概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解

7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)


x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X

st
|
X

s}
P{( X
st)(X P{X s}

s)}

P{X s P{X
t} s}

1 F(s t) 1 F(s)

e(st ) e s

e t

P{ X

t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)

f ( x)dx 1.

A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数
一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函
数.
连续型随机变量分布函数的性质：
概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概
率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
P{a X b}.
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)பைடு நூலகம்
由定义和积分上限函数导数公式即得，由(1)式得：
f ( x) lim F ( x x) F ( x)
x0
x
lim P{x X x x}
(2)
x0
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、 连续型随机变量及其概率密度 二、常用连续型分布
一、连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对随机变量 X 的分布函数 F ( x), 存在非 负可积函数 f ( x), 使得对任意实数 x有
x
F ( x) P{X x} f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，称 f ( x) X 的概率密度函
x
可将上式理解为：
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间
( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式， 若不计高阶无穷小，则有
P{x X x x} f ( x)x, 即，X 落在小区间( x, x x]上的概率近似等于 f ( x)x.
Ox
x
Oa b
x
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx

b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)


x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
例2 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠
性理论和排队论中有广泛的应用. 易求得 X 的分布
函数
1 ex , F(x)
0,
x0
其它
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有
P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
(2) X 的密度函数为
0, f ( x) F ( x) 2x,
0,

2 x,

0,
x0 0 x1
1 x 0 x1
其它 .
二 常用的连续型分布
（一）、 均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)

b
1
a
,
0,
a xb
其它
1. 对一个连续型随机变量 X , 若已知其密度函数
f ( x), 则概据定义，可求得其分布函数 F ( x),
还可求得 X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率：
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
y f (x)
y f (x)
P{a X b}
F( x)
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注：(1) f ( x) 0;
f (x)

(2) f ( x)dx 1.

f ( x)的几何图形如图.
O
x
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
此站, 如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之
间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的 概率.
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~

U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取