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概率论与数理统计
CHENLI
1
第一章：随机事件及其概率
概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是 研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科 学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。
本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系 及其运算、概率的性质及其计算方法。
CHENLI
2
§1 随机事件及其计算
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
一、随机现象与随机实验
1. 确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.
2. 随机现象: 在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察 中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）, 在大量重 复观察中其结果又具有统计规律性.
3.对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各 种各样的科学实验统称为实验。随机现象的基本特征是，在 一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出 现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现 各种结果的比例数又具体统计规律性。
A 1 { H T T ,H T H ,H H T ,H H H }
A 2{H T T,T H T,T T H }
A 3 { H T T ,H H T ,H T H ,H H H , T H T , T H H , T T H }
CHENLI
8
四、事件间的关系与运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
CHENLI
7
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
S H T T , H H T , H T H , H H H , T T T , H T H , T T H , T H H
基本事件
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,源自文库2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
CHENLI
6
三、 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生. 它是满足某些条件的样本点的集合。
CHENLI
11
5.事件的互不相容(互斥):
若 A B,则A 与 称 B 是互不 ,或 相 互 ,即 容 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
AB
A
CHENLI
12
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且AB， 则A与 称B互 为 逆 事 件
为 对 立. 即 事:在 件一 次 实 , 事验件 A与 中 B中 必 然 个 发,且 生仅 有 一.个 发 生
A的 对 立 事A件 .若A与 记B互 为为 对 立 事 件 A， B, 或BA.
B A
S
BA
CHENLI
13
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A .
结合律: A(BC)(AB )C; A(BC)(AB )C.
分配律: A (B C )(A B ) (A C ); A (B C )(A B ) (A C ).
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)AB
S CHENLI
10
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生但 B不发生时事件A-B发生. 即:
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
CHENLI
3
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. E6: 在一批产品中任意抽取C若HEN干LI 件，以检验产品的合格率4 .
对偶律: AB AB;
AB AB.
证明 对偶律.
CHENLI
14
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为随 机实验：
基本特征 (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确所有可 能的结果; (3) 每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前 不能预先确定到底会出现哪个结果.
CHENLI
5
二、 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素，也就是最简单的每一 个直接结果称为样本点，用表示.
A ,2 乙没有射中； A2 A3 乙丙至少一人射中； A 1 A 2 甲乙没有都射中
A1 A2 甲乙都没有射中 A1 A 2 A 3 甲乙都射中但丙没射中
A 1A2A 1A3A2A3 至少有两人都射中
CHENLI
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§2. 随机事件的概率
一. 概率统计定义:
B
A S
(1) ACB HENLI
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2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
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第一章：随机事件及其概率
概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是 研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科 学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。
本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系 及其运算、概率的性质及其计算方法。
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§1 随机事件及其计算
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
一、随机现象与随机实验
1. 确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.
2. 随机现象: 在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察 中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）, 在大量重 复观察中其结果又具有统计规律性.
3.对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各 种各样的科学实验统称为实验。随机现象的基本特征是，在 一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出 现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现 各种结果的比例数又具体统计规律性。
A 1 { H T T ,H T H ,H H T ,H H H }
A 2{H T T,T H T,T T H }
A 3 { H T T ,H H T ,H T H ,H H H , T H T , T H H , T T H }
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四、事件间的关系与运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
S H T T , H H T , H T H , H H H , T T T , H T H , T T H , T H H
基本事件
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,源自文库2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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三、 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生. 它是满足某些条件的样本点的集合。
CHENLI
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5.事件的互不相容(互斥):
若 A B,则A 与 称 B 是互不 ,或 相 互 ,即 容 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
AB
A
CHENLI
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6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且AB， 则A与 称B互 为 逆 事 件
为 对 立. 即 事:在 件一 次 实 , 事验件 A与 中 B中 必 然 个 发,且 生仅 有 一.个 发 生
A的 对 立 事A件 .若A与 记B互 为为 对 立 事 件 A， B, 或BA.
B A
S
BA
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7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A .
结合律: A(BC)(AB )C; A(BC)(AB )C.
分配律: A (B C )(A B ) (A C ); A (B C )(A B ) (A C ).
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)AB
S CHENLI
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生但 B不发生时事件A-B发生. 即:
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
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我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. E6: 在一批产品中任意抽取C若HEN干LI 件，以检验产品的合格率4 .
对偶律: AB AB;
AB AB.
证明 对偶律.
CHENLI
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例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为随 机实验：
基本特征 (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确所有可 能的结果; (3) 每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前 不能预先确定到底会出现哪个结果.
CHENLI
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二、 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为 E的 样本空间, 记为S. 样本空间的元素，也就是最简单的每一 个直接结果称为样本点，用表示.
A ,2 乙没有射中； A2 A3 乙丙至少一人射中； A 1 A 2 甲乙没有都射中
A1 A2 甲乙都没有射中 A1 A 2 A 3 甲乙都射中但丙没射中
A 1A2A 1A3A2A3 至少有两人都射中
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§2. 随机事件的概率
一. 概率统计定义:
B
A S
(1) ACB HENLI
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2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.