专升本不定积分教案ppt

请同学们
务必记牢以下常见的凑微分公式！
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常用凑微分公式：
1 2 1 dx d(kx b) (k 0 ) ； xdx dx ； k 2
1 1 dx 2d x ； dx d ln x ； x x
sin x d x d cos x ； cos xdx d sin x ；
4
定义 若 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则称 F ( x ) C 为 f ( x ) 的 不定积分 , 记为
f ( x)dx F ( x) C . x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数
积 表 达 式 积 分 变 量
2x
把 dx凑成dΒιβλιοθήκη Baidux) .
如
1 2x 1 2x e dx 2 e d (2 x) 2 e C.
(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分 d (x) . 如

3 ln x 2 dx ln xd ln x (ln x) 2 C x 3
方法1较简单,
而方法2则需一定的技巧,
dx
( a 0)

x arcsin C . 2 2 a a x
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x x 11 d x 例9 dx 3 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 [ ] d(1 x ) 2 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x )
1 si n2 x cos2 x dx dx 例9 2 2 2 2 sin x cos x si n x cos x
(cos x sin x ) dx sinx cos x C .
(sec 2 x csc 2 x ) dx tan x cot x C .
例3
x x 2 ( 2 3 ) dx
(4 x 2 6 x 9 x ) dx
4x 2 x 9x 6 C . ln4 ln6 ln9
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(1 x ) 例4 dx ( x 2 x x ) dx x 3 5 4 2 2 2 2 x x x C 3 5
(7)
k dx kx C (k是常数); x x dx 1 C ( 1);
1
sin x dx cos x C ;
10
dx 2 ( 8) sec x dx tan x C ; 2 cos x 基 dx 2 本 ( 9) csc x dx cot x C ; 2 sin x 积 分 (10) sec x tan x dx sec x C ;
y yx2+2
(1, 3) ． 2 1 2 1 O 1 1 2 2
13
2 x dx x 2 C ,
2
yx2
f ( x) x C ,
2
由曲线通过点(1,3) C 2, 所求曲线方程为 y x 2.
x
第二节
(1)
证
不定积分的运算法则
[ f ( x ) g( x )] dx f ( x ) dx g( x ) dx ;
2

1 2
1 2
3 2
1 x x x (1 x ) dx dx 例5 2 2 x (1 x ) x(1 x ) 1 1 ( ) dx 2 1 x x
2
2
arctanx ln x C .
16
2 2 cos 2 x cos x sin x dx dx 例8 cos x sin x cos x sinx
（k 是常数，k 0 )
14
例1
直 接 积 分 法
3 2 ( 4 x 2 x x 1) dx
2 3 2 x x x x C . 3 3
4
3 2
例2
x ( sin x 2 cos x e ) dx
cos x 2 sinx e x C .
[ f ( x ) dx g( x ) dx ]
[ f ( x ) dx ] [ g( x ) dx ] f ( x ) g( x ) .
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
( 2)
kf ( x ) dx k f ( x ) dx .
( x 3 C ) 3 x 2 ， .
本章所讲的内容就是导数的逆运算。
2
问题： (1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
不定积分
1
第一节
不定积分的概念
不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.
一、原函数与不定积分的概念
定义 如果在某区间 I 内 F ( x ) f ( x ) ,则称 I 内 F(x)
为 f (x)的一个 原函数 .
例
(sinx ) cos x ， sin x 是cos x 的原函数.
2 3 2 ( x ) 3x ， ( x 1) 3 x ， (？ ) 3 x ， 2 3

1 1 cost C cos2 x C . du ( x )dx 2 2 f ( x )d x g[ ( x )] ( x ) dx g( u) du
G(u) C G[ ( x )] C .
凑微分
u ( x)
sin 2 x dx 2 sin x cos x dx 2 sin x d(sin x )
9
dx x ln x C; 说明： x 0,
k dx kx C (k是常数); x x dx 1 C ( 1);
1
dx ln | x | C . x
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
dx x ln x C; 1 (4) 1 x 2 dx arctan x C ; 1 (5) dx arcsin x C ; 1 x2 (6) cos x dx sin x C ;
u x 3
ln u c ln x 3 c
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例3
运用 d ( ax + b ) = a dx
sin(2 x 5)dx
1 sin(2 x 5)d (2 x 5) 2 1 cos(2 x 5) c . 2
1 sin(2 x 5) d (2 x 5) 2

7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
5 1 2
1
C
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例4 设曲线通过点(1,3), 且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x ), dy 2 x, 根据题意知 dx 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
任 意 常 数
5
5 x 例1 求 dx .
6 x x 5 5 x dx C . 解 ( ) x , 6 6
6
1 dx . 例2 求 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctanx C . 2 1 x
6
dx 1 si n x dx 例10 2 1 sinx cos x
(sec x sec x tan x ) dx
2
tan x se cx C .
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第三节
问题
换元积分法
t 2x
一、第一类换元法 (凑微分法)
sin 2 x dx cos2 x C , 1 1 sin 2 x dx 2 sin2 x d(2 x ) 2 si nt dt
21
例4
运用 d (x2 ) = 2x dx
xdx 1 d (x ) 1 d (x ) x4 1 2 x 1 2 (x ) 1
2
2
4
2
2
u x2
1 1 2 arctan u c arctan( x ) c 2 2
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“凑微分”的方法有:
(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则,
7
二、 基本积分表
1 x x 实例 x x dx C. 1 1 ( 1)
1

启示 能否根据求导公式得出积分公式？
8
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表

dx x ln x C , 1 1 x 0, [ln( x )] ( x ) , x x dx ln( x ) C , x
sin x C .
2
18
凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积 函数的中间变量变得与积分变量相同.
19
例1
1 3x 1 e d ( 3 x ) e dx (e c ) 3 3
凑微分
3x
3x
例2 运用 d ( x+ k ) =dx
dx d ( x 3) x 3 x 3
csc2 xdx d cot x ； sec2 xdx d tan x ； 1 1 dx d arctanx ； dx d arcsinx ； 2 1 x 1 x2
等等.
24
1 1 1 dx 例5 d( 3 2 x ) 3 2x 2 3 2x 1 ln 3 2 x C . 2 x 1 1 2 例6 d x d ( 1 x ) 2 2 1 x 2 1 x 1 ln(1 x 2 ) C . 2 1 2 2 2 例 7 x 1 x dx 1 x d(1 x ) 2 3 1 2 2 (1 x ) C . 3
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例7
dx 1 a2 x2 a2
dx 1 1 x x 2 a x 2 d( a ) 1 ( ) 1 2 a a
dx 1 x a 2 x 2 a arctan a C .
例8

dx
1 a x d( ) 2 2 2 a a a x 1 x / a
由不定积分的定义，可知
d [ f ( x ) dx ] f ( x ), dx
或
d[ f ( x ) dx ] f ( x ) dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
或
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
简言之：连续函数一定有原函数. 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
3
唯一性？
（1 ）若 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数, 则对任何常数 C,
F ( x ) C 也是 f ( x ) 的一个原函数；
（ 2）设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数, 则f ( x ) 的任一个原函 数 G ( x ) 与 F ( x ) 最多相差一个常数 , 即G ( x ) F ( x ) C .
[F ( x ) G( x )] F ( x ) G( x ) f ( x ) f ( x ) 0
故F ( x ) G ( x ) C 综合 (2)(3), 如果 f ( x) 有一个原函数 F ( x ) , 则 F ( x ) C 是 f ( x ) 的所有原函数的一般表达式 .
表

(11)
(12 )
(13 )
csc x cot x dx csc x C ; x e d x e C; a a dx ln a C ;
x
x
x
11
2 x x dx . 例3 求积分
解
2 x x dx x dx
5 2
根据积分公式（2） x dx