矢量的基本代数运算

某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。 若矢函数
r(t) x1 (t)e1 x2 (t)e2 x3 (t)e3
在 t0 连续，则其导矢为
导矢函数
r(t0 )
d r(t) dt t0
x1(t0 )e1 x2 (t0 )e2
x3 (t0 )e3
r(t) x1(t)e1 x2 (t)e2 x3 (t)e3
Ch.2 曲线论
§1 曲线与矢函数
一般地说，若一个矢量 r 决定于一个（纯量）变数 t ，我们就把它叫做变量 t 的矢函数， 写成 r(t) 。
在标架 [O;e1, e2 , e3 ] 中，曲线的（分量式）参数矢方程为：
r r(t) x1 (t)e1 x2 (t)e2 x3 (t)e3
§2 矢函数的导矢与曲线的切线
γ αβ
就得到第三个幺矢，它也垂直于 α ，叫做 在 P0 的副法矢，经过 P0 沿 γ 方向的直线就叫做
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在 P0 的副法线。当切矢 α 的正向颠倒时，副法矢 γ 的正向也颠倒，而主法矢 β 的正向始
终不变。在曲线 上每一个非逗留点 P0，都有三个右旋的、彼此垂直的幺矢 α ， β ， γ ，
若在闭节[t1,t2 ] 里，r(t) 0 而且连续，则 的切线随着切点的移动而连续变动位置，
这样的曲线叫做光滑曲线。 矢函数的微分
dr r(t)dt ， dr r(t) dt
这个定义在形式上和纯量函数一样。
若 r1 ， r2 ， r3 是含纯量变数 t 的矢函数， 为 t 的纯量函数，则
d (r) r r dt
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d dt
(r1
r2
)
r1
r2
d dt
(r1r2
)
r1r2
r1r2
d dt
(r1
r2
)
r1 r2
r1
r2
d dt
(r1
,
r2
,
r3
)
(r1,
r2
,
r3
)
(r1 ,
r2
,
r3
)
(r1
,
r2
,
r3
)
有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概
念，也有泰勒公式，不定积分和定积分概念。
2
3/2
§5 曲线论的基本公式.挠率
由于切矢 α 是幺矢，对于弧长 s 微导，就得 αα 0 α α
若在切点 P0，曲率 0 ， α 就沿一条法线的方向，这条法线叫做 在 P0 的主法线，而与
同向的幺矢
β
α α
α
就叫做 在 P0 的主法矢。曲线上曲率 0 的点一般是孤立点，叫做曲线上的逗留点。 在曲线 上一个非逗留点 P0，切矢 α 和主法矢 β 是两各互相垂直的幺矢，令
R (Rα)α (Rβ)β (Rγ)γ
将 α ， β ， γ 写成它们的线性组合
α (αα)α (αβ)β (αγ)γ β (βα)α (ββ)β (βγ)γ γ (γα)α (γβ)β (γγ)γ
由于
α2 β2 γ2 1，
βγ γα αβ 0 ，
微导，就得
αα ββ γγ 0 βγ γβ γα αγ αβ βα 0
若引进符号
γβ βγ
则
α
β
β α
γ
γ
β
这叫做曲线论的基本公式（Frente 公式）。
曲线 在 P0 的挠率是衡量它在该点邻近偏离平面曲线（或密切面）的程度。
γ
叫做 在 P0 的基本矢。切线，主法线，副法线构成一个三稜形，叫做基本三稜形，它们决
定三个彼此垂直的平面：和切线垂直的是法面，和主法线垂直的是从切面，和副法线垂直的 是密切面。对于非平面曲线（也叫挠曲线），曲线在一点的密切面是经过该点和曲线“最贴 近”的平面。
α ， β ， γ 是彼此垂直的幺矢，任意矢量 R 都可以写成它们的线性组合
s t0
x12 x22 x32 dt
这就是弧长 s 和 t 参数的关系。
引进弧长作为参数， dr 是幺矢。用“.”表示对于弧长的微导，并用 α 表示幺矢 dr ：
ds
ds
α r dr ds
于是 α 是沿 切线上的一个幺矢，称为 的幺切矢。
§4 曲率
曲线 在它上面的一点 P 处的曲率是表示它在 P 点邻近的弯曲程度的一个几何量。 设 P0 为 上任意固定点，P 为 上在 P0 邻近的一点，它们依次对应于弧长参数值 s0 和
上任意点 P，弧长 PP0 s 有一个代数值。设 P1 为 上另一个任意的固定点，则
lim P1P 1
PP1 P1P
也可以写成
r
lim 1
PP1 s
或者
lim (r) 2
PP1Hale Waihona Puke Baidu(s)2
1
，即
dr ds
2 2
1
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若在度量弧长始点 P0，参数 t t0 ，则
t
s r(t)dt t0
或即
t
有时也简称为导矢。 设
：r r(t)，t1 t t2
为任意空间曲线。若矢函数在闭节[t1, t2 ] 里每一个 t 值连续，则曲线 成为连续曲线。
导矢的几何意义： r(t0 ) 0 保证曲线 在 t0 值对应点的切线存在而且 r(t0 ) 代表这条
切线的方向。 r(t0 ) 就叫做 在该点的一个切（线）矢（量）。
法面，其方程为
r(t0 )(ρ r(t0 )) 0
其中 ρ 表示法面上流动点的径矢。经过 r0 而垂直于切线的每一条直线都叫做 在 r0 的法线，
它们都在法面内。经过切线的每一个平面都叫做 在 r0 的切面。 曲线的参数是可以改变的，对于任意曲线，一个自然的参数是它的弧长。在 上取任
意固定点 P0 作为度量弧长的始点（相当于原点）并规定一个弧长增加的正向，则对于曲线
s0 s ，设 在 P0，P 的切线之间的角是 ( 0) ，我们规定曲线 在 P0 的曲率为
lim lim lim
α dα α r
PP0 s s0 s s0 s ds
对于平面曲线
r
x1x2 x1x2 (x12 x22 )3/ 2
d 2 x2 dx12
1
dx2 dx1
§3 切线与法面.弧长
除非另有声明，我们永远假定，对于曲线
：r r(t)，t1 t t2
r(t) 0 （即保证 上没有奇点），而且遇到的矢函数 r(t) 的各阶导矢都是连续的。
在 r0 r(t0 ) 点的切线方程为
ρ r(t0 ) r(t0 )
其中 ρ 表示切线上“流动点”的径矢， 是参数。经过 r0 而垂直于切线的平面叫做 在 r0 的