牛顿插值法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
即函数 1 , (x-x0) , (x-x0)(x-x1) 的线性组合,组合系数为
f(x0), f[x0,x1] , f[x0,x1,x2]
基函数法
更一般地，n+1个节点的插值多项式，我们希望由上 述类似的一组特殊函数：
1 , (x-x0) , (x-x0)(x-x1) ，……，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
2、差商的性质
一阶
f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) xk - x0
+
f ( x0 ) x0 - xk
二阶
f ( xk ) + f ( x0 ) - f ( x1) - f ( x0 )
f [ x0 , x1, xk ] = xk - x0
x0 - xk x1 - x0 xk - x1
x0 - x1
-
f ( x1)
-
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
来线性组合为：
Pn (x) = a0 + a1(x - x0 ) + a2 (x - x0 )(x - x1) + ... + an (x - x0 )...( x - xn-1)
➢组合系数是什么样的呢？怎么求呢？
Pn (x) = a0 + a1(x - x0 ) + a2 (x - x0 )(x - x1) + ... + an (x - x0 )...( x - xn-1)
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加 一个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重 新计算。
能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？
希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
§2.3 差商与牛顿插值
一、差商及其性质 二、差商的计算 三、牛顿插值公式 四、差分形式的牛顿插值
0 2.3.1
插值多项式的逐次生成
k
j=0 ( x j
-
x0 )( x j
-
f (xj) x j-1 )( x j
-
x j+1)( x j
-
xk )
k
=
f (xj)
kຫໍສະໝຸດ Baidu
j=0 ( x j - xi )
i=0
ji
1ºn 阶差商可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
由加法交换律 f [x0, x1,, xi ,, xj ,, xk ] = f [x0, x1,, xj ,, xi ,, xk ]
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
注: 1. 事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待 定系数法求得的;
2. 它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:
f ( xk ) + f ( x0 ) - f ( x1) - f ( x0 )
f [ x0 , x1, xk ] = xk - x0
x0 - xk x1 - x0 xk - x1
x0 - x1
=
f ( xk )
+
f ( x0 )
( xk - x0 )( xk - x1) ( x0 - xk )( xk - x1)
f [ x0 , xk ] - f [ x0 , x1] xk - x1
为 f ( x关) 于点 x0 ,的x1二, x阶k 差商。
一般，称
f [ x0 , x1,, xk ] =
f [ x0 , x1,, xk-2 , xk ] - f [ x0 , x1,, xk-1] xk - xk-1
为 f ( x关) 于点 x0 , x的1,k阶, x差k 商。
利用P2(x0)=y0有:It
is0n=otya0
,
difficult
thing
for
a
mathematician.
利利用用PP22((xx12))==yy12有有::Heoxwp12r==ceosmsf(if(oxpx(xn2l1x-1eW)xa2x--0r)ef)txe-(hc(!0xafxe2n0(-)xxu=01s))fe[x-n0o(,(xtxxa12t2]-i-ox,xn00))(fx[x2-0,xx11)]
➢组合系数的规律性
当x=x0时，Pn(x0)=a0=f0.
当x=x1时，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1, 推得
a1=
f1-f0 x1-x0
当x=x2时，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)= f2,推得
a2=
f2-f0 x2-x0
-
f1-f0 x1-x0
P1 ( x)
=
y0
+
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
线性插值的点斜式x=x0 x0 ) = y0 + f ( xx11)--fx(0x时0)( x
-
x0
)
常数(差商) = y0 + f[x0,x1]( x - x0 ) f[x0,x1]
➢启发：二次插值也能类似地有规律的组合表达式:
PP2(2x(x)=)=f(x0)++f1[(xx0-,x10])(+x-x20()x+-x0f)[(xx0-,xx11,)x2](x-x0)(x-x1)
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
即函数 1 , (x-x0) , (x-x0)(x-x1) 的线性组合,组合系数为
f(x0), f[x0,x1] , f[x0,x1,x2]
基函数法
更一般地，n+1个节点的插值多项式，我们希望由上 述类似的一组特殊函数：
1 , (x-x0) , (x-x0)(x-x1) ，……，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
2、差商的性质
一阶
f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) xk - x0
+
f ( x0 ) x0 - xk
二阶
f ( xk ) + f ( x0 ) - f ( x1) - f ( x0 )
f [ x0 , x1, xk ] = xk - x0
x0 - xk x1 - x0 xk - x1
x0 - x1
-
f ( x1)
-
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
来线性组合为：
Pn (x) = a0 + a1(x - x0 ) + a2 (x - x0 )(x - x1) + ... + an (x - x0 )...( x - xn-1)
➢组合系数是什么样的呢？怎么求呢？
Pn (x) = a0 + a1(x - x0 ) + a2 (x - x0 )(x - x1) + ... + an (x - x0 )...( x - xn-1)
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加 一个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重 新计算。
能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？
希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。
§2.3 差商与牛顿插值
一、差商及其性质 二、差商的计算 三、牛顿插值公式 四、差分形式的牛顿插值
0 2.3.1
插值多项式的逐次生成
k
j=0 ( x j
-
x0 )( x j
-
f (xj) x j-1 )( x j
-
x j+1)( x j
-
xk )
k
=
f (xj)
kຫໍສະໝຸດ Baidu
j=0 ( x j - xi )
i=0
ji
1ºn 阶差商可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
由加法交换律 f [x0, x1,, xi ,, xj ,, xk ] = f [x0, x1,, xj ,, xi ,, xk ]
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
注: 1. 事实上,从上述可看出二次牛顿插值公式是用待 定系数法求得的;
2. 它也可看作是三个特殊函数的一种线性组合:
f ( xk ) + f ( x0 ) - f ( x1) - f ( x0 )
f [ x0 , x1, xk ] = xk - x0
x0 - xk x1 - x0 xk - x1
x0 - x1
=
f ( xk )
+
f ( x0 )
( xk - x0 )( xk - x1) ( x0 - xk )( xk - x1)
f [ x0 , xk ] - f [ x0 , x1] xk - x1
为 f ( x关) 于点 x0 ,的x1二, x阶k 差商。
一般，称
f [ x0 , x1,, xk ] =
f [ x0 , x1,, xk-2 , xk ] - f [ x0 , x1,, xk-1] xk - xk-1
为 f ( x关) 于点 x0 , x的1,k阶, x差k 商。
利用P2(x0)=y0有:It
is0n=otya0
,
difficult
thing
for
a
mathematician.
利利用用PP22((xx12))==yy12有有::Heoxwp12r==ceosmsf(if(oxpx(xn2l1x-1eW)xa2x--0r)ef)txe-(hc(!0xafxe2n0(-)xxu=01s))fe[x-n0o(,(xtxxa12t2]-i-ox,xn00))(fx[x2-0,xx11)]
➢组合系数的规律性
当x=x0时，Pn(x0)=a0=f0.
当x=x1时，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1, 推得
a1=
f1-f0 x1-x0
当x=x2时，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)= f2,推得
a2=
f2-f0 x2-x0
-
f1-f0 x1-x0
P1 ( x)
=
y0
+
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
线性插值的点斜式x=x0 x0 ) = y0 + f ( xx11)--fx(0x时0)( x
-
x0
)
常数(差商) = y0 + f[x0,x1]( x - x0 ) f[x0,x1]
➢启发：二次插值也能类似地有规律的组合表达式:
PP2(2x(x)=)=f(x0)++f1[(xx0-,x10])(+x-x20()x+-x0f)[(xx0-,xx11,)x2](x-x0)(x-x1)
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =