高考三角函数一题多解

一道高考题的解析引发的深思

（2013全国新课标I 卷）理科15，文科16题。

题目：设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则_____cos =θ 法一：直接使用辅助角公式

解： )cos 5

2sin 51(5cos 2sin )(x x x x x f -=-= ∴取5

2sin ,51cos ==ϕϕ（三角替换，辅助角公式中ϕ由来） 即)sin(5)(ϕ-=

x x f θ=x 时，函数值最大

1)sin(=-∴ϕθ，，即Z k k ∈+=,22-ππ

ϕθ(找到θ与ϕ的关系）

所以5525

2sin )22cos(cos -=-=-=++=ϕπϕπ

θk 此法少见的接触到了辅助角求值问题

法二：借用辅助角公式（避开辅助角）

解： )sin(5)(ϕ-=x x f （求最值） 5)(max =∴x f

当θ=x 时，函数求得最大值 5cos 2sin )(=

-=∴θθθf 联立1cos sin 22=+θθ，解方程组

∴消正弦得,1cos )cos 25(22=++θθ即04cos 54cos 52=++θθ

解得5

52cos -=θ 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一开始就可以确定θ角的位置呢？

观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限，是不是免去你的后照顾之忧呢。

法三：利用∆判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！）

解：令x x y cos 2sin -=则x y x cos 2sin +=消正弦

带入1cos sin 22=+x x 得

1cos )cos 222=++x x y （ 化简得01cos 4cos 522=-++y x y x （将余弦视作一个整体，这是一元二次方程） 有解得0)1(54)4(22≥-⨯-=∆y y

即有55≤≤-y ，函数最大值是5 （为么要这么费劲呢？）

所以y 取最大值5时，有04cos 54cos 52=++x x （明白了吗） θcos 5

52cos =-=x 解得 法四：数形结合

为了运算的简洁，令x

x m cos 2sin -= 再联想到1cos sin 22=+x x 可以试试寻找几何意义

1

sin cos cos 2sin 2

2=++=x x m x x 如果按照一般习惯将正弦视作纵坐标，余弦视作横坐标 即1

222=++=y x m

x y 联立表示要相交 ！ 求直线的最大纵截距(相

切时最大或最小如图）5.0tan =∠AOB ,运用几何知识A 点坐标为），（5

5552- 横坐标为余弦，即552cos -=θ 法五：不等式法

解：)cos 2sin 1cos 2sin )(x x x x x f -⨯

+⨯=-=（ 若函数值最大，则正弦为正，余弦为负 使用柯西不等式有5)21()cos sin )cos 2sin 12222=+⨯+≤-⨯+⨯x x x （（ 所以5)(≤x f 当且仅当x x cos sin 2-=取到等号。即θθcos sin 2-= 又因为5cos 2sin )(=

-=θθθf 解得552cos -=θ 法六：求导法

解：因为x

x x f sin 2cos )('+=（让同学们自己思考）