三角形全等证明综合题

三角形全等证明总结

一 证明题目时常用的三种方法

在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：

（1）综合法

就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．

例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．

求证：BF ＝DE ．

分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下

⇒

⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．

以上这种由因导果的方法就是综合法．

（2）分析法

就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．

如上题，用分析法的探索过程如下：

BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知

中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B

（3）分析—综合法

在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：

例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，

求证：EB ＝EC ．

分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．

先用综合：由因导果．

⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD

再用分析：执果索因．

EB＝EC⇒△ABE≌△ACE⇒⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⇒

∠

∠

⇒

已知

＝

＝

已知

＝

AE

AE

CAE

BAE

AC

AB

⇒△ABD≌△ACD．

证明：∵D是BC的中心，∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

（公共边），＝

（已证），

＝

（已知），

＝

AD

AD

CD

BD

AC

AB

∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．

在△ABE和△ACE中⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∠

∠

（公共边）

＝

（已证），

＝

（已知），

＝

AE

AE

CAE

BAE

AC

AB

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

∴BE＝CE（全等三角形的对应边相等）．

【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE≌△CDE，方法同上．

②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．

二如何选择三角形判定全等

在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：

（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．

（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．

（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．

三、二次全等问题

1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC

于E，AE＝CF．

求证：BO＝DO．

2．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.

3．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

4．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.

求证：AB∥DC.

四难题选讲

（旋转类型）

1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

2.如图1、图2、图3，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，

（1）在图1中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？

（3）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC 与BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？

3.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．

4、已知：在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的左侧作等腰直角△ADE ，解答下列各题：如果AB=AC ，∠BAC=90°．

(1)当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图甲，线段BD ，CE 之间的位置关系怎样？说明理由。

（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图乙， (1)中的结论是否还成立？为什么？ （线段和差问题）

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.

2.已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE

（垂直类型）

1.已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系

2.如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上

的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取

CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，

（2）AD 与AG 的位置关系如何。 A

E B M

C

F

B

A C E F Q P D G H F E D C

B A