概率论期末复习知识点
概率论复习知识点总结-V1
概率论复习知识点总结-V1概率论是数学的重要分支之一，它是研究随机现象的可能性和规律的学科。
作为一个复习的概率论学习者，我们需要清晰地掌握一些重要的概率论知识点，以便能够更好地掌握概率论的基础知识。
以下是概率论复习知识点的总结：一、基础概念1. 随机事件：指在某种条件下，可能会发生或不发生的现象。
2. 样本空间：指所有随机事件发生的可能性的集合。
3. 事件：指样本空间的一部分，也就是样本空间中的某些元素所组成的集合。
二、概率的基本概念1. 古典概型：指每个随机事件发生的可能性相同的情况。
例如，抛硬币、掷骰子等。
2. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示。
3. 概率的性质：（1）非负性：概率值不为负数。
（2）规范性：所有事件的概率之和为1。
（3）可数可加性：对于可数个互不重叠的事件A1, A2, …, Ak，在任一样本点上至多发生其中一个事件，其对应概率即为所有事件概率之和。
三、条件概率1. 事件A在事件B已经发生的条件下所发生的概率，称为条件概率。
用P(A|B)表示。
2. 条件概率的计算公式：P(A|B)=P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
四、独立性1. 事件A和事件B互相独立，指的是事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
2. 条件独立性：如果对于事件A、B、C来说，有P(A|B∩C)=P(A|B)，则称事件A与事件B在事件C的条件下相互独立。
五、贝叶斯定理1. 反向条件概率的计算公式，即已知事件B发生的情况下，推导出事件A发生的概率。
2. 贝叶斯公式的公式为：P(A|B)=P(B|A) x P(A) / P(B)其中，P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，也称为似然函数；P(B)表示事件B发生的概率。
以上是关于概率论复习知识点的总结，希望这些知识可以帮助您更好地掌握概率论的基础知识。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
概率论知识点总结
概率论知识点总结在我们的学习时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。
还在苦恼没有知识点总结吗？下面是小编收集整理的概率论知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
概率论知识点总结 11. 随机试验确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
随机现象：在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。
随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。
随机试验的特点：1）可以在相同条件下重复进行；2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；2. 样本空间、随机事件样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。
事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。
事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）3. 频率与概率频数：事件A发生的次数频率：频数/总数概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。
概率的特点：1）非负性。
2）规范性。
3）可列可加性。
概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）4. 古典概型学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）5. 条件概率定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A）乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式6. 独立性检验设A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。
(完整版)概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为或。
A B ⊇B A ⊆相等关系：若且，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
A B ⊇B A ⊆事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为。
B A B A =-互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A ＋B 。
B A ⋃对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为。
对立事件的性质：A 。
Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）： B A B A ⋂=⋃BA B A ⋃=⋂第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时⋃⋃⋃⋃n A A A 21++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P 概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时n A A A ⋃⋃⋃ 21)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ 当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)(2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)n A A A ,,,21 i A i A 贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则n A A A ,,,21 ∑==)|()()|()()()()|(j j i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则与B ，A 与，与均相互独立A B A B 总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是一门研究随机现象数量规律的数学学科，它在许多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结归纳。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，掷骰子出现的点数就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
概率的古典定义适用于等可能概型，几何概型则通过几何度量来计算概率。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率。
2、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组构成一个完备事件组，那么对于任意一个事件，可以通过全概率公式计算其概率。
2、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致这个结果的某个原因的概率。
四、随机变量及其分布1、随机变量用来表示随机现象结果的变量。
2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量，常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量，其概率通过概率密度函数来描述。
常见的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。
五、期望与方差1、期望反映随机变量取值的平均水平。
2、方差描述随机变量取值的离散程度。
六、协方差与相关系数1、协方差衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
2、相关系数是标准化后的协方差，取值范围在－1 到 1 之间。
七、大数定律与中心极限定理1、大数定律说明在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于其期望值。
2、中心极限定理当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
在学习概率论的过程中，需要理解各个概念的含义，掌握相关的公式和定理，并通过大量的练习来加深对知识点的理解和应用。
概率论总复习-知识总结(一)
概率论总复习-知识总结(一)概率论总复习-知识总结概率论是一门广泛应用于自然科学、社会科学、医学、金融等领域的数学学科，是研究随机事件及其发生规律的学科。
下面就概率论常见的概念、公式和计算方法进行总结和复习。
一、基本概念1. 试验和事件：试验是人为、自然、社会等各种实际现象的模拟或观测过程，试验的每一个结果称为该试验的一个基本事件；事件是由基本事件构成的，即试验结果的任意某些组合，可以是单个事件，可以是多个事件组合形成的复合事件。
2. 样本空间和事件域：样本空间是由一切可能的基本事件组成的集合；事件域是指样本空间中，所有事件的全体，即事件的集合。
3. 必然事件和不可能事件：试验中一定会发生的事件称为必然事件，常用符号Ω表示；试验中不可能发生的事件称为不可能事件，常用符号Ø表示。
4. 等可能概型：所有基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的概率相等。
5. 概率的基本性质：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1，并且P(Ω) = 1，P(Ø) = 0；对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) =P(A) + P(B)。
二、概率的计算方法1. 古典概型：若试验基本事件有限且等可能，则事件A的概率P(A) = A中基本事件数 / S中基本事件总数。
2. 几何概型：可以利用图形面积的比值计算。
3. 组合计数：若A是从n个不同元素中取m个元素集合，则其包含m个元素的子集个数称为A的组合数。
三、条件概率和独立事件1. 条件概率：设A、B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率记为P(B|A)，称为条件概率，P(B|A) = P(AB) / P(A)。
2. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。
3. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是用于计算复杂事件的概率，表示为P(B) = ΣiP(Ai)P(B|Ai)；贝叶斯公式是在已知结果的情况下，得出反推因果关系的方法，表示为P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) /ΣjP(Aj)P(B|Aj)。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论知识点总结在我们的学习时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。
还在苦恼没有知识点总结吗？下面是小编收集整理的概率论知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
概率论知识点总结 11. 随机试验确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
随机现象：在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。
随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。
随机试验的`特点：1）可以在相同条件下重复进行；2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；2. 样本空间、随机事件样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。
事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。
事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）3. 频率与概率频数：事件A发生的次数频率：频数/总数概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。
概率的特点：1）非负性。
2）规范性。
3）可列可加性。
概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）4. 古典概型学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）5. 条件概率定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A）乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式6. 独立性检验设A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
概率论复习知识点总结
第2章要点
一、随机变量及其分布 1.随机变量的概念 2.分布函数：
➢定义：F(x)=P{X≤x} x∈R ➢性质：单调性，有界性，右连续性 ➢利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有
➢例2.2，2.4，2.5 ，三1，2，4
第2章要点
二、离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布律
➢分布律的概念；
若Xi同分布，则
作业： 三、19
第4章要点
一、随机变量的数学期望 ➢离散型随机变量的数学期望 ➢连续型随机变量的数学期望 ➢随机变量函数的数学期望
第4章要点
一、随机变量的数学期望 ➢数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有E(c) = c． (2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c． (3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)． (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有
➢例2.9 ，2.11 作业：三、10，11
第2章要点
三、连续型随机变量 2.常用连续型随机变量
➢均匀分布 X~U(a, b),
➢指数分布：X~Exp(), >0,
➢正态
第2章要点
四、随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布
第1章要点
三、概率的性质 (1) P() = 0． (2) (有限可加性)
两两互不相容，则
(3) (逆事件的概率) 对任一事件A，有
(4) (单调性)若
P(A) P(B) ,且P(A–B) = P(A) - P(B).
(5) 对任意两个事件A,B有P(A–B) = P(A)–P(AB)．
(6)（加法公式）对于任意两事件A，B有
概率论总复习知识总结
contents
目录
• 概率论概述 • 随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验 • 贝叶斯统计推断 • 概率论的应用
01 概率论概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
随机试验
具有随机性结果的试验。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为$E(X) = int x f(x) dx$，其中$f(x)$是随机变量$X$的概率 密度函数。
方差与协方差
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的量，计算公式为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。
方差的性质
方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
在贝叶斯决策理论中，决策者需要先对各种可能的结果赋予主观概率，然后根据 这些结果的价值和发生的概率计算期望值，最后选择期望值最大的方案作为最优 决策。
贝叶斯网络与推理
贝叶斯网络是一种基于概率的图形模型，用于表示随机变量 之间的条件独立关系。它由一组节点和有向边组成，节点代 表随机变量，边代表变量之间的概率依赖关系。
协方差的定义
协方差是用来衡量两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关程度的量，计算公式为$Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y - E(Y))]$。
协方差的性质
协方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质 。
矩与特征函数
矩的定义
矩是用来描述随机变量取值分布特征 的量，包括数学期望、方差、偏度和 峰度等。
样本空间
随机试验所有可能结果的集合 。
事件
概率论复习资料大全
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布表
15
9.连续型随机变量函数的分布
定理 设 r.v X具有概率密度 f(x), x , 又设g(x)处处可导，且恒有g(x) 0(或 g(x) 0) 则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为
fY
(
y)
计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
26
6.方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2 D(X);
3. 设X与Y 是两个随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}. 特别，若X与Y 相互独立，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y)
p
B(n,p)
π()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke
k!
k 0,1,2,
23
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
概率论总复习知识总结-V1
概率论总复习知识总结-V1概率论总复习知识总结概率论是一门重要的数学分支，是研究随机现象的规律性的学科。
作为内容创作者，了解概率论的知识可以帮助我们更好地理解和分析各种事件的概率，从而更准确地撰写相关的文本。
下面是一份概率论总复习知识总结，希望对广大内容创作者有所帮助。
一、基本概念1.试验：具有明确结果的随机现象称为试验。
2.样本空间：样本空间是指试验所有可能结果的集合。
3.随机事件：样本空间的子集称为随机事件。
4.频率与概率：频率是指大量实验中某一事件出现的次数与实验总次数的比值。
而概率则是对于单次试验而言，某一事件发生的可能性大小。
二、概率的计算方法1.古典概型：指试验的样本空间具有等可能性质的情况，此时事件的概率可以通过公式P(A)=m/n来计算，其中m为事件A中等可能结果的个数，n为样本空间中等可能结果的总数。
2.几何概型：指试验的样本空间是由几何对象组成的情况，此时事件的概率可以通过计算几何面积、体积等来计算。
3.统计概型：指试验本身不存在等可能性质的情况，此时事件的概率通常通过频率来估计。
三、概率的基本性质1.非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0。
2.规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω)=1。
3.可列可加性：对于任意试验和两个事件A、B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)。
四、条件概率与独立性1.条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(AnB)/P(B)。
2.乘法公式：对于任意试验和两个事件A、B，有P(AnB)=P(B)P(A|B)。
3.总概率公式：对于试验的样本空间Ω和一组互不相容的事件B1、B2、……、Bn，有P(A)=∑i=1~nP(Bi)P(A|Bi)。
4.独立性：指事件A和B的发生不相互影响，称为独立事件。
若事件A 和B独立，则有P(AnB)=P(A)P(B)。
五、随机变量与概率分布1.随机变量：指可以随机取到不同值的数学变量，通常用大写字母X、Y表示。
概率论知识点
概率论主要知识点 ch 11．事件之间的关系与运算，互不相容事件、对立事件； 2．概率的公理化定义和概率的性质；（公式的应用：)AB (P )B (P )A (P )B A (P -+=⋃)C (P )B (P )A (P )C B A (P ++=⋃⋃)ABC (P )BC (P )AC (P )AB (P +---）3．古典概型的定义和概率的计算；基本事件总数中包含的基本事件个数A nr )A (P ==4．条件概率和三大公式应用；（1）乘法公式)|()()(B A P B P AB P =；)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P（2）全概率公式 ∑==n1i i i)B |A (P )B(P )A (P （核心是全概率公式）（3）贝叶斯公式∑===n1i i ij j j j )B |A (P )B(P )B |A (P )B (P )A (P )AB (P )A |B (P5．独立性和贝努利试验和二项概率。
kn k k nn )p 1(p C )k (P --= Ch21． 离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 几种重要的离散型随机变量：（1）二项分布：)p 1q (n ,2,1,0k qp C )k X (P kn kkn -====-（2）泊松分布：)0(,2,1,0k e !k )k X (P k>===-λλλ（3）超几何分布：n ,2,1,0k CC C )k X (P n Nkn MN kM ==--（4）几何分布： ,2,1k p q )k X (P 1k ===-3． 随机变量的分布函数：)x X (P )x (F ≤=及其性质： 4．连续型随机变量的密度函数及其性质：⎰+∞∞-=≥1dx )x (f )2(;0)x (f )1('()()..;()()x F x f x a e F x f x dx -∞==⎰（主要是变上限的分段函数的积分）5． 几种重要的连续型随机变量的密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它：均匀分布0b x a a b 1)x (f )1( 记为]b ,a [U ~X⎩⎨⎧≤>=-0x 0x e )x (f )2(x λλ指数分布： 记为)(~λπX222)x (e21)x ()3(σμσπϕ--=正态分布： 记为),(~2σμN X6． 关于标准正态分布的结论： ⎰+∞∞-=1dx )x ()1(ϕ21)0()2(=Φ)0x ()x (1)x ()3(>-=-ΦΦ)x ()x X (P )x X (P ),(N ~X )4(2σμΦσμσμσμ-=-≤-=≤7．一维随机变量的函数的分布（1）公式法：X~)x (f X ，设)x (g 处处可导且0)x ('g >或0)x ('g <，则)X (g Y =的分布密度为⎩⎨⎧<<=其它y |)y ('h |)]y (h [f )y (f X Y βα特别地，2X Y =的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+==0y 0y )]y (f )y (f [y21)y ('F )y (f X X Y Y （2）分布函数法：)y )X (g (P )y (F ≤=ch31． 二维离散型随机变量及其分布律、分布函数； 2． 二维均匀分布 3．二维正态分布 ]}V UV 2U [)1(21exp{121)y ,x (f 222221+----=ρρρσπσ(+∞<<∞-+∞<<∞-y ,x ) 其中11x U σμ-=,22y V σμ-=,则称(X,Y)服从二维正态分布.记为 )Y ,X (~);,,(N 22;11ρσμσμ 4．边缘分布关于X 的边缘分布：⋅∞====∑i 1j iji P P}x X {P ；关于Y 的边缘分布为 ∑∞=∙===1}{i j ij j P P y Y P5．对于连续型随机变量： ⎰+∞∞-=dy )y ,x (f )x (f X 为(X,Y)关于X 的边缘密度函数。
概率论期末复习知识点
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义 古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k ni i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P AA -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,n A A A 总满足 11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2)11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx-∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) (或)．(2) 和事件： ；（简记为）．(3) 积事件： ，（简记为或)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即 (5) 对立事件： ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作(或) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有, .2． **古典概率的定义 古典概型：．几何概率·3．**概率的性质 (1) ．(2) (有限可加性) 设n 个事件两两互不相容，则有．(3)．(4) 若事件A ，B 满足，则有A B ⊂B A ⊃A B ⋃12n A A A ⋃⋃⋃1nii A =AB 12nA A A ⋂⋂⋂12nA A A 1nii A =AB φ=A A B -AB A B A B ⋃=⋂A B A B ⋂=⋂()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）()0P φ=1,2,,nA A A 121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑()1()P A P A =-A B ⊂,．(5) ．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有.对于任意n 个事件，有.4．**条件概率与乘法公式.乘法公式：.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：．对于任意n 个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足，则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：()()()P B A P B P A -=-()()P A P B ≤()1P A ≤()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-1,2,,nA A A 111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k n i i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑()(|)()P AB P A B P B =()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==()()()P AB P A P B =(|)()P A B P A =1,2,,n A A A 2,,k n =11k i i n≤<<≤1,2,,nA A A 11()()()k k i i i i P A A P A P A =1,2,,nA A A 21nn --()(01)P A p p =<<k ()(1),0,1,,kn k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭如果事件两两互不相容，且，，，则．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1)，(2)．3．*常用离散型随机变量的分布 (1) 0—1分布，它的概率函数为，其中，或1，．(2) 二项分布，它的概率函数为，其中，，．(４)** 泊松分布，它的概率函数为1,2,,nA A A 1ni i A ==Ω()0i P A >1,2,,i n =1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑(),1,2,,,.i i p P X a i n ===n a np 0i p ≥1,2,,,;i n =11ii p∞==∑(1,)B p 1()(1)i i P X i p p -==-0i =01p <<(,)B n p ()(1)in in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭0,1,2,,i n =01p <<()P λ，其中，，．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：其中，．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设为二维离散型随机变量，为其联合概率（），称概率为随机变量的边缘分布律，记为并有，称概率为随机变量Y 的边缘分布率，记为，并有=.6．随机变量的相互独立性 ．设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．设离散型随机变量的概率函数为则随机变量函数的概率函数可由下表求得()!iP X i e i λλ-==0,1,2,,,i n =0λ>(,)X Y (,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑(,)X Y ijp ,1,2,i j =()(1,2,)i P X a i ==X ip .(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑()(1,2,)j P Y b j ==.jp .jp (),1,2,j ij iP Y b p j ===∑(,)X Y X Y ,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切X ()g x ()Y g X =X X Y X n a np Y g =但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数的性质 (1) (2);由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) ；(2)，；(3)．5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有()n g a ()i g a ip ()F x 0()1;F x ≤≤()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==X ()F x X (,]a b (,)X Y 0(,)1F x y ≤≤(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+X ()F x ()f x x ()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<成立，则称X 为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度． 6．**概率密度及连续型随机变量的性质 （１） （２）；（３）；（4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，； (5) 设是连续型随机变量的概率密度，则有＝．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布，它的概率密度为其中，．(2) 指数分布，它的概率密度为其中，． (3) 正态分布，它的概率密度为，其中，，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为，标准正态分布的分布函数记作，即()()xF x f x dx-∞=⎰()f x X ()f x ()0;f x ≥()1f x dx +∞-∞=⎰()()F x f x '=X ()0P X c ==()f x X ()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤()baf x dx⎰(,)R a b 1,;()0,a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余.)a b -∞<<<+∞()E λ,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余.0λ>2(,)N μσ22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,0μσ-∞<<+∞>0,1μσ==(0,1)N 22(),x f x x -=-∞<<+∞()x Φ，当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到．设，则有；．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) ；(2)；’(3) 在的连续点处有;(4) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有．1０，**二维连续型随机变量的边缘概率密度设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为；的边缘概率密度为22()t xx dt -Φ=⎰0x ≥()x Φ0x <()x Φ()1()x x Φ-=-Φ2~(,)X N μσ()()x F x μσ-=Φ()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ(,)F x y (,)f x y (,)x y (,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰(,)X Y (,)f x y (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)f x y 2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂(,)X Y D ((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰(,)X Y (,)f x y X ()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰Y．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为(2) 二维正态分布如果的联合概率密度则称服从二维正态分布，并记为.如果，则，，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．，那么，称随机变量与相互独立．设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为如果．那么，与相互独立的充分必要条件是．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。