒ n 表 示 向 心 力 和 哥 氏 力 矢 量； J ∈ 阵； C（ q ，
a 1 并不是实际的控制 在实际系统中， 输入量， 假设输入力矩 x 4 为实际控制量。 首先， 将 Step 2 z 1 微分方程表示为
· 1
z =· x1 － · a1 = x4 － a 1 x 1d x 1d －
a 1 x 1
－
a 1· · x 1 － x1 · （ 5）
Ｒ n ×n 为电机的惯性之常数正定矩阵； B ∈ Ｒ n ×n 为电
n ×n 机的阻尼之常数正定矩阵； K ∈ Ｒ 为关节刚度之
a 1 · a 1 （ 3） · x x 1d 1d － · · · x 1d x 1d
2
Anhui Key Laboratory of Advanced Numerical Control and Servo Technology，Wuhu 241000）
Abstract ： A backstepping sliding mode control strategy was proposed for the control of nonlinear dynamic system of a robot manipulator with flexible joints with external disturbance． The controller took the output angle vector of motor as control variables of joint' s subsystem to realize the tracking trajectory control with angle vector of virtual machine ，while the trajectory error was eliminated by comprehensive integral item in inversion stabilization function． The actual output torque was calculated thus the output angle of motor can track the virtual control volume ，and the influence of system uncertainty was eliminated by design an adaptive sliding mode variable structure controller． The stability of the system and the convergence of trajectory tracking error were certified based on Lyapunov stability theory． Key words： backstepping； computer simulation； design； errors； Lyapunov functions； Lyapunov methods； manipulators； sliding mode control； stability； tracking （ position） ； trajectories； variable structure control； velocity； flexiblejoint manipulator； backstepping control； trajectory tracking control 海 随着目前机械臂已遍及工业、 国防、 医疗康复、 ［1 ］ 洋开发、 宇宙空间等多个领域 ， 重 所以研究轻质、 载、 高灵活性、 智能化的机械臂已成为时代的需求。 要满足上述要求， 就必须对机械臂的结构柔性进行研 究
· e1 e1 → 0， 稳定的， 且为最小相位系统， 当 t → ∞ 时， 0 。 →
·
{
J θ + B θ + K （ θ － q ） = τm
· · · n n
· ·
·
（ 1）
式中： θ = θ m / n， θ， θ， θ ∈ Ｒ 分别表示电机经过减速 器后的位置、 速度和加速度向量； n ∈ Ｒ 为减速器减
T T V2 = － r T 1 K D r 1 － z 1 K Λ 2 z 1 + z 1 Kz 2 · ·
（ 8） （ 9） （ 10）
Step 3 求取 z 2 的微分方程， 求得实际控制输入
· 2
－· z =x － · a2 a 2 = J － 1［－ Bx 4 － K （ x 3 － x 1 ） + τ m］
［2 ］
关节处存 为线性研究 。但是在实际机械臂系统中， 在柔性变形、 非线性摩擦、 驱动器饱和、 间隙及传动误 差等非线性因素， 带来滞后、 非线性、 谐振等问题， 在 对机械臂进行动力学建模和控制时， 若忽略这些因素 的影响， 机械臂执行高精度任务的能力和运动的稳定 ［46 ］ 。 性将会受到很大的限制
· · · · · ·
g 常数对角可逆矩阵； τ m ∈ Ｒ 为电机输出力矩向量， 为基础坐标系中的重力加速度向量 。
n
则控制律 a 2 可定义为 α 2（ ξ 1 ， ξ 1， ξ 1δ ， ξ 1δ ， ξ 1δ ， ξ 1δ ， ξ2 ） = · － ρ1 － Λ2 ζ1 + a1
·
（ 6）
2 柔性关节机械臂反演滑模控制系统 设计及稳定性分析
实际的控制系统目标位移减少期望轨迹和实际 ［9 ］ 基于逆向设计思想 ， 轨迹之间的偏差， 控制系统 的设计过程可以分为两步进行： 将电机输出角度向 量 x 3 看作为关节子系统的控制变量， 设计虚拟电机 然后计算实际电机输出 角度 x 实现关节轨迹跟踪， 力矩， 使电机输出角度跟随控制量 x ， 最终实现柔 性关节机械臂的轨迹跟踪。 x 2d 光滑且有 假定期望轨迹向量 x 1d ， 界， 定义关节位置跟踪偏差 e1 = x 1 － x 1d ，且定义 x r = Step 1 x 1d － Λ 1 e1 ，r 1 = · x1 － · xr = · e1 + Λ1 e1 ， 其中， Λ 1 为一整数 向量， 可设计虚拟控制量 ·* ·* · x1 ， x1 ， x a 1（ x 1 · 1 ） = （ 2） K D 为 正 的 常 数 向 量， 定义积分项 χ1 = 式中： λ 1 ， 增加积分项可以保证系统在干扰和模型 ∫ r （ t） dt，
不确定的影响下， 轨迹跟 踪 稳 态 误 差 逐 渐 收 敛 于 0。定义变量 z 1 = x 3 － a 1 ， 则上式可以写为 · x 2 ） r 1 + K D r 1 + λ 1 χ 1 = Kz 1 （ 3） M（ x 1 ） r 1 + C（ x 1 ， 定义 Lyapunov 函数 T V1 = λ 1 χ 2 1 / 2 + r 1 M（ x 1 ） r 1 / 2 （ 4）
Ｒesearch of Nonlinear Control Strategy for Manipulator with Flexible Joints
2 2 2 2 Wang Hai 1， ，Zhou Xuan 1， ，Xia Xiaopin1， ，Li Han 1，
（ 1 School of Mechanical and Automotive Engineering，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000
DOI:10.13433/j.cnki.1003-8728.2014.01.027
2014 年 第 33 卷
1月 第1期
机械科学与技术 Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering
January Vol．33
2014 No．1
T T V3 = － r T 1 K D r 1 － z 1 K Λ 2 z 1 + z 1 Kz 2 + ·
（ 12）
K ［ M（ x 1 ） x + C（ x 1 ， x 2 ） x r + g（ x 1 ） + Kx 1 － K D r 1 － λ 1 χ 1 ］
· r
－1
s［ k 2（ － r 1 － Λ 2 z 1 + z 2 ） + J － 1［－ Bx 4 － K （ x 3 － x 1 ） + τ m］ + Ξ m（ x 1 ， x3 ， x4 ， a 2 ］ （ 13） τm） － · 则控制系统最终控制 根据 Lyapunov 函数（ 13） ， 律可Байду номын сангаас计为 τ m = Bx 4 + K （ x 3 － x 1 ） + K z 1 － z 2 － ρ － h ·s J · a 2 － k 2· k2
考虑外部干扰非线性动力学方程为 ： · · · + C（ q， M（ q ） · q q） q + g（ q） = K（ θ － q）
T V1 = － r T 1 K D r 1 + r 1 Kz 1
·
r1 → 0。由 r1 = 若 z1 = 0， 当 t → ∞ 时， 则 V1 ≤ 0， 1 · ， e1 + Λ1 e1 可得其传递函数 f 1 = 因此系统是 + （ s Λ1 ）
· 4
由于系统存在不确定性因素的影响， 通过设计 ［10 ］ 以解决不确定因素 滑漠变结构控制来控制系统 ， 对整个控制系统的影响。假定系统存在不确定性上 界的估计值 ρ， 则定义滑模面 （ 11） s = k2 z1 + z2 式中 k 2 为一正数向量。 定义 Lyapunov 函数 V3 = V2 + s2 / 2 则 Lyapunov 函数（ 12） 的 1 阶导式可写为
0 1 1 * 3 * 3
可得 定义 z 2 = x 4 －a 2 ， 式中： Λ 2 为正数增益矩阵， · z1 = － r1 － Λ2 z1 + z2 （ 7） 定义 Lyapunov 函数 V2 = V1 + z T 1 Kz 1 / 2 则 Lyapunov 函数（ 8） 的一阶导数式可写为