大学物理上、下册重点知识总结

五 机械振动

知识点： 1、 简谐运动

微分方程：02

22=+x dt

x d ω ,弹簧振子F=-kx,m k

=

ω, 单摆l

g =ω 振动方程：()φω+=t A x cos

振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。πγπ

ω22==

T

。周期T, 频率γ。 ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：

A=2

20

20

ωv x +

,⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

-

=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：

初始条件：t=0 1） 由

得 2）由

得 3）由

0=x 0

0

cos =ϕ2

/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0

sin >ϕA

x =00

0=v ϕ

cos A A =1

cos =

ϕA

x -=000=v ϕcos A A =-1

cos -=

ϕ0

=ϕ2

/πϕ=π

ϕ=

得 4）由

得

3简谐振动的相位：ωt+φ:

1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;

2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态； 相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态； （φ取[-π→π]或[0→2π]）

4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)

加速度：a=)cos(2

ϕωω+-t A

简谐振动的能量：

E=E K +E P = 2

2

1kA ,

作简谐运动的系统机械能守恒

4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：

1）两个同向同频率的简谐振动的合成：

X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ） 合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）

其中 A=

()12212

221cos 2φφ-++A A A A ,tan 2

2112

211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=

。

相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大

12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A

2

极小

若

0=x 0

0>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2

/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0

sin <ϕ)

(sin 2

1212222k ϕωω+==t A m m E v )

(cos 212

12

22p ϕω+==t kA kx E 2

/3πϕ=1

21,ϕϕ=>A A

2） 两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：

x=A 1

cos （1φω+t ） ,y=A 2

cos （2φω+t ）

其轨迹方程为： 如果

) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆

πϕϕπ2)212<-<

其合振动的轨迹为逆时针的椭圆

相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。 同向异频的合成：拍现象, 拍频12γγγ-=

。

重点：

1、熟记振动图像；

2、掌握各个物理量的计算公式；

3、掌握、熟记初相的确定；

4、理解、掌握振动的合成。

难点：

1、用旋转矢量法确定初相;

2、两种振动的合成及合成后A 和φ的确定。

六 机 械 波

知识点

1、 机械波的几个概念：

1）机械波产生条件： 1）波源；2）弹性介质

机械振动在弹性介质中的传播形成波，波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播. 2 波的分类：

1）横波：振动方向与传播方向垂直；

2）纵波: 振动方向与传播方向平行，靠波的疏密部传播。 3 描述波的几个物理量：

1）波长λ：一个完整波形的长度;

2）周期T ：波前进一个波长的距离所需要的时间;

2

12,ϕϕ=>A A )(sin )cos(212221122

221ϕϕϕϕ-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A xy A y A x π

ϕϕ<-<120.1

3）频率ν：单位时间内波动所传播的完整波的数目； 4）波速μ：某一相位在单位时间内所传播的距离。

5）波线：沿波传播方向的有向线段。它代表波的传播方向。 波面：振动相位相同的所构成的曲面，又称波阵面。

2、 平面简谐波的波函数

y=Acos[)(u x

t -ω+φ] μ沿x 轴正方向；

y=Acos[)(u

x

t +ω+φ] μ沿x 轴负方向；

y=Acos[2πν(t-x/μ)+φ;

y=Acos[)(2λ

πx

T t -+φ].

相距为x ∆的两点振动的相位差：x ∆-=∆λ

π

φ2

3 波的能量

1）、波的动能与势能：

)(sin d 21222u

x

t VA dE dE p k -=

=ωωρ 2）、波的能量：

)(sin d 222u

x

t VA dE dE dE P k -=+=ωωρ

结论：1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 x 、t 作周期性变化，且变化是同相位的.

2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 . 3)、 能量密度：单位介质中的波动能量。

)(sin 222u

x t A dv dw w -==

ωωρ 平均能量密度：2

221ωρA w =

4）、能流和能流密度：

能流：单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。 P=w u S (u:波速，S ：横截面积) 平均能流：uS A uS w p 2

22

1ωρ=

= 能流密度（波强）：垂直通过单位面积的平均能流。

T

1=νλν

λ==u Tu

u ==νλ周期或频率只决定于波源的振动；波速只决定于媒质的性质；不同频率的波在同一介质中波速相同；波在不同介质中频率不变。