第八章 图像几何变换的基本理论
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（2,0） （2,1） （2,2） （2,3） （3,0） （3,1） （3,2） （3,3）
（1,0） （1,1）
图8-1
映射不完全
一个2×2的图像被放大一倍后大小变为4×4。输入图像的像素总数为4， 经过向前映射建立关联的像素坐标只有4个（图中阴影部分）。而输出图像的 像素总数为16，所以有12个像素没有有效值，这就是不完全映射不完全。
（2）映射重叠：如果将图8-1中的输入图像和输出图像交换， 就会出现新的问题——映射重叠，如图8-2所示。
输入图像像素坐标 输入图像像素坐标 缩小一倍
（0,0） （0,1） （0,2） （0,3）
（1,0） （1,1） （1,2） （1,3）
（2,0） （2,1） （2,2） （2,3） （3,0） （3,1） （3,2） （3,3）
其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， x0、y0 表示输入图像 像素的坐标。 矩阵表示法：
[x
y 1] [ x0
y0
a1 1] a3 a5
a2 a4 a6
0 0 1
向后映射的矩阵表示为：
b1 y 1] b3 b5 b2 b4 b6 0 0 1
x U ( x0 , y0 ) y V ( x0 , y0 )
x0、y0 表示输入图像像素 其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， 的坐标。 U 、V 表示两种映射关系，它们通过输入的 x0 和 y0
来确定相应的
x 和y
。
映射关系可以是线性关系，如：
U ( x, y ) k1 x k2 y k3 V ( x, y ) k4 x k5 y k6
也可以是多项式关系，如：
2 2 U ( x , y ) k k x k y k x k xy k y 1 2 3 4 5 6 2 2 V ( x, y ) k7 k8 x k9 y k10 x k11 xy k12 y
从上述的映射关系中，可以看到，只要给出图像 上任意像素的坐标，都能通过对应的映射关系获得几
2、映射不完全和映射重叠
（1）映射不完全：指输入图像的像素总数小于输出图像的像 素总数，这会使得输出图像的部分像素与原始图像没有映射关 系，如图8-1所示。
输出图像像素坐标 输入图像像素坐标
（0,0） （0,1） （0,2） （0,3）
放大一倍
（0,0） （0,பைடு நூலகம்）
（1,0） （1,1） （1,2） （1,3）
（0,0） （0,1） （1,0） （1,1）
源图像像素坐标为（0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1）经 过缩小一倍后对应的输出图像坐标分别为（0,0）、（0,0.5）、 （0.5,0）、（0.5,0.5），取整后坐标都为（0,0）。 那么输出图像坐标为（0,0）的像素值究竟由源图像的哪个像 素决定呢？同样，输出图像的其他3个像素值也存在同样的问题。
[ x0
y0 1] [ x
得 其基本公式：
x0 b1 x b3 y b5 y0 b2 x b4 y b6
向后映射的矩阵表示刚好是向前映射的逆变换。
何变换后的像素坐标位置。这种将输入映射到输出的
过程称为“向前映射”。 通过向前映射能够确定源图像在经过变换后各像
素的坐标。由于多个输入坐标可以对应同一个输出坐
标，所以向前映射是一个满射。
在使用向前映射处理图像的几何变换时需要解决 下面的问题：
１、浮点数坐标
对于数字图像而言，像素坐标是用离散型的非负正数表示的， 但是通过映射函数变换后可能产生浮点数的坐标。 如：源图像（3,3）点在缩小一倍后将变成（1.5,1.5），这是 一个无效的坐标，可以用插值算法来处理在几何变换中出现的浮点 坐标像素，它可以通过一系列算法获得浮点坐标像素的近似值。
图像几何变换用于改变图像中像素与像素之间的 空间关系，从而重构图像的空间结构，达到处理图像 的目的。
简而言之，图像几何变换就是建立一种源图像像 素与变换后的图像像素之间的映射关系。 通过这种映射关系能够知道源图像任意像素点变 换后的坐标，或者变换后的图像像素在源图像的坐标 位置等。
数学公式描述如下：
图像的几何变换是在不改变内容的前提下对图
像像素进行空间几何变换的一种处理方式，它主要 包括图像的平移变换、镜像变换、图像的转置、缩 放和旋转等内容。
8.1
图像几何变换的基本理论
本节对图像几何变换的概念及相关基础知识进行简单概
述，内容包括几何变换的映射关系及对应的数学表示法。
8.1.1
图像几何变换概述
向后映射：
数学表达式为：
x0 U ( x, y ) ' y0 V ( x , y )
'
x0、y0 表示输入图像像素 其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， 的坐标。 U '、V '表示两种映射关系。
向后映射与向前映射刚好相反，它是由输出图像像素坐 标来推算该像素在源图像的坐标位置。这样，输出图像的每 个像素都能通过映射找到对应的位置，而不会产生映射不完 全和映射重叠的现象了。 在实际处理中，基本是运用向后映射来进行图像的几何变换
运用：
向前映射：
主要运用在一些不改变图像大小的几何变换中。
向后映射：
主要运用在图像的旋转和缩放中，这些几何变换 都会改变图像的大小。
8.1.2
图像几何变换的数学描述
本章的几何变换全部采用统一的矩阵表示法。 向前映射的基本公式：
x a1 x0 a3 y0 a5 y a2 x0 a4 y0 a6
（1,0） （1,1）
图8-1
映射不完全
一个2×2的图像被放大一倍后大小变为4×4。输入图像的像素总数为4， 经过向前映射建立关联的像素坐标只有4个（图中阴影部分）。而输出图像的 像素总数为16，所以有12个像素没有有效值，这就是不完全映射不完全。
（2）映射重叠：如果将图8-1中的输入图像和输出图像交换， 就会出现新的问题——映射重叠，如图8-2所示。
输入图像像素坐标 输入图像像素坐标 缩小一倍
（0,0） （0,1） （0,2） （0,3）
（1,0） （1,1） （1,2） （1,3）
（2,0） （2,1） （2,2） （2,3） （3,0） （3,1） （3,2） （3,3）
其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， x0、y0 表示输入图像 像素的坐标。 矩阵表示法：
[x
y 1] [ x0
y0
a1 1] a3 a5
a2 a4 a6
0 0 1
向后映射的矩阵表示为：
b1 y 1] b3 b5 b2 b4 b6 0 0 1
x U ( x0 , y0 ) y V ( x0 , y0 )
x0、y0 表示输入图像像素 其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， 的坐标。 U 、V 表示两种映射关系，它们通过输入的 x0 和 y0
来确定相应的
x 和y
。
映射关系可以是线性关系，如：
U ( x, y ) k1 x k2 y k3 V ( x, y ) k4 x k5 y k6
也可以是多项式关系，如：
2 2 U ( x , y ) k k x k y k x k xy k y 1 2 3 4 5 6 2 2 V ( x, y ) k7 k8 x k9 y k10 x k11 xy k12 y
从上述的映射关系中，可以看到，只要给出图像 上任意像素的坐标，都能通过对应的映射关系获得几
2、映射不完全和映射重叠
（1）映射不完全：指输入图像的像素总数小于输出图像的像 素总数，这会使得输出图像的部分像素与原始图像没有映射关 系，如图8-1所示。
输出图像像素坐标 输入图像像素坐标
（0,0） （0,1） （0,2） （0,3）
放大一倍
（0,0） （0,பைடு நூலகம்）
（1,0） （1,1） （1,2） （1,3）
（0,0） （0,1） （1,0） （1,1）
源图像像素坐标为（0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1）经 过缩小一倍后对应的输出图像坐标分别为（0,0）、（0,0.5）、 （0.5,0）、（0.5,0.5），取整后坐标都为（0,0）。 那么输出图像坐标为（0,0）的像素值究竟由源图像的哪个像 素决定呢？同样，输出图像的其他3个像素值也存在同样的问题。
[ x0
y0 1] [ x
得 其基本公式：
x0 b1 x b3 y b5 y0 b2 x b4 y b6
向后映射的矩阵表示刚好是向前映射的逆变换。
何变换后的像素坐标位置。这种将输入映射到输出的
过程称为“向前映射”。 通过向前映射能够确定源图像在经过变换后各像
素的坐标。由于多个输入坐标可以对应同一个输出坐
标，所以向前映射是一个满射。
在使用向前映射处理图像的几何变换时需要解决 下面的问题：
１、浮点数坐标
对于数字图像而言，像素坐标是用离散型的非负正数表示的， 但是通过映射函数变换后可能产生浮点数的坐标。 如：源图像（3,3）点在缩小一倍后将变成（1.5,1.5），这是 一个无效的坐标，可以用插值算法来处理在几何变换中出现的浮点 坐标像素，它可以通过一系列算法获得浮点坐标像素的近似值。
图像几何变换用于改变图像中像素与像素之间的 空间关系，从而重构图像的空间结构，达到处理图像 的目的。
简而言之，图像几何变换就是建立一种源图像像 素与变换后的图像像素之间的映射关系。 通过这种映射关系能够知道源图像任意像素点变 换后的坐标，或者变换后的图像像素在源图像的坐标 位置等。
数学公式描述如下：
图像的几何变换是在不改变内容的前提下对图
像像素进行空间几何变换的一种处理方式，它主要 包括图像的平移变换、镜像变换、图像的转置、缩 放和旋转等内容。
8.1
图像几何变换的基本理论
本节对图像几何变换的概念及相关基础知识进行简单概
述，内容包括几何变换的映射关系及对应的数学表示法。
8.1.1
图像几何变换概述
向后映射：
数学表达式为：
x0 U ( x, y ) ' y0 V ( x , y )
'
x0、y0 表示输入图像像素 其中 x、 y 表示输出图像像素的坐标， 的坐标。 U '、V '表示两种映射关系。
向后映射与向前映射刚好相反，它是由输出图像像素坐 标来推算该像素在源图像的坐标位置。这样，输出图像的每 个像素都能通过映射找到对应的位置，而不会产生映射不完 全和映射重叠的现象了。 在实际处理中，基本是运用向后映射来进行图像的几何变换
运用：
向前映射：
主要运用在一些不改变图像大小的几何变换中。
向后映射：
主要运用在图像的旋转和缩放中，这些几何变换 都会改变图像的大小。
8.1.2
图像几何变换的数学描述
本章的几何变换全部采用统一的矩阵表示法。 向前映射的基本公式：
x a1 x0 a3 y0 a5 y a2 x0 a4 y0 a6