算术平均值标准偏差
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第二章 随机误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感 性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误 差 ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。 通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、 特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随 机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的 特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机 误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机 误差 的本 质特 征
算术 平均 值
贝塞 尔公 式
试验 标准 差
测量 结果 的最 佳估 计
置信 区间
主要内容
产生原因、随机误差特 性、随机误差处理的基
本原则。
极限误差：极限误差的 定义、单次测量的极限 误差、算术平均值的极
限误差。
随机误差的分布： 正态分布、非正
态分布。
测量的标准偏差：单次测量 的标准偏差、贝塞尔公式、 算术平均值的标准偏差、标
准差的其它估计方法。
算术平均值原理： 算术平均值原理、
残余误差。
第一节 随机误差概述
一、随机误差的定义
随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能 进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估 计值。
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
三、随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小 和符号以不可预知形式的形式出现。
2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
3、与测量次数有关系：增加测量次数可 以减小随机误差对测量结果的影响。
四、随机误差的处理原则
随机误差性质上属随机变量，其处理方法 的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可 用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差 （标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。
服从正态分布随机误差的特征
310
有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一 定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界 限。
对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差 与负误差出现的次数大致相等。
抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负 误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对 值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个 特性——抵偿性。
单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
▪一、正态分布
▪随机误差概率分布密度函 数表达式为：
f ( )
1
2
▪
e 2 2
2
图2－4
数学期望 E（δ）＝0 方 差 D（δ）＝σ2
标准偏差 D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概率分布， 其概率密度函数为：
1
f
(
)
2a
0
当|δ|≤a 当|δ|＞a
它的数学期望为：
它的方差为：
它的标准偏差为：
E（δ）＝ 0
2 a2
3
a
3
三、三角分布
313
三角分布的概率密度函数为：
a
f
(
)
a2
a
a 2
当a 0 当0＜ a
数学期望： 它的方差为：
它的标准偏差为：
E（δ）＝ 0
2 a2
6
a
6
四、反正弦分布
314
它的概率密度为：
f
(
)
0
1
e2 2
e e
数学期望： E（δ）＝ 0
方差为：
标准偏差为：
2 e2
2
e
2
五、χ2分布 315
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量
2
X
2 1
X
2 2
X的2 概率密度为
f
x
2 2
1
(
)
1 x
x2 e 2
x0
2
x0
特征量0 为：
2
2 2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变
量
t X
Y /
的概率密度
f x
(
1)
2
(1
x2
1
)2
( )
t分布的主要分布特2 征量为：
0
2
2
2
（2－32） （2－33）
七、F分布
317
设随机变量X与Y相互独立，分别服 从自由度为与的χ2分布，则随机变量
X
的概率密度为
1 Y 2
f
x
(1 2
(1 ) 2
2 )
(
2
)
2
11
2
2 2
2
1 1
x2
1 2
(1x 2 ) 2
x0
0
x0
第三节 算术平均值原理
一、算术平均值
在等权测量条件下，对某被测量进
行多次重复测量，得到一系列测量
值x1, x2,..., xn ,常取算术平均值
x
1 n
n i 1
xi
作为测量结果的最佳估计。
算术平均值原理
若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
因为
n
n
i xi nx0
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
x
1 n
n i 1
xi
x0
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术平 均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足无偏性、有效性、一致性
满足最小二乘原理
▪该所有测量值对其算术平均值之差的平 方和达到最小
在正态分布条件下，满足最大似然原理
▪该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 321
由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计
值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。
在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有
算术平均值：
x
1 n
n i 1
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感 性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误 差 ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。 通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、 特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随 机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的 特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机 误差的分布；正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机 误差 的本 质特 征
算术 平均 值
贝塞 尔公 式
试验 标准 差
测量 结果 的最 佳估 计
置信 区间
主要内容
产生原因、随机误差特 性、随机误差处理的基
本原则。
极限误差：极限误差的 定义、单次测量的极限 误差、算术平均值的极
限误差。
随机误差的分布： 正态分布、非正
态分布。
测量的标准偏差：单次测量 的标准偏差、贝塞尔公式、 算术平均值的标准偏差、标
准差的其它估计方法。
算术平均值原理： 算术平均值原理、
残余误差。
第一节 随机误差概述
一、随机误差的定义
随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能 进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估 计值。
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
三、随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小 和符号以不可预知形式的形式出现。
2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
3、与测量次数有关系：增加测量次数可 以减小随机误差对测量结果的影响。
四、随机误差的处理原则
随机误差性质上属随机变量，其处理方法 的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可 用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差 （标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。
服从正态分布随机误差的特征
310
有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一 定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界 限。
对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差 与负误差出现的次数大致相等。
抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负 误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对 值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个 特性——抵偿性。
单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
▪一、正态分布
▪随机误差概率分布密度函 数表达式为：
f ( )
1
2
▪
e 2 2
2
图2－4
数学期望 E（δ）＝0 方 差 D（δ）＝σ2
标准偏差 D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概率分布， 其概率密度函数为：
1
f
(
)
2a
0
当|δ|≤a 当|δ|＞a
它的数学期望为：
它的方差为：
它的标准偏差为：
E（δ）＝ 0
2 a2
3
a
3
三、三角分布
313
三角分布的概率密度函数为：
a
f
(
)
a2
a
a 2
当a 0 当0＜ a
数学期望： 它的方差为：
它的标准偏差为：
E（δ）＝ 0
2 a2
6
a
6
四、反正弦分布
314
它的概率密度为：
f
(
)
0
1
e2 2
e e
数学期望： E（δ）＝ 0
方差为：
标准偏差为：
2 e2
2
e
2
五、χ2分布 315
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量
2
X
2 1
X
2 2
X的2 概率密度为
f
x
2 2
1
(
)
1 x
x2 e 2
x0
2
x0
特征量0 为：
2
2 2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变
量
t X
Y /
的概率密度
f x
(
1)
2
(1
x2
1
)2
( )
t分布的主要分布特2 征量为：
0
2
2
2
（2－32） （2－33）
七、F分布
317
设随机变量X与Y相互独立，分别服 从自由度为与的χ2分布，则随机变量
X
的概率密度为
1 Y 2
f
x
(1 2
(1 ) 2
2 )
(
2
)
2
11
2
2 2
2
1 1
x2
1 2
(1x 2 ) 2
x0
0
x0
第三节 算术平均值原理
一、算术平均值
在等权测量条件下，对某被测量进
行多次重复测量，得到一系列测量
值x1, x2,..., xn ,常取算术平均值
x
1 n
n i 1
xi
作为测量结果的最佳估计。
算术平均值原理
若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
因为
n
n
i xi nx0
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
x
1 n
n i 1
xi
x0
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术平 均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足无偏性、有效性、一致性
满足最小二乘原理
▪该所有测量值对其算术平均值之差的平 方和达到最小
在正态分布条件下，满足最大似然原理
▪该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 321
由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计
值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。
在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，…，xn有
算术平均值：
x
1 n
n i 1