运筹学胡运权第10章

图1 单服务排队系统
顾客到达
队列
…
服务台1
服务台2
...
服务完成后离去
服务台s
图2 s个服务台，一个队列的排队系统
排队 系统 的特 征及 排队
论
顾客到达
队…列1 队…列2
队…列s
服务台1
服务台2
...
服务台s
服务完成后离去 服务完成后离去
服务完成后离去
图3 s个服务台，s个队列的排队系统
顾客到达
……队…列…
第十章 排队论
Operational Research ( OR )
引言
生灭过程和Poisson过程
本
M/M/s等待制排队模型
章
M/M/s混合制排队模型
内
其他排队模型简介
容
排队系统的优化
分析排队系统的模拟方法
排队系统特征及排队论
排队 系统 的特 征及 排队 论
顾 到达 客
源
队列
服 务 离去 机 构
T：系统处于平稳状态时顾客的逗留时间，其 均值记为W，称为平均逗留时间；
Tq：系统处于平稳状态时顾客的等待时间， 其均值记为Wq，称为平均等待时间；
排队 系统 的主 要数 量指 标和 记号
λn： 当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率(单 位时间内来到系统的平均顾客数)；
μn： 当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率(单 位时间内可以服务完的顾客数)；
种：
的
(i) 队长有限
描
(ii) 等待时间有限
述
(iii) 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限
排
(2) 排队规则，当顾客到达时，若所有
队
服务台都被占用且又允许排队，则该顾
客将进入队列等待。服务台对顾客进行
系
服务所遵循的规则通常有：
统
① 先来先服务(FCFS)
的
② 后来先服务(LCFS)
描
③ 具有优先权的服务(PS)
排
队
排队论研究的基本问题：
(1) 通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率
论
分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。
研
(2) 统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究 的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题： 检
究
验系统是否达到平稳状态；检验顾客相继到达时间间 隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。
述
排
3. 服务机制
队
排队系统的服务机制主要包括： 服务员 的数量及其连接形式(串联或并联)；顾
系
客是单个还是成批接受服务；服务时间 的分布。记某服务台的服务时间为V，
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 / / / FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
（2）到达方式：单个到达还是成批到达。
统
（3）顾客(单个或成批)相继到达时间间隔的分布：
的
①定长分布（D）
描
②最简流（或称Poisson流）（M）
述
2.排队及排队规则
排
队
(1) 排队，排队分为有限排队和无限排队两类， 对有限排队系统，可进一步分为两种：
系
① 损失制排队系统
统
② 混合制排队系统，具体说来，又分为以下三
示
先到先服务。
若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。
排队 系统 的主 要数 量指 标和 记号
描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： 1. 队长和排队长 2. 等待时间和逗留时间 3. 忙期和闲期
上述一些主要数量指标的常用记号： N(t)： 时刻t系统中的顾客数(又称为系统的状态)，即队长； Nq(t)： 时刻t系统中排队的顾客数，即排队长； T(t)： 时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间； Tq(t)： 时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间。
服务台1
……队…列…
服务台2 服务完成离去
图4 多个服务台的串联排队系统
排队 系统 的特 征及 排队
论
上述形式都可概括为：
聚 （输入）
服务机构
图5 随机服务系统
散 （输出）
1. 输入过程
排
（1）顾客总体（顾客源）数：
队
• 无限 (如来商店购物的顾客数量)
系
• 有限 m （如车间里待修理的机器）
排 队
M/M/s等待制排队模型 M/M/s混合制排队模型 其他排队模型简介
论
排队系统的优化
分析排队系统的模拟方法
生 灭 过 程 和
Poisson 过 程
一、生灭过程简介
定义1
设{N(t),t≥0}为一个随机过程。若N(t)的概率分布具有以 下性质：
(1) 假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止 的时间服从参数为λn的负指数分布，n=0,1,2,…。 (2) 假设N(t)=0,1,2，…。 (3) 同一时刻时只有一个顾客到达或离去。 则称{N(t),t≥0}为一个生灭过程。
当λn为常数时，记为λ；当每个服务台的平均服务率 为常数时，记每个服务台的服务率为μ，则当n≥s时， 有μn=sμ。因此，顾客相继到达的平均时间间隔为1/λ， 平均服务时间为1/μ。令ρ=λ/sμ，称ρ为系统的服务强 度。
另外，记忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期分 别记为和，记s为系统中并行的服务台数。
排队 系统 的主 要数 量指 标和 记号
记pn(t)为时刻t时系统处于状态n的概率，即系 统的瞬时分布。我们将主要分析系统的平稳 分布，即当系统达到统计平衡时处于状态n的 概率，记为pn。又记
N：系统处于平稳状态时的队长，其均值为L， 称为平均队长；
Nq：系统处于平稳状态时的排队长，其均值 为Lq，称为平均排队长；
的
(3) 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问
题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。
基
系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其
内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服
本
务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排
序等方面的问题。
问
题
引言
生灭过程和Poisson过程
现实世界中形形色色的排队系统
到达的顾客 1.不能运转的机器 2.修理工人 3.病人 4.打电话 5.文稿
要求的服务 修理 领取修配零件 就诊 通话 打字
服务机构 修理工人 管理员 医生 交换台 打字员
排队 系统 的特 征及 排队
论
排队系统的具体形式：
队列
顾客到达
…
服务台 服务完成后离去
正在接受服务的顾客