工程力学 第7章简单的弹性静力学问题习题解
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FN = FP = 4 cos α 4⋅ 1200 ×10 960
3
习题 7-16 图
= 3.275 ×10 5 N
FP
960 2 + 420 2
C
φ 30
B 50 kN φ 20 A 30 kN
FN1 4 FN1 4 × 30 × 10 3 = = = 95.5 MPa A1 π d 12 π × 20 2 × 10 −6
3
FN2 4 × (50 + 30) × 10 = = 113 MPa A2 π × 30 2 × 10 −6 F l F l （2） ∆l = ∆l AB + ∆l BC = N1 1 + N2 2 = 1.06 mm EA1 EA2
3
∑ F y = 0 ， F3 =
5 FP 3
F1
θ
B
FP
— 35 —
(a)
习题 7-15 图
∑ Fx = 0 ， F1 = −
4 4 F3 = − FP 5 3
F4
图（b） ：
4 4 F3 = FP 5 3 5 ∑ F y = 0 ， F2 = − F3 = − FP 3 | F1 |>| F2 | ∑ Fx = 0 ， F4 =
Nx
（1） σ A
F 40 × 10 3 = NA = = 200 MPa A 2.0 × 10 − 4
B
D
(a)
— 34 —
习题 7-12 图
σB = σE
FNB = 100 MPa A F = NE = 150 MPa A
（2） σ max = σ A = 200 MPa（A 截面） 7－13 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为 F = 4kN，旋紧螺栓螺纹 的内径 d1 = 13.8mm，固定螺栓内径 d2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力 [σ ] = 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。
160
A
FA
80
B
FB
4kN
解： ∑ M B = 0 ，FA = 2kN ∑ F y = 0 ，FB = 6kN
σA =
(a) 习题 7-13 图
ຫໍສະໝຸດ BaiduσB
F A 2000 2000 × 4 = = = 13.8 MPa < [σ ] ，安全。 AA π 2 π × 13 .8 2 ×10 −6 d1 4 FB 6000 × 4 = = = 25.5 MPa < [σ ] ，安全。 AB π × 17.3 2 × 10 −6 4
C
F2
F3
| F1 | ≤ [σ w ] A1
4 FP ≤ A1 [σ w ] 3 3 3 FP ≤ A1 [σ w ] = × 4000 ×10 − 6 × 20 × 10 6 = 60 kN 4 4 F3 5 F3 > F4 ， ≤ [σ s ] ， FP ≤ [σ ] A3 A3 3 3 3 FP ≤ [σ ] A3 = × 120 × 10 6 × 800 × 10 −6 = 57.6 kN 5 5
∑ Fy = 0 ，
FP = 2 3 FA + FB − FP = 0 2 2
（2） （3）
习题 7-14 图
1+ 3 FB 2 π FB ≤ [σ ] ⋅ d 2 4
FP ≤
1+ 3 π 2 ⋅ d [σ ] ` （4） 2 4 1+ 3 π = ⋅ × 202 × 10− 4 × 157 × 106 = 67.4k N 2 4
σ BC =
50 kN A
55 kN
C 55 kN B 900 1220
=
50 × 10 3 × 0.9 × 4 − 60 × 10 3 × 1.22 × 4 + 200 × 10 9 × π × 38 2 × 10 −6 200 × 10 9 × π × 65 2 × 10 −6 = 0.0881 × 10 −3 m = 0.0881 mm
σ CE =
σ DE
FCE 15 × 10 = = 15 MPa A 0.02 × 0.05 F = DE = 50 MPa A
3
5 kN
θ
C
θ
5 kN
D
FDE
FCE
(a) 习题 7-11 图
7 － 12 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p = 已知杆的横截面面积 A = 2.0×10-4m2， l= 10kN/m， 在自由端 D 处作用有集中呼 FP = 20 kN。 2m。试求： 40 1．A、B、E 截面上的正应力； F (kN) A 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明 其作用位置。 E 30 解：由已知，用截面法求得 FNA = 40 kN C 20 FNB = 20 kN FNE = 30 kN
工程力学（1）习题全解
第7章 简单的弹性静力学问题
7－1 有一横截面面积为 A 的圆截面杆件受轴向拉力作用，若将其改为截面积仍为 A 的空心圆截面杆件，其他条件不变，试判断以下结论的正确性： （A）轴力增大，正应力增大，轴向变形增大； （B）轴力减小，正应力减小，轴向变形减小； （C）轴力增大，正应力增大，轴向变形减小； （D）轴力、正应力、轴向变形均不发生变化。 正确答案是 D 。 7－2 韧性材料应变硬化之后，材料的力学性能发生下列变化： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，韧性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，韧性不变。 正确答案是 B 。 7－3 关于材料的力学一般性能，有如下结论，试判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是 A 。 7－4 低碳钢材料在拉伸实验过程中， 不发生明显的塑性变形时， 承受的最大应力应当 小于的数值，有以下四种答案，试判断哪一个是正确的： （A）比例极限； （B）屈服强度； （C）强度极限； （D）许用应力。 正确答案是 B 。 7－5 根据图示三种材料拉伸时的应力—应变曲线，得出的如下四种结论，试判断哪一 种是正确的： （A） 强度极限 σ b (1) = σ b (2) > σ b (3) ，弹性模量 E(1)>E(2)>E(3)， 延伸率δ（1）>δ（2）>δ（3）比例极限； （B） 强度极限 σ b (3) < σ b (1) < σ b (2) ，弹性模量 E(2)>E(1)>E(3)， 延伸率δ（1）>δ（2）>δ（3）比例极限； （C） 强度极限 σ b (2) > σ b (1) > σ b (3) ，弹性模量 E(3)>E(1)>E(2)， 延伸率δ（3）>δ（2）>δ（1）比例极限； （D） 强度极限 σ b (1) > σ b (2) > σ b (3) ，弹性模量 E(2)>E(1)>E(3)， 延伸率δ（2）>δ（1）>δ（3）比例极限； 正确答案是 B 。
(b)
[FP] = 57.6 kN 7－16 现场施工中起重机吊环的每一侧臂 AB 和 BC， 均由两根矩形截面杆组成，连接处 A、B、C 均为铰链， 如图所示。已知起重载荷 FP = 1200kN， 每根矩形杆截 面尺寸比例为 b/h = 0.3，材料的许用 应力 [σ ] = 78.5MPa。 试设计矩形杆的截面尺寸 b 和 h。 解：由对称性得受力图（a） ∑ F y = 0 ， 4 FN cos α = FP
— 32 —
7－6 关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有如下结论，试判断哪一个是正确的： （A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效； （C）应力不增加塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （D）应力不增加塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。 正确答案是 C 。 7－7 关于条件屈服应力有如下论述，试判断哪一个是正确的： （A）弹性应变为 0.2%时的应力值； （B）总应变为 0.2%时的应力值； （C）塑性应变为 0.2%时的应力值； （D）弹性应变为 0.2 时的应力值。 正确答案是 C 。 7－8 低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，试判断哪一种是正确的： （A）OAB→BC→COAB； （B）OAB→BD→DOAB； （C）OAB→BAO→ODB； （D）OAB→BD→DB。 正确答案是 D 。 7-9 两根直径不同的实心截面杆，在 B 处焊接在一起，弹性模量均 为 E = 200 GPa ，受力和尺寸等均标在图中。试求： （1）各段杆横截面上的工作应力； （2）杆的轴向变形总量； （3）杆内最大切实力，并说明其作用面位置。 解（a） （1） σ AB =
20 kN α A
B
D
20 kN A B
30°
C
∑MC = 0 FN × 300 cos 30° − 20 × 450 sin 30° = 0
FN = 10 3 = 17.32 kN （拉）
FCy FN 30° C FCx
F 17.32 × 10 3 σ= N = = 36.1 MPa A 12 × 40 × 10 −6 （2） α = 90° 时，由图（b） ∑MC = 0 FN × 300 cos 30° + 20 × 450 cos 30° = 0 FN = −30 kN （压） F − 30 × 10 3 σ= N = = −62.5 MPa A 12 × 40 × 10 −6
7－14 图示结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为 d = 20mm，材料都是 Q235 （有人说：根据垂直方面的平衡条 钢，其许用应力 [σ ] = 157 MPa。试求该结构的许可载荷。 2 件，有 FNBC cos 30° + FNAC cos 45° = FP ，然后将 FNBC = (π d / 4)[σ ] ， FNAC = (π d 2 / 4)[σ ] 代入后即可得 许可载荷，这种解法对吗？为什么？） （1） 解： ∑ Fx = 0 ， FB = 2 F A
20 kN
A
B
FCy
FN
30°
C
FCx
7－11 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为 20mm×50mm 的矩形。试求 杆 CE 和杆 DE 横截面上的正应力。 解：图（a）中， cos θ =
4 5
（1）
15 kN 3m 15 kN
4m
截面法受力图（a） ∑ M D = 0 ， FCE × 4 − (15 + 5) × 3 = 0 （2） FCE = 15 kN ∑ Fx = 0 ， FDE cos θ = 40 （3） 式（1）代入（3） ，得 FDE = 50 kN
σ BC =
（3） τ max = 面上)
σ
2
sin 90° =
σ
2
=
σ BC
2
= 56.5 MPa (位于 BC 段与横截面成 45°角的斜截
（b） （1） σ AB
FNAB 4 × 50 × 10 3 = = = 44.1 MPa A1 π × 38 2 × 10 −6
3
FNBC 4 × (−60) × 10 = = −18.1 MPa A2 π × 65 2 × 10 −6 F l F l （2） ∆l = ∆l AB + ∆l BC = NAB AB + NBC BC EA1 EA2
— 33 —
τ max = （3）
σ AB
2
sin( 2 × 45°) = 22.0 MPa （位于 AB 段与横截面成 45°角的斜截面上） 。
7-10 图示结构中，已知 BD 杆的横截面为 12 mm× 40 mm 的矩形，BD 杆两端为铰接。试确定下列两种情形 下 BD 杆横截面上的正应力； （1） α = 0° ； （2） α = 90° ； 解（1） α = 0 时，由图（a）
2 (1 + 3 ) FA = 2 2 (1 + 3 ) π ⋅ [σ ] d 2 = 90.28 kN（5） 2 4
FA
45D 30D
FB
C
FP
(a)
由（1） 、 （2）得：
FP =
比较（4） 、 （5）式，得 [FP] = 67.4 kN 讨论：习题中所给“有人说”的解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好 都同时达到许用应力。 7－15 图示的杆系结构中杆 1、2 为木制，杆 3、4 为钢制。已知各杆的横截面面积和 许用应力如下：杆 1、2 为 A1 = A2 = 4000mm2，[σ w ] = 20MPa，杆 3、4 为 A3 = A4 = 800mm2， [σ s ] = 120MPa。试求许可载荷[FP]。 F 解：图（a） ：
3
习题 7-16 图
= 3.275 ×10 5 N
FP
960 2 + 420 2
C
φ 30
B 50 kN φ 20 A 30 kN
FN1 4 FN1 4 × 30 × 10 3 = = = 95.5 MPa A1 π d 12 π × 20 2 × 10 −6
3
FN2 4 × (50 + 30) × 10 = = 113 MPa A2 π × 30 2 × 10 −6 F l F l （2） ∆l = ∆l AB + ∆l BC = N1 1 + N2 2 = 1.06 mm EA1 EA2
3
∑ F y = 0 ， F3 =
5 FP 3
F1
θ
B
FP
— 35 —
(a)
习题 7-15 图
∑ Fx = 0 ， F1 = −
4 4 F3 = − FP 5 3
F4
图（b） ：
4 4 F3 = FP 5 3 5 ∑ F y = 0 ， F2 = − F3 = − FP 3 | F1 |>| F2 | ∑ Fx = 0 ， F4 =
Nx
（1） σ A
F 40 × 10 3 = NA = = 200 MPa A 2.0 × 10 − 4
B
D
(a)
— 34 —
习题 7-12 图
σB = σE
FNB = 100 MPa A F = NE = 150 MPa A
（2） σ max = σ A = 200 MPa（A 截面） 7－13 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为 F = 4kN，旋紧螺栓螺纹 的内径 d1 = 13.8mm，固定螺栓内径 d2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力 [σ ] = 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。
160
A
FA
80
B
FB
4kN
解： ∑ M B = 0 ，FA = 2kN ∑ F y = 0 ，FB = 6kN
σA =
(a) 习题 7-13 图
ຫໍສະໝຸດ BaiduσB
F A 2000 2000 × 4 = = = 13.8 MPa < [σ ] ，安全。 AA π 2 π × 13 .8 2 ×10 −6 d1 4 FB 6000 × 4 = = = 25.5 MPa < [σ ] ，安全。 AB π × 17.3 2 × 10 −6 4
C
F2
F3
| F1 | ≤ [σ w ] A1
4 FP ≤ A1 [σ w ] 3 3 3 FP ≤ A1 [σ w ] = × 4000 ×10 − 6 × 20 × 10 6 = 60 kN 4 4 F3 5 F3 > F4 ， ≤ [σ s ] ， FP ≤ [σ ] A3 A3 3 3 3 FP ≤ [σ ] A3 = × 120 × 10 6 × 800 × 10 −6 = 57.6 kN 5 5
∑ Fy = 0 ，
FP = 2 3 FA + FB − FP = 0 2 2
（2） （3）
习题 7-14 图
1+ 3 FB 2 π FB ≤ [σ ] ⋅ d 2 4
FP ≤
1+ 3 π 2 ⋅ d [σ ] ` （4） 2 4 1+ 3 π = ⋅ × 202 × 10− 4 × 157 × 106 = 67.4k N 2 4
σ BC =
50 kN A
55 kN
C 55 kN B 900 1220
=
50 × 10 3 × 0.9 × 4 − 60 × 10 3 × 1.22 × 4 + 200 × 10 9 × π × 38 2 × 10 −6 200 × 10 9 × π × 65 2 × 10 −6 = 0.0881 × 10 −3 m = 0.0881 mm
σ CE =
σ DE
FCE 15 × 10 = = 15 MPa A 0.02 × 0.05 F = DE = 50 MPa A
3
5 kN
θ
C
θ
5 kN
D
FDE
FCE
(a) 习题 7-11 图
7 － 12 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p = 已知杆的横截面面积 A = 2.0×10-4m2， l= 10kN/m， 在自由端 D 处作用有集中呼 FP = 20 kN。 2m。试求： 40 1．A、B、E 截面上的正应力； F (kN) A 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明 其作用位置。 E 30 解：由已知，用截面法求得 FNA = 40 kN C 20 FNB = 20 kN FNE = 30 kN
工程力学（1）习题全解
第7章 简单的弹性静力学问题
7－1 有一横截面面积为 A 的圆截面杆件受轴向拉力作用，若将其改为截面积仍为 A 的空心圆截面杆件，其他条件不变，试判断以下结论的正确性： （A）轴力增大，正应力增大，轴向变形增大； （B）轴力减小，正应力减小，轴向变形减小； （C）轴力增大，正应力增大，轴向变形减小； （D）轴力、正应力、轴向变形均不发生变化。 正确答案是 D 。 7－2 韧性材料应变硬化之后，材料的力学性能发生下列变化： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，韧性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，韧性不变。 正确答案是 B 。 7－3 关于材料的力学一般性能，有如下结论，试判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是 A 。 7－4 低碳钢材料在拉伸实验过程中， 不发生明显的塑性变形时， 承受的最大应力应当 小于的数值，有以下四种答案，试判断哪一个是正确的： （A）比例极限； （B）屈服强度； （C）强度极限； （D）许用应力。 正确答案是 B 。 7－5 根据图示三种材料拉伸时的应力—应变曲线，得出的如下四种结论，试判断哪一 种是正确的： （A） 强度极限 σ b (1) = σ b (2) > σ b (3) ，弹性模量 E(1)>E(2)>E(3)， 延伸率δ（1）>δ（2）>δ（3）比例极限； （B） 强度极限 σ b (3) < σ b (1) < σ b (2) ，弹性模量 E(2)>E(1)>E(3)， 延伸率δ（1）>δ（2）>δ（3）比例极限； （C） 强度极限 σ b (2) > σ b (1) > σ b (3) ，弹性模量 E(3)>E(1)>E(2)， 延伸率δ（3）>δ（2）>δ（1）比例极限； （D） 强度极限 σ b (1) > σ b (2) > σ b (3) ，弹性模量 E(2)>E(1)>E(3)， 延伸率δ（2）>δ（1）>δ（3）比例极限； 正确答案是 B 。
(b)
[FP] = 57.6 kN 7－16 现场施工中起重机吊环的每一侧臂 AB 和 BC， 均由两根矩形截面杆组成，连接处 A、B、C 均为铰链， 如图所示。已知起重载荷 FP = 1200kN， 每根矩形杆截 面尺寸比例为 b/h = 0.3，材料的许用 应力 [σ ] = 78.5MPa。 试设计矩形杆的截面尺寸 b 和 h。 解：由对称性得受力图（a） ∑ F y = 0 ， 4 FN cos α = FP
— 32 —
7－6 关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有如下结论，试判断哪一个是正确的： （A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效； （C）应力不增加塑性变形很快增加，因而认为材料失效； （D）应力不增加塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。 正确答案是 C 。 7－7 关于条件屈服应力有如下论述，试判断哪一个是正确的： （A）弹性应变为 0.2%时的应力值； （B）总应变为 0.2%时的应力值； （C）塑性应变为 0.2%时的应力值； （D）弹性应变为 0.2 时的应力值。 正确答案是 C 。 7－8 低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，试判断哪一种是正确的： （A）OAB→BC→COAB； （B）OAB→BD→DOAB； （C）OAB→BAO→ODB； （D）OAB→BD→DB。 正确答案是 D 。 7-9 两根直径不同的实心截面杆，在 B 处焊接在一起，弹性模量均 为 E = 200 GPa ，受力和尺寸等均标在图中。试求： （1）各段杆横截面上的工作应力； （2）杆的轴向变形总量； （3）杆内最大切实力，并说明其作用面位置。 解（a） （1） σ AB =
20 kN α A
B
D
20 kN A B
30°
C
∑MC = 0 FN × 300 cos 30° − 20 × 450 sin 30° = 0
FN = 10 3 = 17.32 kN （拉）
FCy FN 30° C FCx
F 17.32 × 10 3 σ= N = = 36.1 MPa A 12 × 40 × 10 −6 （2） α = 90° 时，由图（b） ∑MC = 0 FN × 300 cos 30° + 20 × 450 cos 30° = 0 FN = −30 kN （压） F − 30 × 10 3 σ= N = = −62.5 MPa A 12 × 40 × 10 −6
7－14 图示结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为 d = 20mm，材料都是 Q235 （有人说：根据垂直方面的平衡条 钢，其许用应力 [σ ] = 157 MPa。试求该结构的许可载荷。 2 件，有 FNBC cos 30° + FNAC cos 45° = FP ，然后将 FNBC = (π d / 4)[σ ] ， FNAC = (π d 2 / 4)[σ ] 代入后即可得 许可载荷，这种解法对吗？为什么？） （1） 解： ∑ Fx = 0 ， FB = 2 F A
20 kN
A
B
FCy
FN
30°
C
FCx
7－11 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为 20mm×50mm 的矩形。试求 杆 CE 和杆 DE 横截面上的正应力。 解：图（a）中， cos θ =
4 5
（1）
15 kN 3m 15 kN
4m
截面法受力图（a） ∑ M D = 0 ， FCE × 4 − (15 + 5) × 3 = 0 （2） FCE = 15 kN ∑ Fx = 0 ， FDE cos θ = 40 （3） 式（1）代入（3） ，得 FDE = 50 kN
σ BC =
（3） τ max = 面上)
σ
2
sin 90° =
σ
2
=
σ BC
2
= 56.5 MPa (位于 BC 段与横截面成 45°角的斜截
（b） （1） σ AB
FNAB 4 × 50 × 10 3 = = = 44.1 MPa A1 π × 38 2 × 10 −6
3
FNBC 4 × (−60) × 10 = = −18.1 MPa A2 π × 65 2 × 10 −6 F l F l （2） ∆l = ∆l AB + ∆l BC = NAB AB + NBC BC EA1 EA2
— 33 —
τ max = （3）
σ AB
2
sin( 2 × 45°) = 22.0 MPa （位于 AB 段与横截面成 45°角的斜截面上） 。
7-10 图示结构中，已知 BD 杆的横截面为 12 mm× 40 mm 的矩形，BD 杆两端为铰接。试确定下列两种情形 下 BD 杆横截面上的正应力； （1） α = 0° ； （2） α = 90° ； 解（1） α = 0 时，由图（a）
2 (1 + 3 ) FA = 2 2 (1 + 3 ) π ⋅ [σ ] d 2 = 90.28 kN（5） 2 4
FA
45D 30D
FB
C
FP
(a)
由（1） 、 （2）得：
FP =
比较（4） 、 （5）式，得 [FP] = 67.4 kN 讨论：习题中所给“有人说”的解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好 都同时达到许用应力。 7－15 图示的杆系结构中杆 1、2 为木制，杆 3、4 为钢制。已知各杆的横截面面积和 许用应力如下：杆 1、2 为 A1 = A2 = 4000mm2，[σ w ] = 20MPa，杆 3、4 为 A3 = A4 = 800mm2， [σ s ] = 120MPa。试求许可载荷[FP]。 F 解：图（a） ：