第六节 多元函数微分学的几何应用

d (7) u ( (t )) '(t )u '[ (t )]. dt
导向量的几何意义：
导向量的物理意义：
f (t ). 例1. 设 f (t ) (cos t ,sin t , t ), 求 lim
t 4
例2.设空间曲线的向量方程为r f (t )
(t 1, 4t -3, 2t - 6t ), 求该曲线在与
机动
M
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(F , G) (F , G) 或 T , ( y, z ) M ( z , x) 则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有
切线方程
M
(F , G) , ( x , y)
M
x x0
(F , G) ( y, z )
2 2
t0 2相应的点处的单位切向量
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线 在点 ( x0 , y0 ) 有
切线方程 y y0 f ( x0 )( x x0 ) 1 法线方程 y y0 ( x x0 ) f ( x0 ) Fx ( x, y ) dy 若平面光滑曲线方程为 因 dx Fy ( x , y ) 故在点 有
M

y y0
(F , G) ( z , x)
M

z z0
(F , G) ( x , y)
M
(F , G) 法平面方程 ( y, z )
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
机动
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
存在， 则称此极限为向量值函数r f (t ) 在t0处 dr 的导数或导向量， 记作f '(t0 )或 |t t0 . dt
注： f '(t ) ( f1 '(t )，f 2 '(t )，f3 '(t ))
运算法则：
d d (1) C 0; (2) (cu (t )) cu '(t ); dt dt
(1, 0 , 1)
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0 , 1)
切线方程
即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
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在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
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下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
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证:
在 上,
F ( (t ) , (t ) , (t ) ) 0
T
M

两边在 t t0 处求导,注意 t t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) (t0 )
t t0
则称向量值函数f (t )在t0连续。
注：向量值函数f (t )在t0连续
f (t )的三个分量函数f1 (t )，f2 (t )，f3 (t )都在t0连续.
定义2（向量值函数的导数或导向量）
设向量值函数f (t )在点t0的某一邻域内有定义，
若
f (t0 t ) f (t0 ) r lim lim t 0 t t 0 t
T
M

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特别, 当光滑曲面 的方程为显式
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
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2 2 2 x y z 6 , x y z 0 在点 例2. 求曲线
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令
( F , G) ( y, z )
M
则
2 y 2z 1 1
2 ( y z)
M
M
6 ;
x
切向量 切线方程
T ( 6, 0 , 6 )
y
x z 2 0 即 y20
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z
结束
法平面方程
即
6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 xz 0
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
第九章
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一、一元向量值函数及其导数
n D R 定义: 设数集 ，则称映射 f : D R
为一元向量值函数，通常记为：
r f (t ), t D,
其中D称为函数的定义域，t称为自变量， r称为因变量。
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
d (3) [u (t ) v(t )] u '(t ) v '(t ); dt
d (4) [ (t )u (t )] '(t )u (t ) (t )u '(t ); dt
d (5) [u (t ) v(t )] u '(t ) v(t ) u (t ) v '(t ); dt d (6) [u (t ) v(t )] u '(t ) v(t ) u (t ) v '(t ); dt
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M
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法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
x x0 Fx ( M ) y y0 Fy ( M ) z z0 Fz ( M ) 0
, 且有
d y 1 (F , G) d z 1 (F , G) , , d x J ( z , x) d x J ( x, y ) 曲线上一点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 处的切向量为
x
y
z
T 1, ( x0 ) , ( x0 )
1 (F , G) 1 , J ( z , x) 1 (F , G) , M J ( x , y)
结束
三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 在
设 t t0 对应点 M, 且
点 M 的切向量为
T
M

T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 )

M
T

T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
称为曲线的切向量 . 也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
r (t )
o
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0 说明: 若引进向量函数 r (t ) ( (t ) , (t ) , (t ) ) , 则
注1: 我们只讨论n=3的情形，此时，向量值 函数可以表示为
f (t ) f1 (t )i f 2 (t ) j f3 (t )k , t D,
或f (t ) ( f1 (t )，f 2 (t )，f3 (t )), t D.
注2:注意定义域与值域中距离函数的不同。
注3:向量值函数与数量值函数的不同，数量 可以比较大小，但是向量不能比较大小。 注4:一元向量值函数r=f(t),t∈D与空间曲线一 一对应。
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 n 为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
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曲面 在点 M 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
割线 MM 的方程 :
切线方程
x x0
y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
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此处要求 (t0 ) , (t0 ) , (t0 )不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 切线的方向向量:
定义1（向量值函数的极限）
设向量值函数f (t )在点t0的某一去心邻域内有定义，
若存在一个常向量r0 , 对于 0， 0, 使得 当0 | t - t0 | 时，总有
| f (t ) - r0 | ,
则称r0为向量值函数f (t )当t t0时的极限，记作
lim f (t ) r0 , 或f (t ) r0，as t t0 .
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量 就是该点的切向量.
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r (t0 ) ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
例1. 求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 k z yR x 2 切线方程 0 R k 即
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n
在
M 0 (0 , R , k ) 2 z
k x Rz Rk 0 2 yR0
法平面方程 R x k ( z k)0 2 即
o
Rxk
z
k 0 2
机动
2
x
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y
结束
2. 曲线为一般式的情况 F ( x, y , z ) 0 光滑曲线 : G ( x, y , z ) 0 ( F , G ) 当J 0 时, 可表示为 ( y, z )
切线方程 Fx ( x0 , y0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )( y y0 ) 0 法线方程 Fy ( x0 , y0 )( x x0 ) Fx ( x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
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二、空间曲线的切线与法平面
t t0
f (t ) (lim f1 (t ), lim f 2 (t ), lim f3 (t )) 注： lim t t t t t t t t
0 0 0 0
定义（向量值函数的连续）
设向量值函数f (t )在点t0的某一邻域内有定义， 若 lim f (t ) f (t0 ),
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.

M
T

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1. 曲线方程为参数方程的情况
T M

设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
y x 1 1 x y y z yz 1 1