高等数学新编多元函数微分学PPT课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点击此处输入
相关文本内容
2
§7.1 二元函数的概念，极限和连续性
➢ 二元函数的定义 ➢ 二元函数的几何意义 ➢ 二元函数的极限 ➢ 二元函数的连续性 ➢ 小结 ➢ 思考与练习
3
二元函数的定义 定义1 设有三 x,y个 和 z,如 变果 量当 x,y在 变某 量一给
的二元有 D 内 序 任 实 取 (数 x,y 一 )时 对 对 ，z值 按 变照 量一
求证 证明
lim f (x, y) 0
x0 y0
(x 2 y 2 )sin 1 0 x 2 y 2sin 1 x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
可见，对 0,任 取 何 ，则当
0 (xx0)2(yy)2 时，总有
11
x2
y2
sinx2
1 〈成立
y2
所以， lim f (x, y) 0 x0 y0
5
例2 一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布
在选定空间直 后角 ，坐 房标 间系 内 (x,y每 ,z)处 一都 点有
唯一的温度 u与之对应，这u时 是x温 ,y,z度 的一个三元
函数，故可u表u(为 x,y,z)
若考虑房间t的 不温 同度 时分 刻布u， 就则 是 x,y,温 z,t 度 的一个四元u函u(数 x,y,z,t)
类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。
6
二元函数的几何意义
一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的 一个曲面。
设二元函 z数 f(x,y) (x,y)D 在定义域 D内每取一点 p(x,y),根据函数的关 得系 到式 相就 z值 应可 ， 的空间中 M （ x,y,f(x,y)的 ) 坐标满 zf(x 足 ,y)当 ,关 p(点 x系 ,y)跑 式 遍 定义D域 时，相应 M（ 的 x,y点 , f(x,y))就在空间描绘出 面，这个曲面函 就数 z是 f(二 x,y)元 的图形。
的规 ,总 律有唯一确它 实们 的对 数应 值z， 叫 和则 做x变 ,y 量
的二元函数，z记 f作(x, y) 其x,中 y为自z为 变因 量 (x,y 变 ， )变量 化， D 的 称范 为
数的定 (x0,义 y0) D ,域 则 z 。 ， f(x,y)称 设为 点 (x0,对 y0) 应 的函数值，函数值的总体称为函数的值域。
第7章 多元函数微分学
➢ 第1节 二元函数的概念，极限和连续性 ➢ 第2节 偏导数 ➢ 第3节 全微分及其在近似计算中的应用 ➢ 第4节 多元复合函数和隐函数的求导法则 ➢ 第5节 二元函数偏导数的应用 ➢ 第6节 二重积分
1
整体概述
概述一
点击此处输入
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
7
（2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形 — — 空 间 点 集 { ( x ,y ,f( x ,y ) ) |( x ,y )D } . ——通常是一张曲面（函数曲面）.
8
二元函数的极限
设函f数 (x,y)在开区域（或闭D区 内域 有） 定义
p0(x0,y0)是 D的内点或边界 对点 于， 任如 意果 给定 ，总存在正 ，数使得对于适合不等式
且它 D上 在取得两个值 不 ,则 同它 的 D上 在 函 取数 得介于 值之间的任何值至少一 次.
性质３ （零点定理） 若函f(x数 ,y)在有界闭 D上区 连,域 且 续
它取得一个大 数于 值零 和的 一函 个小 数于 值 ,则 零至 的少 函
有(一 ,) D ,使 点 f(,得 ) 0 .
性质４ （有界性定理） 若函f(x数 ,y)在有界闭 D上区 连 ,域 则 续
0p0p (xx0)2(yy0)2
的一p切 (x,y)点 D,都有 f(x,y)A成立，则 A 称
为函 f(x数 ,源自文库)当 xx0,yy0时的极限，
x l x i0fm (x ,y ) A 或 f(x ,y ) A (p 0 )这 , p 里 p0p
y y 0
9
小结：
（１） (x ,y )趋x 0 于 y 0 )是 （ p 指 (x ,y )与 点 p 0 (x 点 0 ,y 0 )的距
类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
4
例１ 正圆锥v体 和体 它积 的r底 ,高 h之 半间 径具有 v 1 r 2h
3
这里v随 ，着 r,h的变化而变 r,h在 化一 ，定 当范 (r0,h0)内取定一队 v的值 值时 就， 随之确 取定 定， 二元有序 (r,数 h)时组， v便有确定的值， 与这 之时 对底 应 径r和高 h是相互独立的 间， 不它 存们 在之 依赖 时关 体积 v是半r径 和高 h的二元函数。
由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数
中当 x,y)趋 （ (x于 0y0)时 ,要比一x趋 元 x0于 复 函杂 数 , 的 中
例,如 可以沿任,也 何可 直以 线沿任 ,如何 果 (x,y曲 )沿线 不同的路 (x0,线 y0)时 趋 ,所于 得的极,那 限么 值二 不重 同
极限也就不存在
（xx0)2 (yy0)2趋于零。这一点 函与 数一 相元 类似。 （２） 当x,（ y)趋于 x0,y0（ )时， f(x 函 ,y)以 数 A为极限，
p(x,y)以任何方p式 0(x0趋 ,y0)于 时，函数都无A。 限接近
10
例３ 设 f(x,y)(x2y2)six n2 1y2 (x2y2 0)
(x0y0)间.如 断果 f(x,函 y)在 数 区 D 上 域 每一 ,则 点称 都它 连
域D上连,续 和一元函数 ,二类元似连续函数有 质.下 性质１ （最大值和最小值定理） 若函f数 (x,y)有界闭区 D上 域
连续 ,则它D在 上一定至少取和 得最 最大 小值 值.各一
13
性质２ （介值定理） 若函f(数 x,y)在有界闭 D上 区连 域续
12
二元函数的连续性
设 f(x 函 ,y ) 在 数 ( 开 或区 ) 闭 D 内 域 区 ,有 p 0 (x 0 ,域 y 0 ) 定 是 D 的 义
内点或边 ,且p界 0D 点 ,如果
lx i1mf(x,y)f(x0,y0)
y2
则称 f(x,y函 )在 p 0 数 (点 x0,y0)连 ;否 续则 f(x 称 ,y)在 函 点
相关文本内容
2
§7.1 二元函数的概念，极限和连续性
➢ 二元函数的定义 ➢ 二元函数的几何意义 ➢ 二元函数的极限 ➢ 二元函数的连续性 ➢ 小结 ➢ 思考与练习
3
二元函数的定义 定义1 设有三 x,y个 和 z,如 变果 量当 x,y在 变某 量一给
的二元有 D 内 序 任 实 取 (数 x,y 一 )时 对 对 ，z值 按 变照 量一
求证 证明
lim f (x, y) 0
x0 y0
(x 2 y 2 )sin 1 0 x 2 y 2sin 1 x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
可见，对 0,任 取 何 ，则当
0 (xx0)2(yy)2 时，总有
11
x2
y2
sinx2
1 〈成立
y2
所以， lim f (x, y) 0 x0 y0
5
例2 一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布
在选定空间直 后角 ，坐 房标 间系 内 (x,y每 ,z)处 一都 点有
唯一的温度 u与之对应，这u时 是x温 ,y,z度 的一个三元
函数，故可u表u(为 x,y,z)
若考虑房间t的 不温 同度 时分 刻布u， 就则 是 x,y,温 z,t 度 的一个四元u函u(数 x,y,z,t)
类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。
6
二元函数的几何意义
一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的 一个曲面。
设二元函 z数 f(x,y) (x,y)D 在定义域 D内每取一点 p(x,y),根据函数的关 得系 到式 相就 z值 应可 ， 的空间中 M （ x,y,f(x,y)的 ) 坐标满 zf(x 足 ,y)当 ,关 p(点 x系 ,y)跑 式 遍 定义D域 时，相应 M（ 的 x,y点 , f(x,y))就在空间描绘出 面，这个曲面函 就数 z是 f(二 x,y)元 的图形。
的规 ,总 律有唯一确它 实们 的对 数应 值z， 叫 和则 做x变 ,y 量
的二元函数，z记 f作(x, y) 其x,中 y为自z为 变因 量 (x,y 变 ， )变量 化， D 的 称范 为
数的定 (x0,义 y0) D ,域 则 z 。 ， f(x,y)称 设为 点 (x0,对 y0) 应 的函数值，函数值的总体称为函数的值域。
第7章 多元函数微分学
➢ 第1节 二元函数的概念，极限和连续性 ➢ 第2节 偏导数 ➢ 第3节 全微分及其在近似计算中的应用 ➢ 第4节 多元复合函数和隐函数的求导法则 ➢ 第5节 二元函数偏导数的应用 ➢ 第6节 二重积分
1
整体概述
概述一
点击此处输入
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
7
（2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形 — — 空 间 点 集 { ( x ,y ,f( x ,y ) ) |( x ,y )D } . ——通常是一张曲面（函数曲面）.
8
二元函数的极限
设函f数 (x,y)在开区域（或闭D区 内域 有） 定义
p0(x0,y0)是 D的内点或边界 对点 于， 任如 意果 给定 ，总存在正 ，数使得对于适合不等式
且它 D上 在取得两个值 不 ,则 同它 的 D上 在 函 取数 得介于 值之间的任何值至少一 次.
性质３ （零点定理） 若函f(x数 ,y)在有界闭 D上区 连,域 且 续
它取得一个大 数于 值零 和的 一函 个小 数于 值 ,则 零至 的少 函
有(一 ,) D ,使 点 f(,得 ) 0 .
性质４ （有界性定理） 若函f(x数 ,y)在有界闭 D上区 连 ,域 则 续
0p0p (xx0)2(yy0)2
的一p切 (x,y)点 D,都有 f(x,y)A成立，则 A 称
为函 f(x数 ,源自文库)当 xx0,yy0时的极限，
x l x i0fm (x ,y ) A 或 f(x ,y ) A (p 0 )这 , p 里 p0p
y y 0
9
小结：
（１） (x ,y )趋x 0 于 y 0 )是 （ p 指 (x ,y )与 点 p 0 (x 点 0 ,y 0 )的距
类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
4
例１ 正圆锥v体 和体 它积 的r底 ,高 h之 半间 径具有 v 1 r 2h
3
这里v随 ，着 r,h的变化而变 r,h在 化一 ，定 当范 (r0,h0)内取定一队 v的值 值时 就， 随之确 取定 定， 二元有序 (r,数 h)时组， v便有确定的值， 与这 之时 对底 应 径r和高 h是相互独立的 间， 不它 存们 在之 依赖 时关 体积 v是半r径 和高 h的二元函数。
由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数
中当 x,y)趋 （ (x于 0y0)时 ,要比一x趋 元 x0于 复 函杂 数 , 的 中
例,如 可以沿任,也 何可 直以 线沿任 ,如何 果 (x,y曲 )沿线 不同的路 (x0,线 y0)时 趋 ,所于 得的极,那 限么 值二 不重 同
极限也就不存在
（xx0)2 (yy0)2趋于零。这一点 函与 数一 相元 类似。 （２） 当x,（ y)趋于 x0,y0（ )时， f(x 函 ,y)以 数 A为极限，
p(x,y)以任何方p式 0(x0趋 ,y0)于 时，函数都无A。 限接近
10
例３ 设 f(x,y)(x2y2)six n2 1y2 (x2y2 0)
(x0y0)间.如 断果 f(x,函 y)在 数 区 D 上 域 每一 ,则 点称 都它 连
域D上连,续 和一元函数 ,二类元似连续函数有 质.下 性质１ （最大值和最小值定理） 若函f数 (x,y)有界闭区 D上 域
连续 ,则它D在 上一定至少取和 得最 最大 小值 值.各一
13
性质２ （介值定理） 若函f(数 x,y)在有界闭 D上 区连 域续
12
二元函数的连续性
设 f(x 函 ,y ) 在 数 ( 开 或区 ) 闭 D 内 域 区 ,有 p 0 (x 0 ,域 y 0 ) 定 是 D 的 义
内点或边 ,且p界 0D 点 ,如果
lx i1mf(x,y)f(x0,y0)
y2
则称 f(x,y函 )在 p 0 数 (点 x0,y0)连 ;否 续则 f(x 称 ,y)在 函 点