第十六章 错误检测和校正
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16.2 RS编码和纠错算法
对一个信息码符多项式 M(x) ， RS 校验码生成多项式 的一般形式为
G ( x) ( x K 0 i )
i 0 K 1
其中，K0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(nk)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
16.2 RS编码和纠错算法
第十六章
错误检测和校正
16.1 CRC错误检测原理 16.2 RS编码和纠错算法 16.3 CIRC纠错技术 16.4 RSPC码
本章要点
由于激光盘存储器存在较大的误码率，因此，它采 用了功能强大的错误码检测和纠正措施。采用的具 体对策归纳起来有三种： (1) 错误检测：采用CRC(Cyclic Redundancy Code) 检测读出数据是否有错。 (2) 错误校正码： 采用里德－索洛蒙码 (Reed － Solomon Code)，简称为RS码，进行纠错。 (3) 交 叉 交 插 里 德 － 索 洛 蒙 码 CIRC(Cross Interleaved Reed－Solomon Code), 在用RS编译码 前后，对数据进行交插处理和交叉处理。
[例] 构造GF(23)域的本原多项式假定为 P( x) x 3 x 1 α 定义为P(x) = 0的根，即 α 3 ＋ α 和 α 3 = α ＋1 GF(23)中的元素可计算如下：
＋
1=0
0 α α α α α
0 1 2 3 4
mod(α 3＋α ＋1) = 0 mod(α 3＋α ＋1) = α mod(α 3＋α ＋1) = α mod(α 3＋α ＋1) = α
x nk M ( x) R( x) Q( x)G( x)
16.1 CRC错误检测原理
x nk M ( x) R( x) 是能够被校验码生成多项式G(x)除
尽的，即它的余项为0。 因此检验位组成的多项式是xn-kM(x)除以G(x) 后的余数。
16.1 CRC错误检测原理
例：生成多项式： G( x) x16 x12 x 5 1 即G(x)=10001000000100001(B) =11021(H) 假定要写到盘上的信息代码为 M(x)=4D6F746F (H) x16M(x)= 4D6F746F0000(H)
3个(5，3)码块： B1 = (a2，a1，a0，P1，P0) B2 = (b2，b1，b0，Q1，Q0) B3 = (c2，c1，c0，R1，R0)
b2 b1 b0 Q1 Q0 c2 c1 c0 R1 R0
连续排列：
a2 a1 a0 P1 P0
交插排列：
连续错3个：
a 2 b2 c2 a1 b1 c1 a0 b0 c0 P1 Q1 R1 P0 Q 0 R0
就可知道这两个错误值。
16.3 CIRC纠错技术
光盘存储器和其它的存储器一样，经常遇到的 错误有两种。 随机错误：干扰产生 突发错误 ：盘片本身 CIRC(Cross Interleaved Reed Solomon)纠错 码综合了交插、延时交插、交叉交插等技术，不仅 能纠随机错误，而且对纠突发错误特别有效。
得知错误的位置和错误值。
例如：如果计算得到s0 = α 2和s1 = α 5，可求得 α x = α 3和mx = α 2，说明m1出了错，它的错误值 是α 2。校正后的m1 = m1′＋mx ，本例中m1=0。
16.2 RS编码和纠错算法
如果计算得到s0 = 0，而s1≠0，那基本可断定至少 有两个错误，当然出现两个以上的错误不一定都是 s0 = 0和s1≠0。如果出现两个错误，而又能设法找 到出错的位置，那么这两个错误也可以纠正。如已 知两个错误mx1和mx2的位置α x1和α x2，那么求解方 程组：
本原多项式的特性是
x
2 m 1
1 P( x)
得到的余式等于0。
16.2 RS编码和纠错算法
CD-ROM用来构造GF(28)域的是
P( x) x 8 x 4 x 3 x 2 1
而GF(28)域中的本原元素为
α = (0 0 0 0 0 0 1 0)
16.2 RS编码和纠错算法
16.2 RS编码和纠错算法
二、RS的编码算法
在 GF(2m) 域中，能纠正 t 个错误的符号 (n ， k)RS 的含义如下： m 表示符号的大小，如m=8表示符号 由8位二进制数组成 n 表示码块长度 k 表示码块中的信息长度 K=n－k = 2t 表示校验码的符号数 t 表示能够纠正的错误数目
当x = α 和 α
2
时有方程组：
求解方程组就可得到校验符号：
16.2 RS编码和纠错算法
在读出时的校正子为
即判断s0和s1是否为0。
16.2 RS编码和纠错算法
[ 例 16.3] 在例 16.2 中，如果 K0 = 0 ， t = 1 ，由式 (13－2)导出的RS校验码生成多项式就为：
G( x) ( x K0 i ) ( x 0 )(x 1 )
a 2 b2 c2 a1 b1 c1 a0 X P0 b2 b1 X X X Q1 R1 P0 Q 0 R0 R 1 R0
读出后重新排列： a 2 a1 a0 X
Q1 Q0 c2 c1 X
16.3 CIRC纠错技术
可以看到，对连续排列(5，3)码块 ，每个码块 中只能出现一个错误才能纠正。而交插记录后，读 出的3个连续错误经还原后可把它们分散到3个码块 中，每个码块可以纠正1个错误，总计可以纠正3个 连续的错误。 一般来说，如果有r个(n，k)码，排成r×n矩阵， 按列交插后存储或传送，读出或接收时恢复成原来 的排列，若(n，k)码能纠正t个错误，那么这样交插 后就可以纠正rt个突发错误。
16 15 2 16 2
计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数据 区结束为止的数据字节，即字节0～2063共2064个字 节。在EDC中存放的CRC码的次序如下：
EDC： 字节号：
x24－x31
2064
x16－x23
2065
x8－x15
2066
x0－x7
2067
16.2 RS编码和纠错算法
可求得校验符号： Q1 = α 6 = 101 Q0 = α 4 = 110
16.2 RS编码和纠错算法
三、RS码的纠错算法
RS码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)； (2)计算错误位置； (3)计算错误值。
16.2 RS编码和纠错算法
以例16.3为例介绍RS码的纠错算法。 校正子使用下面的方程组来计算：
一、GF(2m)域
RS(Reed-Solomon)码是在伽罗华域(Galois Field， GF)中运算的。
CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属 于GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示 域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原 多项式P(x)生成。
假定假定存入光盘的信息符号m3、m2、m1、m0和由此 产生的检验符号Q1、Q0，而读出的符号为m3′、m2′、 m1′、m0′、Q1′和Q0′。 如果计算得到的s0和s1不全为0，则说明有差错。
16.2 RS编码和纠错算法
如果只有一个错误，则问题比较简单。假设错误的 位置为α x，错误值为mx，则可通过求解下面的方程 组：
16.3 CIRC纠错技术
一、交插技术
对纠错来说，分散的错误比较容易得到纠正， 但出现一长串的错误时，就较麻烦。 在光盘上记录数据时，如果把本该连续存放的 数据错开放，那么当出现一片错误时，这些错误就 分散到各处数据中，错误就容易得到纠正，这种技 术就称为交插(interleaving)技术。
16.3 CIRC纠错技术
16.1 CRC错误检测原理
CD-ROM 扇区方式 01 中，有一个 4 字节共 32 位的EDC 字 域，它就是用来存放 CRC 码。不过， CD-ROM 采用的 CRC校验码生成多项式与软磁盘采用的生成多项式不 同，它是一个32阶的多项式：
G( x) ( x x x 1)(x x x 1)
16.1 CRC错误检测原理
模2多项式代数运算中定义的运算规则有：
1x 1x 0
i i
1x 1x
i
i
模2多项式的加减法
16.1 CRC错误检测原理
模2运算的多项式除法：
16.1 CRC错误检测原理
对于K位二进制串，假设其对应的多项式为M(x)。为 了检测该二进制串在存储或传输过程中是否出错， 需要增加一个(n-k)的二进制串作为校验码，形成如 下所示的二进制串：
GF(23)域元素
0 α α α α α α
0 1 2 3 4 5
二进制对代码
(000) (001) (010) (100) (011) (110) (111)
α
6
(101)
GF(23)域中元素与二进制代码对照表
16.2 RS编码和纠错算法
纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽 罗华域中进行。现仍以GF(23)域中运算为例： 加法例：α 0＋α 3 = 001＋011 = 010 = α 1 减法例：与加法相同 乘法例：α 5· α 4 = α (5＋4) mod7 = α 2 除法例：α 5/α 3 = α 2 α 3/α 5 = α －2 = α (－2＋7) = α 5 取对数：log(α 5) = 5 这些运算的结果仍然在GF(23)域中。
K 1 i 0
当K0 = 1，t = 1，RS校验码生成多项式就为：
G( x) ( x K0 i ) ( x )(x 2 )
16.2 RS编码和纠错算法
m3x5＋m2x4＋m1x3＋m0x2＋Q1x＋Q0 = (x － α )(x － α 2) Q ( x )
16.1 CRC错误检测原理
16.1 CRC错误检测原理
因此写到盘上的信息代码和CRC码是4D6F746F B994,
4D6F746F B994 信息代码 CRC码
从盘上把这块数据读出时，用同样的CRC码生成多项 式去除这块数据，相除后得到的两种可能结果是： ①余数为0，表示数据没有出现错误；②余数不为0， 表示数据有错。
[例16.2] 设在GF(23)域中的元素对应表如表16-01 所示。假设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、 m1和m0，信息码符多项式为 M ( x) m3 x 3 m2 x 2 m1 x m0 并假设 RS 校验码的 2 个符号为 Q1 和 Q0 ，的剩余多项 式为
R( x) Q1 x Q0
0 1 2
= 1
mod(α 3＋α ＋1) = α ＋1 mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋α
α
α
5
6
mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋α 1＋1
mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋1
α
α
7
8
mod(α 3＋α ＋1) = α
mod(α 3＋α ＋1) = α
0
1
……
16.2 RS编码和纠错算法
16.1 CRC错误检测原理
一个二进制数字串可以用一个多项式表示。如 二进制数字序列10101111，用多项式可以表示成：
M ( x) a 7 x 7 a 6 x 6 a 5 x 5 a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x1 a 0 x 0
= x 7 x 5 x 3 x 2 x1 1 式中的xi表示代码的位置，或某个二进制数位的位 置，xi前面的系数ai表示二进制码的值，取值是0或 1。
16.1 CRC错误检测原理
使用一个校验码生成多项式 G(x) 去模 2 除代码多 项式xn-kM(x)
x
x
nk
M ( x) R( x) Q( x) G ( x) G ( x)
n k
M ( x) Q( x)G( x) R( x)
因为模2多项式的加法和减法运算结果相同，所以 又可把上式写成：
i 0 K 1
因此有：
m3x5＋m2x4＋m1x3＋m0x2＋Q1x＋Q0 =
(x － α 0)(x －
α )Q(x) 得到方程组：
16.2 RS编码和纠错算法
求解方程组可以得到RS校验码的2个符号为Q1和Q0，
如果mi取下列值 m3 = α 0 = 001 m2 = α 6 = 101 m1 = α 3 = 011 m0 = α 2 = 100
16.2 RS编码和纠错算法
对一个信息码符多项式 M(x) ， RS 校验码生成多项式 的一般形式为
G ( x) ( x K 0 i )
i 0 K 1
其中，K0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(nk)≥2t (t为要校正的错误符号数)。
16.2 RS编码和纠错算法
第十六章
错误检测和校正
16.1 CRC错误检测原理 16.2 RS编码和纠错算法 16.3 CIRC纠错技术 16.4 RSPC码
本章要点
由于激光盘存储器存在较大的误码率，因此，它采 用了功能强大的错误码检测和纠正措施。采用的具 体对策归纳起来有三种： (1) 错误检测：采用CRC(Cyclic Redundancy Code) 检测读出数据是否有错。 (2) 错误校正码： 采用里德－索洛蒙码 (Reed － Solomon Code)，简称为RS码，进行纠错。 (3) 交 叉 交 插 里 德 － 索 洛 蒙 码 CIRC(Cross Interleaved Reed－Solomon Code), 在用RS编译码 前后，对数据进行交插处理和交叉处理。
[例] 构造GF(23)域的本原多项式假定为 P( x) x 3 x 1 α 定义为P(x) = 0的根，即 α 3 ＋ α 和 α 3 = α ＋1 GF(23)中的元素可计算如下：
＋
1=0
0 α α α α α
0 1 2 3 4
mod(α 3＋α ＋1) = 0 mod(α 3＋α ＋1) = α mod(α 3＋α ＋1) = α mod(α 3＋α ＋1) = α
x nk M ( x) R( x) Q( x)G( x)
16.1 CRC错误检测原理
x nk M ( x) R( x) 是能够被校验码生成多项式G(x)除
尽的，即它的余项为0。 因此检验位组成的多项式是xn-kM(x)除以G(x) 后的余数。
16.1 CRC错误检测原理
例：生成多项式： G( x) x16 x12 x 5 1 即G(x)=10001000000100001(B) =11021(H) 假定要写到盘上的信息代码为 M(x)=4D6F746F (H) x16M(x)= 4D6F746F0000(H)
3个(5，3)码块： B1 = (a2，a1，a0，P1，P0) B2 = (b2，b1，b0，Q1，Q0) B3 = (c2，c1，c0，R1，R0)
b2 b1 b0 Q1 Q0 c2 c1 c0 R1 R0
连续排列：
a2 a1 a0 P1 P0
交插排列：
连续错3个：
a 2 b2 c2 a1 b1 c1 a0 b0 c0 P1 Q1 R1 P0 Q 0 R0
就可知道这两个错误值。
16.3 CIRC纠错技术
光盘存储器和其它的存储器一样，经常遇到的 错误有两种。 随机错误：干扰产生 突发错误 ：盘片本身 CIRC(Cross Interleaved Reed Solomon)纠错 码综合了交插、延时交插、交叉交插等技术，不仅 能纠随机错误，而且对纠突发错误特别有效。
得知错误的位置和错误值。
例如：如果计算得到s0 = α 2和s1 = α 5，可求得 α x = α 3和mx = α 2，说明m1出了错，它的错误值 是α 2。校正后的m1 = m1′＋mx ，本例中m1=0。
16.2 RS编码和纠错算法
如果计算得到s0 = 0，而s1≠0，那基本可断定至少 有两个错误，当然出现两个以上的错误不一定都是 s0 = 0和s1≠0。如果出现两个错误，而又能设法找 到出错的位置，那么这两个错误也可以纠正。如已 知两个错误mx1和mx2的位置α x1和α x2，那么求解方 程组：
本原多项式的特性是
x
2 m 1
1 P( x)
得到的余式等于0。
16.2 RS编码和纠错算法
CD-ROM用来构造GF(28)域的是
P( x) x 8 x 4 x 3 x 2 1
而GF(28)域中的本原元素为
α = (0 0 0 0 0 0 1 0)
16.2 RS编码和纠错算法
16.2 RS编码和纠错算法
二、RS的编码算法
在 GF(2m) 域中，能纠正 t 个错误的符号 (n ， k)RS 的含义如下： m 表示符号的大小，如m=8表示符号 由8位二进制数组成 n 表示码块长度 k 表示码块中的信息长度 K=n－k = 2t 表示校验码的符号数 t 表示能够纠正的错误数目
当x = α 和 α
2
时有方程组：
求解方程组就可得到校验符号：
16.2 RS编码和纠错算法
在读出时的校正子为
即判断s0和s1是否为0。
16.2 RS编码和纠错算法
[ 例 16.3] 在例 16.2 中，如果 K0 = 0 ， t = 1 ，由式 (13－2)导出的RS校验码生成多项式就为：
G( x) ( x K0 i ) ( x 0 )(x 1 )
a 2 b2 c2 a1 b1 c1 a0 X P0 b2 b1 X X X Q1 R1 P0 Q 0 R0 R 1 R0
读出后重新排列： a 2 a1 a0 X
Q1 Q0 c2 c1 X
16.3 CIRC纠错技术
可以看到，对连续排列(5，3)码块 ，每个码块 中只能出现一个错误才能纠正。而交插记录后，读 出的3个连续错误经还原后可把它们分散到3个码块 中，每个码块可以纠正1个错误，总计可以纠正3个 连续的错误。 一般来说，如果有r个(n，k)码，排成r×n矩阵， 按列交插后存储或传送，读出或接收时恢复成原来 的排列，若(n，k)码能纠正t个错误，那么这样交插 后就可以纠正rt个突发错误。
16 15 2 16 2
计算CRC码时用的数据块是从扇区的开头到用户数据 区结束为止的数据字节，即字节0～2063共2064个字 节。在EDC中存放的CRC码的次序如下：
EDC： 字节号：
x24－x31
2064
x16－x23
2065
x8－x15
2066
x0－x7
2067
16.2 RS编码和纠错算法
可求得校验符号： Q1 = α 6 = 101 Q0 = α 4 = 110
16.2 RS编码和纠错算法
三、RS码的纠错算法
RS码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)； (2)计算错误位置； (3)计算错误值。
16.2 RS编码和纠错算法
以例16.3为例介绍RS码的纠错算法。 校正子使用下面的方程组来计算：
一、GF(2m)域
RS(Reed-Solomon)码是在伽罗华域(Galois Field， GF)中运算的。
CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属 于GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示 域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原 多项式P(x)生成。
假定假定存入光盘的信息符号m3、m2、m1、m0和由此 产生的检验符号Q1、Q0，而读出的符号为m3′、m2′、 m1′、m0′、Q1′和Q0′。 如果计算得到的s0和s1不全为0，则说明有差错。
16.2 RS编码和纠错算法
如果只有一个错误，则问题比较简单。假设错误的 位置为α x，错误值为mx，则可通过求解下面的方程 组：
16.3 CIRC纠错技术
一、交插技术
对纠错来说，分散的错误比较容易得到纠正， 但出现一长串的错误时，就较麻烦。 在光盘上记录数据时，如果把本该连续存放的 数据错开放，那么当出现一片错误时，这些错误就 分散到各处数据中，错误就容易得到纠正，这种技 术就称为交插(interleaving)技术。
16.3 CIRC纠错技术
16.1 CRC错误检测原理
CD-ROM 扇区方式 01 中，有一个 4 字节共 32 位的EDC 字 域，它就是用来存放 CRC 码。不过， CD-ROM 采用的 CRC校验码生成多项式与软磁盘采用的生成多项式不 同，它是一个32阶的多项式：
G( x) ( x x x 1)(x x x 1)
16.1 CRC错误检测原理
模2多项式代数运算中定义的运算规则有：
1x 1x 0
i i
1x 1x
i
i
模2多项式的加减法
16.1 CRC错误检测原理
模2运算的多项式除法：
16.1 CRC错误检测原理
对于K位二进制串，假设其对应的多项式为M(x)。为 了检测该二进制串在存储或传输过程中是否出错， 需要增加一个(n-k)的二进制串作为校验码，形成如 下所示的二进制串：
GF(23)域元素
0 α α α α α α
0 1 2 3 4 5
二进制对代码
(000) (001) (010) (100) (011) (110) (111)
α
6
(101)
GF(23)域中元素与二进制代码对照表
16.2 RS编码和纠错算法
纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽 罗华域中进行。现仍以GF(23)域中运算为例： 加法例：α 0＋α 3 = 001＋011 = 010 = α 1 减法例：与加法相同 乘法例：α 5· α 4 = α (5＋4) mod7 = α 2 除法例：α 5/α 3 = α 2 α 3/α 5 = α －2 = α (－2＋7) = α 5 取对数：log(α 5) = 5 这些运算的结果仍然在GF(23)域中。
K 1 i 0
当K0 = 1，t = 1，RS校验码生成多项式就为：
G( x) ( x K0 i ) ( x )(x 2 )
16.2 RS编码和纠错算法
m3x5＋m2x4＋m1x3＋m0x2＋Q1x＋Q0 = (x － α )(x － α 2) Q ( x )
16.1 CRC错误检测原理
16.1 CRC错误检测原理
因此写到盘上的信息代码和CRC码是4D6F746F B994,
4D6F746F B994 信息代码 CRC码
从盘上把这块数据读出时，用同样的CRC码生成多项 式去除这块数据，相除后得到的两种可能结果是： ①余数为0，表示数据没有出现错误；②余数不为0， 表示数据有错。
[例16.2] 设在GF(23)域中的元素对应表如表16-01 所示。假设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、 m1和m0，信息码符多项式为 M ( x) m3 x 3 m2 x 2 m1 x m0 并假设 RS 校验码的 2 个符号为 Q1 和 Q0 ，的剩余多项 式为
R( x) Q1 x Q0
0 1 2
= 1
mod(α 3＋α ＋1) = α ＋1 mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋α
α
α
5
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mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋α 1＋1
mod(α 3＋α ＋1) = α 2＋1
α
α
7
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mod(α 3＋α ＋1) = α
mod(α 3＋α ＋1) = α
0
1
……
16.2 RS编码和纠错算法
16.1 CRC错误检测原理
一个二进制数字串可以用一个多项式表示。如 二进制数字序列10101111，用多项式可以表示成：
M ( x) a 7 x 7 a 6 x 6 a 5 x 5 a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x1 a 0 x 0
= x 7 x 5 x 3 x 2 x1 1 式中的xi表示代码的位置，或某个二进制数位的位 置，xi前面的系数ai表示二进制码的值，取值是0或 1。
16.1 CRC错误检测原理
使用一个校验码生成多项式 G(x) 去模 2 除代码多 项式xn-kM(x)
x
x
nk
M ( x) R( x) Q( x) G ( x) G ( x)
n k
M ( x) Q( x)G( x) R( x)
因为模2多项式的加法和减法运算结果相同，所以 又可把上式写成：
i 0 K 1
因此有：
m3x5＋m2x4＋m1x3＋m0x2＋Q1x＋Q0 =
(x － α 0)(x －
α )Q(x) 得到方程组：
16.2 RS编码和纠错算法
求解方程组可以得到RS校验码的2个符号为Q1和Q0，
如果mi取下列值 m3 = α 0 = 001 m2 = α 6 = 101 m1 = α 3 = 011 m0 = α 2 = 100