概率统计知识点复习(含答案)

概率统计

【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．

【考点透析】概率统计的考点主要有：随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，方差公式，用样本数据特征估计总体特征，茎叶图，频率分布直方图，变量相关关系，中位数概念，独立性检验，抽样方法。

题型1 抽样方法

1、2009年2月，国家教育部就“文理分科是否取消”等教改问题征集民意之际，某新闻单

位从900名家长中抽取15人，1500名学生中抽取25人，300名教师中抽取5人召开座谈会，这种抽样方法是（ D ）

A．简单随机抽样 B．抽签法 C．系统抽样 D．分层抽样

题型2统计图表问题

2、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车

视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测

点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方

图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有（ B ）

A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆

3、某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是；众数是．

故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23．

题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题

4、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）

B ．5

C ．3

D ．85 B

5、若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均数为，方差为．

分析：根据平均数与方差的性质解决．

解析：16,18

题型4 用样本估计总体

6、某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .

【答案】5.7%

7、从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

则该地区生

活不能自理的老

人中男性比女性约多_____________人．

解析：60 由上表得23211500023060.500-?

=?=

题型5．线性回归分析

8、为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

（1（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．

解析：（1）12171788121001007

x --+-++=+

=； 69844161001007

y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理，从而22

S S >数学物理，所以物理成绩更稳定．

（2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 497??0.5,1000.510050994

b a ===-?=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．

建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．

题型6 古典概型与几何概型计算问题

9、已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|A B →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为________．

解析：|A B →|≤4，k 2＋1≤16，k 2≤15，k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.

B C →＝(2－k,3)．若A B →·B C →＝－k 2＋2k ＋3＝0，则k ＝－1，k ＝3；若B C →·A C →＝0，则k

＝8(舍)；若A B →·A C →＝0，则k ＝－2.故P ＝37.答案：37

10、在边长为2的正三角形ABC 中，以A AB ，AC 于D ，E ．若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是

____________．6

练习：

一、选择题

1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中

捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为（）

A ．1000

B ．1200

C ．130

D ．1300

概率论知识点总结基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

概率论与数理统计期末复习资料一填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验概率第二章（一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率（二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量（三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量（四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数概率第三章二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件与概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布…………………１０第四章随机变量得数字特征……………………1３第五章极限定理………………………………。。。1８二、学习概率论这门课得心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件与概率第一节:1、、将一切具有下面三个特点:(１)可重复性(2)多结果性(3)不确定性得试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。在一次试验中,可能出现也可能不出现得事情(结果)称为随机事件,简称为事件、不可能事件:在试验中不可能出现得事情,记为Ф。必然事件:在试验中必然出现得事情,记为S或Ω。２、我们把随机试验得每个基本结果称为样本点,记作e 或ω、全体样本点得集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示。一个随机事件就就是样本空间得一个子集。基本事件—单点集,复合事件—多点集

一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含得一个样本点出现。事件间得关系及运算,就就是集合间得关系与运算。 3、定义:事件得包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生,则称Ｂ包含A,记为B?A或A?Ｂ。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为Ａ=B。定义:与事件 “事件A与事件B至少有一个发生”就是一事件,称此事件为事件A与事件B得与事件、记为A∪B。用集合表示为: A∪B＝{e｜e∈A,或ｅ∈B｝、定义:积事件?称事件“事件Ａ与事件B都发生”为A与B得积事件,记为Ａ∩B或AＢ,用集合表示为AB=｛ｅ|e∈A且e∈Ｂ｝。定义:差事件称“事件Ａ发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B得差事件,记为A-B,用集合表示为 A—Ｂ=｛e｜e∈A,e?B} 。定义:互不相容事件或互斥事件?如果A,B两事件不能同时发生,即ＡＢ=Φ ,则称事件A与事件B就是互不相容事件或互斥事件。定义6:逆事件／对立事件称事件“A不发生"为事件A得逆事件,记为ā。A与ā满足:A ∪ā= S,且Aā=Φ。运算律: 设A,Ｂ,C为事件,则有

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性与随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率、 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5.掌握离散型随机变量的分布列、 6.掌握离散型随机变量的期望与方差、 7.掌握抽样方法与总体分布的估计、 8.掌握正态分布与线性回归、考点1、求等可能性事件、互斥事件与相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤: （1）计算一次试验的基本事件总数n ; （2）设所求事件A,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3）依公式()m P A n =求值; （4）答,即给问题一个明确的答复、 (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1、 (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )＝k n k k n p p C --)1(、其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式 [(1-P)+P]n 展开的第k+1项、

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤就是: 第一步,确定事件性质???????等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种、第二步,判断事件的运算???和事件积事件即就是至少有一个发生,还就是同时发生,分别运用相加或相乘事件、第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复、考点2离散型随机变量的分布列 1、随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示、 ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量、 ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量、 2、离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念与性质一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P(i x =ξ)=i P ,则称下表、

本章重点：随机事件的概率计算. **事件的关系及运算 A). 对立事件：A . 差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作A B（或AB）. 德g摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有古典概型: 几何概率占八、、第一章随机事件与概率和事件: n L A n (简记为yA). 积事件：AB A A2 L n I A A n (简记为AAL A n或i 1 ). 互不相容:若事件A和B不能同时发生，即AB 2 . ** 古典概率的定义 B A B, A B A B. P(A) A 中所含样本点的个数中所含样本点的个数 n A P(A) A的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）

**概率的性质有限可加性）设n 个事件A'A'L ,几两两互不相容，则有 P(A) 1 P(A). 若事件A , B 满足A B ，则有 P(A) 1. 加法公式）对于任意两个事件A , B ,有对于任意n 个事件A I ,A 2,L ,人，有 P(AA j A k ) L ( 1)n 9(A 1L A n ) j k n 4 . **条件概率与乘法公式 P(AIB) Pt . 乘法公式: 5. *随机事件的相互独立性 P(A B) P(A) P(B) P (AB). P(AB) P(A)P(B I A) P(B)P(A|B). (1) P( ) 0. P(A i A L A n ) n P(A i ) i 1 P(B A) P(B) P(A), P(A) P(B). n P( U n P(A) P (AA j ) i 1 1 i j n

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5．掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：（1）计算一次试验的基本事件总数n ; （2）设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3）依公式()m P A n =求值; （4）答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质???? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件 ①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示；注：样本空间不唯一. ③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()?是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系 ①包含关系：A B ?，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =，事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生； ③互不相容（互斥）： AB =? ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。 ④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ??=Ω ?=? ? 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3. 事件的三大运算 ①事件的并：A B ?，事件A 与事件B 至少有一个发生。若AB =?，则A B A B ?=+； ②事件的交：A B AB ?或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。 4. 事件的运算规律 ①交换律：,A B B A AB BA ?=?= ②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ??=????=?? ③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ??=?????=??? ④德摩根（De Morgan ）定律： ,A B AB AB A B ?==? 对于n 个事件，有

第一章随机事件和概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111）从0~9中随机取一行一列然后初方向随机（上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号史永涛班内序号：01 目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：一组数据中，出现次数最多的数。２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。五、回归分析１、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++

高中数学概率统计知识点总结标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样：二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布（1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增）负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念（1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件（5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值

数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，

概率论与数理统计复习资料第一章随机事件与概率 1.事件的关系AuB AuB AB A-B A Q AB =(/> (1)包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A ,记作AuB(或Bz)A)? (2)相等：若两事件A与〃相互包含，即AnB且Bn A,那么，称事件A与B相等，记作A = B . (3)和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作AuB；“n个事件观出?…，人中至少有一事件发牛”这一事 H I J A 件称为鱼…，人的和，记作Au入5??uA”(简记为* '). (4)积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作AcB(简记为AB)；a n个事件观出，…，心同时发牛”这一事件称为 n A,血.…，人的积事件，记作(简记为A4??4或以'). (5)互不相容：若事件A和B不能同时发生，即心?,那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件观出?…，人中任意两个事件不能同时发生，即A"广0(iwi

间和事件件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B 不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识点总结一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样：二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布（1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++=Λ21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-==Λ 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关四、概率的基本概念（1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件（5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系五、概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B= ，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)。 2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。六、古典概型 1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

《概率论与数理统计》复习资料第一章随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用）