第三章 功和能

第三章 功和能

一、基本要求

1、掌握功的定义及其计算方法；

2、掌握保守力和由之定义的势能的概念；

3、理解动能定理的意义及其应用；

4、掌握功能定理及其应用；

5、掌握机械守恒定律及其应用，并应着重了解其应用条件。

二、基本概念和规律

1、功

1）功的定义

功定义为作用在质点上的力和质点位移的标积称为力在这段位移上所作的功。即 →

→∙=r

d F dA

一段路程上的功为

→

→∙==

⎰

⎰r

d F dA A b a

b

a

关于功的概念应指出：

a 、功是标量，可正，可负，可为零。功是力对空间的累积效应。

b 、功是过程量，只有当物体的运动状态发生变化时，才谈得上功的问题。因此，绝不能设物体在某一状态的功有多少。

c 、功是相对量。由功的定义可知，由于不同参照系中质点的位移不同，因而同一个力，在不同参照系中计算结果也不同。一般说来，若无特别声明，某一个力的功都是指地面参照系的功。

2）保守力的功

按力作功是否与路径无关的特点来分类，有保守力和非保守力。 保守力：作功与路径无关的力称为保守力。用数学语言表示为

∮i o r d F =∙→

→

如：重力、弹性力、万有引力，电磁中的静电力均为保守力。 非保守力：作功与路径有关的力称为非保守力。如摩擦力。 2、机械能

物体在机械运动中所具有的动能和势能的统称为物体具有的机械能。即E=E k +E p 。 1）功能

由于物体的机械运动而具有的作功本领。即2

21m V

E K

=称为物体的动能。

质点组的动能∑

=

i

i

i K

V m E 2

2

1

关于动能的要领应指出

a 、动能是标量，且恒为正。

b 、动能是状态量，是物体运动状态的单值函数，具有瞬时性。

c 、动能是相对量。由于物体的速度与参照系选择有关，是相对的，所以物体动能也是相对的。

d 、动是机械运动的一种量度。它是以机械运动转化为一定量的是它形式的运动（如：热、电磁运动等）的能力来量度机械运动的。

2）势能

势能：由物体间（或物体内部各部分间）的保守力作用和物体间（或物体内部各部分间）的相对位置而具有的做功本领称为势能。记为E p 。

关于势能的概念应指出：

a 、只有对于保守力的功，才能引入势能的概念。对于非保守力的功绝不能引入势能。 保守力的功P P P E E E A ∆-=--=)(21保 即保守力的功等于势能增量的负值。从而也为计算保守力的功带来方便。

b 、势能是相对的，是标量，可正、可负，或为零。

势能的数值与势能零点选取有关，但任何两点的势能差与其零点选取无关。应注意势能零点的选取。

c 、势能是物体系所具有的

由于保守力是物体系内物体间的相互作用力，而且势能又由其物体间的相对位置所决定，所以势能是物体系所具有的。

d 、势能是状态量，是物体运动状态的单值函数。 3、动能定理

质点组动能定理：作用在质点组上外力的功和内力的功之代数和等于质点组动能的增量，即

12k k E E A A -=+内外

定理表明：外力的功和内力的功之和是质点组动能变化的量度。 4、功能定理

作用在质点组上外力的功和非保守内力的功之代数和等于质点组机械能的增量，即 121122)()(E E E E E E A A P k P k -=+-+=+内非保外

定理表明：外力的功和内部非保守力的功之和是质点组机械能变化的量度。 应该提出：

a 、功能定理和动能定理是有区别的。

a ）功能定理只运用于质点组，而动能定理即适用于质点组，又适用于质点。

b ）当我们取同一质点组为研究对象时，应用功能定理就决不能再将保守内力的功计入，而应用动能定理时就必须将保守力的功计入。

b 、在应用功能定理和动能定理时，根据研究对象，要特别注意区分外力和内力，内力中的保守力和非保守力。在功A 外、A 内非保 或A 内的计算时，决不允许先求其合力，然后求合力所作的功。而分别求出各力所作的功，求出其它们的代数和。

c 、要从功能定理深刻领会功和能这两个十分重要的概念之间的联系和区别。

机械能状态量，是物体运动状的单值函数。功是过程量，只有物体的状态变化时，才谈得上作功。作功是能量传递和转换的一种方式，功是被传递和转换的能量的量度。功和能的要领是研究物质各种运动形式之间的桥梁。

5、机械能守恒定律

作用在质点组上外力和非保守内力都不作功，则质点组的机械能守恒，即 1122P k P k E E E E +=+ 应该指出：

在运用机械能守恒定律时，必须掌握其守恒条件： A 外=0， A 内非保=0

原点组的机械能守恒，并不是说质点组的功能和势能都守恒，由于保守内功作功，质点组的功能和势能相互转移，但质点组的功能和势能之和保持不变。

一般而言，当质点组所受的合外力为零时，其机械能不守恒。

三、解题方法

质点动力学的根本问题是运用牛顿定律列出运动微分方程，然后解运动方程，这是质点动力学的基本方法。但要解其运动方程，除了比较简单的问题外，一般说来是很困难的，甚至是根本不可能的。

功能定理（包括功能定理）及其特例的机械能守恒定律（及以后讲的动量定律及其守恒定律，角动量定理及其守恒定律）为解答质点动力学问题提供了另外的方法，在一定条件下，使问题的解答非常方便，但是在各种各样的问题中，这种方法不一定都适用，因此，它不是一种基本方法。但只要它能应用，就常常带来不少便利，当然功能定理（包括动能定理）及其机械能守恒定律本身还有其深刻的物理意义。

用功和能解答的问题与质点动力学中要解答的问题是一致的，判断能否用功能定理，动能定理和机械能守恒定律求解，总的原则是：条件适合而且已知量及待求定恰好包含在该定理或定律的数学表达式中（有时可能和后面讲的定理或守恒定律联合求解）。具体说来，如果定理中涉及到不同地点的速度，而作用力系随路程变化（或常力）则应用定理的可能性大，对于机械能守恒定律，应加上外力，非保守内力均不作功的条件。

运用功能定理或机械守恒定律解题的步骤是 1、弄清题意，明确问题

根据题意，正确选取研究对象，弄清物理过程的特点。 2、对所选取的研究对象，质点组进行正确的具体分析。

分析每一个物体的受力情况，并注意区分外力和区内力，保守力和非保守力，画受力分析图时，可不画保守力，分析各外力，非保守力的作功情况。

3、根据问题的性质和计算方便，建立坐标，常用自然坐标系，直角坐标系，并选取势能零点，根据功的定义，计算各外力，各非保守内力所作的功，确定质点组初态和未态的机械能。

4、列方程、求解、必要时进行讨论。

四、解题示例

例1，一汽车从匀速V 沿平直路面前进，车中一人以相对于车厢的速度u 向上或向前掷一质量为m 的小球，若将坐标系选在车上，这时小球的功能各是多少？若将坐标系选在地面，这时小球的功能又各是多少？

解：若将坐标系选在车上，无论是向上或向前掷小球，小球相对于汽车速度的大小均为u ，故这时向上或向前掷的小球的功能均为2

21m u

E E k k =

=前上

。

若将坐标系选在地面，根据速度的相对性