高中数学第二讲平面向量的解题技巧

和垂直的问题 , 掌握向量垂直的条件 .
(6) 掌握平面两点间的距离公式 .
例 1 （ 2007 年 北 京 卷 理 ） 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， D 为 BC 边 中 点 ， 且
2OA OB OC 0 ，那么（
）
Ａ． AO OD
Ｂ． AO 2OD
Ｃ． AO 3OD
)
，所以
θ
＝－
π 4
；
（Ⅱ）由 a ＝ (sin θ ， 1) ， b ＝ (1 ，cos θ ) 得
解：（1） AB ( 3, 4) ， AC (c 3, 4) ，若 c=5， 则 AC (2, 4) ，
∴ cos A cos AC, AB
6 16 5 25
1 ，∴ sin ∠ A＝ 2 5 ；
5
5
（ 2）∠ A 为钝角，则
3c
9 16
0, 解得 c
25
25
，∴ c 的取值范围是 ( ,
)
c 0,
命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积
, 以及用平面向量的数量
积处理有关角度的问题 .
解 : 设 b x, y ,由2b a 2 x, y 3,3 2x 3,2 y 3
1,1 .
得 2x 3 1 2y 3 1
x 1, b 1,2 .
y 2.
cos a,b a b ab
31 3 2
a b c ，其中向量 a
sin x, cosx , b
sin x, 3cosx ,
（Ⅰ）求函数 f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数 y f x 的图像按向量 d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对
称，求长度最小的 d .
命题意图 : 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识，考查推理和运算能力 .
解： ( Ⅰ ) 由题意得， f(x) ＝ a ·（b c )=(sinx, －cosx) ·(sinx －cosx,sinx － 3cosx)
＝sin 2x－2sinxcosx+3cos 2x＝2+cos2x－sin2x ＝2+ 2 sin(2x+ 3 ).
4
所以， f(x) 的最大值为 2+ 2 ，最小正周期是 2 ＝ .
（用 a、b 表示）
命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法 , 以及实数与向量的积 .
解：由AN 3NC得 4AN 3AC=3(a b) ，AM
a 1 b ，所以 , MN
3
1
( a b) (a b)
2
4
2
1 a
1b .
44
例 3．（2006 年广东卷）如图 1 所示， D是△ ABC的边 AB 上的中点，则向量
（ A） b1 b2 b3 0
（B） b1 b2 b3 0
（ C） b1 b2 b3 0
（D） b1 b2 b3 0
命题意图 : 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念
.
常规解法：∵ a1 a2 a3 0 ，∴ 2a1 2a2 2a3 0.故把 2 ai (i=1,2,3) ，分别按顺时针旋
题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．
透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．
2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件．
4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．
5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三
转 30 后与 bi 重合，故 b1 b2 b3 0 ，应选 D.
巧妙解法：令 a1 = 0，则 a2 = a3 ，由题意知 b2 = b3 ，从而排除 B，C，同理排除 A，故选 (D).
点评：巧妙解法巧在取 a1 = 0 ，使问题简单化 . 本题也可通过画图 , 利用数形结合的方法来解
决. 2. 平面向量与三角函数 , 解析几何等问题结合
55
741 3
c
4 ,
3 时,cos a, c
ac
55
ac
252 5
2
2
2
71
4
1
.
2
3
2
另一方面 , 当
2
2
5
5
7 413
c
4 , 3 时,cos a, c a c
55
ac
2 525
1.
2
2
7
1
2
2
43
2
当
2
2
55
故平面向量
c与向量 a =
71 ,
,b
17 ,
的夹角相等
. 故选 B.
22
22
例 5．（ 2006 年天津卷）设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a (3,3) ， 2b a ( 1,1) ，则 cos __．
Ｄ． 2AO OD
命题意图 : 本题考查 能够结合图形进行向量计算的能力 ．
解： 2OA OB OC 2OA ( DB OD) (DC OD ) = 0, DB DC , 2OA 2OD 0, AO OD.
故选 A．
例 2．（2006 年安徽卷） 在 ABCD 中，AB a, AD b,AN 3NC ，M为 BC的中点，则 MN ______.
2008 年高中数学第二讲 平面向量的解题技巧
【命题趋向】
由 2007 年高考题分析可知：
1．这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右．
2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．
3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．
【考点透视】
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空
例 2．（ 2007 年陕西卷文 17）
设函数 f ( x) a、 b . 其中向量 a (m, cos x), b (1 sin x,1), x R, 且 f (π) 2 . 2
（Ⅰ）求实数 m 的值 ; （Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小值 .
解：（ Ⅰ） f ( x)
a b m(1 sin x) cos x ，f π
22
22
(A) 4, 3
(B)
55
4, 3 或 4, 3
55
55
1 的向量是 ( )
（ C）
22 ,
1
33
（ D）
22 ,
1或
2 21 ,
33
33
命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题
.
c
4 ,
3 或 - 4 , 3 时, c
1.
解：设所求平面向量为 c, 由 5 5
3
3
例 11．（ 2007 年山东卷文 17）
在 △ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c，tan C 3 7 ．
（ 1）求 cosC ；（ 2）若 CB CA
5 ，且 a b
9 ，求 c ．
2
解：（ 1）
tan C
sin C 3 7，
37
cosC
又 sin 2 C cos2 C 1
(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而
综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的
双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解
.
(2) 解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度 大.
（ I ）求 的取值范围；
（ II ）求函数 f ( ) 2sin 2 π 4
3 cos 2 的最大
解：（Ⅰ）设 △ ABC 中角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ，
1 则由 bc sin
2
3 ， 0≤ bc cos ≤ 6 ，可得 0 ≤ cot ≤ 1， ∴
π，π ． 42
（Ⅱ） f ( ) 2sin 2 π 4
, 以及方程的思想
解 : 设 b x, y ( x y) ，则依题意有 故选 B.
1
x2
y2
1,
x
, 2
3x y
3.
3
y
.
2
例 7. 设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 a2 a3 0 . 如果向量 b1 、 b2 、 b3 ，满足 bi 2 ai ，且 ai 顺
时针旋转 30o 后与 bi 同向，其中 i 1,2,3 ，则（ ）
由已知 f π
π m 1 sin
π cos
2 ，得 m
1．
4
2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) 1 sin 2x cos 2x 1
2 sin 2x π ， 4
π 当 sin 2x
4
1时， f (x) 的最小值为 1 2 ，
π 由 sin 2x
4
1，得 x 值的集合为 x x kπ 3π，k Z 8
3 cos2
1 cos π 2 2
3 cos2
(1 sin 2 ) 3cos2 sin 2
3 cos 2 1 2sin 2
π 1． 3
∵
π，π ， 2 π π，2π ， ∴ 2 ≤ 2sin 2 π 1≤ 3 ．
42
3 63
3
即当
5π
时，
f(
)max
3 ；当
12
π
时，
f(
) min
2．
4
例 10．（ 2007 年广东卷理） 已知 ABC的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4) 、B(0,0) 、Ｃ (c,0) （ 1）若 c=5，求 sin ∠ A 的值；（2）若∠ A 为钝角，求 c 的取值范围；
CD ( )
（ A）
BC
1 BA
2
（ C） BC
1 BA
2
（B）
1 BC BA
2
（ D） BC
1 BA
2
命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法运算能力 .
解： CD CB BD
BC 1 BA ，故选 A. 2
例 4． ( 2006 年重庆卷 ) 与向量 a = 7 , 1 , b
17 ,
的夹解相等，且模为
解得 cosC
1
．
ห้องสมุดไป่ตู้
8
tan C 0 ， C 是锐角．
cos C
1
．
8
5
5
（ 2） CB CA ， ab cosC ， ab 20 ．
2
2
又 ab 9
a 2 2ab b2 81 ．
a 2 b2 41 ．
c2 a2 b2 2ab cosC 36 ．
c 6．
例 12. （ 2006 年湖北卷） 设函数 f x c cos x,sin x , x R .
例 8．（ 2007 年陕西卷理 17. ）设函数 f ( x)= a-b , 其中向量 a=( m,cos2 x), b=(1+sin2 x,1), x∈
R, 且函数 y=f ( x) 的图象经过点
,2 ，
4
（Ⅰ）求实数 m的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 的值的集合 .
解：（Ⅰ） f ( x) a b m(1 sin 2x) cos2x ，
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念
.
(2) 掌握向量的加法和减法 .
(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件
.
(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算
.
(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义 , 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度
（Ⅰ）若 a ⊥ b ，求 θ；
（Ⅱ）求｜ a ＋ b ｜的最大值．
命题意图 : 本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三
角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力
.
解：（Ⅰ）若 a ⊥ b ，则 sin θ ＋ cosθ ＝ 0，
由此得
tan
θ
＝－
1(
－
π 2
＜
θ
＜
π 2
角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关
问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转
化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
2
（Ⅱ）由 sin(2x+ 3 ) ＝0 得 2x+ 3 ＝k. ，即 x＝ k 3 , k∈ Z，
4
4
28
于是 d ＝（ k 3 ，－ 2）， d
28
(k 3 ) 2 4, k∈Z. 28
因为 k 为整数，要使 d 最小，则只有 k＝ 1，此时 d ＝（― ，― 2）即为所求 .
8
π
π
例 13．（ 2006 年全国卷 II ）已知向量 a ＝ (sin θ， 1) ， b ＝ (1 ， cosθ ) ，－ 2 ＜ θ ＜ 2 ．
32 32
12 22
3 10 .
10
故填 3
10 .
10
例 6. （ 2006 年湖北卷）已知向量 a 3,1 ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3 ，则
b = （）
（ A）
31 ,
22
（ B） 1 , 3 22
（C） 1 , 3 3 44
（ D） 1,0
命题意图 : 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积 解题的能力 .
π m 1 sin
π cos
2 ，得 m
1．
2
2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) sin x cos x 1
π
π
2 sin x
1， 当 sin x
4
4
1 时，
f ( x) 的最小值为 1 2 ．
例 9．（ 2007 年湖北卷理 16）
已知 △ ABC 的面积为 3 ，且满足 0≤ AB AC ≤ 6 ，设 AB 和 AC 的夹角为 ．