2012江苏高考数学19题 的几种解法及巧解。

19．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，

2(0)F c ，．已知(1)e ，

和e ⎛ ⎝⎭

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线

与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．

（i ）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。本题体现了江苏关于解析几何命题的一贯特点，求定值。这已延续了几年。值得我们思考。

今年解析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。这是否代表今后高考命题的一个方向呢。还是像09年的应用题那样，只是一个特例，这也值得我们思考。

另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。结果却有些出乎意料。其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。

现在就题论题。

首先看看命题组给出参考答案。

解(1)由题设知a

c

e c b a =+=,222. 由点(1,e)在椭圆上，

得11222

2=+b

a c a 解得12=

b ，于是122-=a

c ，

又点）

（23

,e 在椭圆上，所以143222=+b a e ，即143142=+-a a ，解得22=a 因此，所求椭圆的方程是12

22

=+y x .

（第19题）

(2)由(1)知)0,1(),0,1(21F F -,又直线1AF 与2BF 平行,所以可设直线1AF 的方程为

my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1.设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A

由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11

2

121112my

x y x 得012)2(1212

=--+my y m ,解得2222

21+++=m m m y 故 2

1

)1(2)()1(2222

12

1212

11++++=

+=++=m m m m y my y x AF ①

同理, 2

1

)1(22

222++-+=

m m m m BF ② (ⅰ)由①②得262

122

221=++=-m m m BF AF 解得22

=m ， 因为0>m ，故2=m ，所以直线1AF 的斜率为2

2

1=

m （ⅱ）因为直线1AF 与2BF 平行,所以12

1AF BF PF PB =,于是1

1211AF AF BF PF PF PB +=+ 故12

11

1BF BF AF AF PF +=

.由点B 在椭圆上知2221=+BF BF

从而)22(22111BF BF AF AF PF -+=

.同理)22(12

12

2AF BF AF BF PF -+=

因此)22()22(12

12

221121AF BF AF BF BF BF AF AF PF PF -++-+=

+

2

121222BF AF BF AF +⋅-

=

又由①②知2

1

,2)1(222

2212221++=⋅++=+m m BF AF m m BF AF 所以2

2

3222221=

-

=+PF PF .因此21PF PF +是定值. 第一问的难度不大，得分率也很高。难点是在第问的两题。命题组给出的答案中规中矩，

不过中规中矩中含有智慧。例如2问中的I ，直线方程设的就比较好，因为过定点，所以设了直线1AF 的方程为my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1，这样就减少

了很多计算量。而且这与下一问结合的很好。

下面我展示一下我在阅卷时，一位数学功底很好的学生的解法。代表了很多完成这题考生的解法。

（1）

∵椭圆的方程为22

221(0)x y a b a b +=>>，(1)e ，

和e ⎛ ⎝⎭

都在椭圆上 ∴带入椭圆的方程得：

2

222

222111e a b e a b ⎧+=⎪⎪⎪⎨

⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 由c

e a

=及222a b c =+解得：

22a =，21b =，21c =

∴椭圆的方程为2

212

x y += （2） （i ）

设直线1AF 的斜率为k ∵直线1AF 与直线2BF 平行 ∴直线2BF 的斜率也为k

∵左、右焦点的坐标分别为1(10)F -，，2(10)F ，

∴直线1AF 的方程为()1y k x =+，直线2BF 的方程为()1y k x =- 设()11A x ,y ，()22B x ,y ，

∵A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点 ∴10y >，20y >

由()22

121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222

21220k y ky k +-+-=

，∴1y = 由()22

121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

得()222

21220k y ky k +++-=

，∴22

21k y k -+=+ ∴

11221k AF k +=

=

==+

同理

22221

k BF k -+=

=

==

+ ∵12AF BF

-

∴22222212121212212

k k k k k k k k k k +-++++-+=

-⎪++⎭

⎫

=⎪

+⎭=

解得：212

k =

∵12AF BF - ∴12AF BF > ∴0

k > ∴k =

（ii ）

∵直线1AF 直线2BF