新浙教版九年级数学相似三角形

第20题图

课题之相似三角形

反比例函数复习部分：

练习：1、如图，点A 在双曲线y ＝x k

的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中

点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．

2、如图，M 为双曲线

3

y =

上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y x m =-+于D 、C 两点，若直线y x m =-+与y 轴交与点A ，与x 轴交与点B ，则AD ·BC

的值为 。 相似三角形：

知识点1 比例线段的有关概念：

b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=

c ，那么b 叫做a 、

d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 知识点2 比例性质：

知识点3 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

例题：如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

例1图 E

D

C

B

A

例2图

Q P M

F E

D

C

B

A

变式1图

P

N M

C

B

A

3

S 2S 1S 例3图

N M P C

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

知识点4 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三

角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 知识点5 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 例题1：如图，在△ABC 中，AB ＝14cm ，9

5

=BD AD ，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ，求△ADE 的面积和周长。

例题2：如图，正方形DEMF 内接于△ABC ，若1=∆ADE S ，4=DEFM S 正方形，求ABC S ∆ 练习：如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB ＝21 cm ，CA ＝15 cm ，求菱形AMNP 的周长。

例题3：如图，已知P 为△ABC 内一点，过P 点分别作直线平行于△ABC 的各边，形成小三角形的面积1S 、2S 、3S ，分别为4、9、49，求△ABC 的面积。

问题一图

P

N

M

D

C B

A 第4题图F

E G

D C

B A 第1题图

O

D C B A

第1题图 C

第2题图

O

E

D C

B

A

探索与创新：

【问题一】如上图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，过BD 上一点P

作MN ∥BC 交AB 、DC 于M 、N ，若AM ∶MB ＝m ∶n 。 （1）计算PM 、PN 的长；

（2）当a ∶b ＝m ∶n 时，PM 与PN 有怎样的关系？

（3）在什么条件下才能得到MN ＝)(2

1

b a +。

【问题二】如图，已知梯形

ABCD 中，AD ∥BC ，AD 、BC 的长度分别为a 、b )(b a <，

梯形ABCD 的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF

（点E 、F 分别在AB 、CD 上），使EF 把梯形ABCD 分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF 的长度如何求？试求出EF 的长度。 跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，AD ∶BC ＝3∶5，则AO ∶OC ＝ ，

AOD S ∆∶BOC S ∆＝ ，AOD S ∆∶AOB S ∆＝ 。

2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为

3、两个相似三角形面积之差为9cm 2，对应角平分线的比是2∶3，这两个三角形的面积分别是 。

4、如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，如果AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，则DFGE S 四边形∶FBCG S 四边形＝ 。

二、选择题：

1、如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G △AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为（ ） A 、1∶2 B 、1∶4 C 、4∶9 D 、2∶3

2、如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ∆∶COB S ∆＝4∶9，则AE ∶EC 为（ ） A 、2∶1 B 、2∶3 C 、4∶9 D 、5∶4

3、在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）